Modèle de concours d'accès aux Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2017 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle préparatoire organisé par les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) (2017), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc)
- Grade
- 1ère année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2017
- Pages
- 4
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet de l'épreuve « Mathématiques » du concours d'accès en 1ère année du cycle préparatoire — Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc), session juillet 2017. Document officiel publié sur ensa-tetouan.ac.ma (copie archivée), 5 page(s). Sans corrigé.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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| Concours d’accès en 1°"° année des ENSA Maroc |
| Juillet 2017 |
Epreuve de Mathématiques Durée : 11130 min
Calculatrices, téléphones et tous types de documents non autorisés ٠
JS Gr) 1
7 3757
Q2. On pose
X=. NS +2 5 _-
En calculant 773, montrer que X vaut: |
مم21 Ars à |
rctan 3 + Arctan 7 =
T 1 1 1
نز ض = CT |
He n+(-1)t E
Lim ااال =
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Q7. Soit f(x) = اا et f’ la dérivée d’ordre 1 de f, alors:
| (cos x)” dx =
1 16 \ 6 |
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[ الا عا 5 dx =
Q10.
1 xe x 8
1 +17 7 |
| fe — 2 — 2 2
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D) 00
1 قر +x2—x—1
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1 1 à 2 3
Q7. Soit f(x) = [x] et f’ la dérivée d'ordre 1 de f, alors:
(cosx)” dx =
ا 1 ض 16 16
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[ (x + 2 is |
x e —2 =2 2
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8 Le.
Exercice 1: On munit l'espace d'un repère orthonormé )0, k):
Q11. Une représentation paramétrique de la droite passant par le point 4 = (—1,2,—3) et orthogonale
au plan d'équation 2x — 3y + 4z + 1 = 0 est:
x=3—2t x=1+2t x=-3+2t x =—-1+2t
A) 2 B) {y = -3 -- 6 041 y=2-t D)iy=2-3t
z=-3+t Zz=—-3—At z=—-3+t 2-3 + 6
9012. 0010016١6 point À = )-1,3,1( et on considère la droite (D) dont l'une des représentations
paramétriques est
X= -1 4+ ع |
| ÿ=2—-2t
| z=3+3t |
Les coordonnées du projeté orthogonal du point A sur la droite (D) sont:
—33 50 27 1 12 60 “1 18 75 -1. 18 75
ا :)د de) (2.
913. L'intersection de la droite dirigée par ü = (3,2,1) et passant par le point 4 = (1, 2,3) avecle
plan (x0y) est le point B de coordonnées: |
À) (4, 4,4) B) (—5,—2,1) C) (—8,—4,0) D) (4,4,0)
Exercice 2: Pour fêter leur réussite au concours ENSA, Taha et Jawad sont partis au restaurant pour
déjeuner. Taha possède dans sa poche trois billets de 50 DH et un billet de 100 DH, alors que Jawad a
dans sa poche un seul billet de 50 DH et un seul billet de 100 DH.
En tant que Amis, joyeux, Taha et Jawad décident en commun accord avec le serveur de payer leur repas
selon la procédure suivante:
Dans une urne, deux boules enferment chacune le prénom de l'un des deux amis, écrit sur un bout de
papier. Le serveur choisit au hasard une des deux boules, l'ouvre, énonce le prénom écrit sur le bout de
papier, le remet dans la boule qu'il dépose tout de suite dans l'urne.
La personne dont le prénom est choisit mettra sa main dans sa poche, en fermant les yeux, et fera sortir
obligatoirement un seul billet (nous supposons que les billets sont indiscernables au toucher) et le
remettra au serveur qu'il mettra à son tour dans sa caisse quelques soit sa valeur. Si la valeur du billet
tiré est de 100 DH, le serveur ferme la caisse et les deux amis peuvent quitter le restaurant, sinon
l'opération se refait, une seule fois encore, selon la même procédure.
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Q14. La probabilité pour que le coût du repas des deux amis soit de 150 DH est:
A) 11/32 B) 10/32 ©) 9/32 D) 12/32
Q15. La probabilité pour que les deux amis paient équitablement le repas est:
A) 6/32 8 2 C) 15/32 D) 11/32
Q16. La probabilité pour que l'un des deux amis mange gratuitement est:
A) 19/32 B) 16/32 C) 42 D) 4/32
Exercice 3: On considère les nombres complexes suivants : |
Zn= V2+ivV6,2=2+2i et Z= -
Q17. La forme algébrique de Z est :
Q18. Le module de Z est:
9019. L'argument de Z est :
TT TT 7 TT
A) Pr B) <{2r] 02 rl D)? [27]
Q20. La forme algébrique de Z2017 est
7 : : ١ v2 ل
ارم (1+V3 + 1/5 - 0 |B) 5 )- + :/3( وجو انا D)? (1-5)
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1re année des ENSA Maroc, session de juillet 2017. Durée : 1 h 30 ; calculatrices, téléphones et documents non autorisés. Elle compte 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D) : calcul numérique, limites, intégrales, géométrie dans l'espace, probabilités et nombres complexes. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.
💡 Méthode : pour les probabilités « à scénario » (Q14 à Q16), dessinez l'arbre complet avant de répondre : il n'a ici que deux niveaux, et les trois questions se lisent ensuite sur le même arbre.
Calcul, limites et intégrales (Q1 à Q10)
- Q1 → B) 5. L'exposant −4/8 vaut −1/2 : √9,8 × √(375/147) = √(9,8 × 375/147) = √(3675/147) = √25 = 5.
- Q2 → B) 1. Avec a = ∛(√5 + 2) et b = ∛(√5 − 2) : a³ − b³ = 4 et ab = ∛(5 − 4) = 1. X³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) = 4 − 3X, soit X³ + 3X − 4 = (X − 1)(X² + X + 4) = 0 ; le second facteur n'a pas de racine réelle, donc X = 1.
- Q3 → C) π/4. tan(2 Arctan(1/3)) = (2/3)/(1 − 1/9) = 3/4. Puis tan(a + b) = (3/4 + 1/7)/(1 − 3/28) = (25/28)/(25/28) = 1, et la somme est dans ]0, π/2[ : elle vaut π/4.
- Q4 → B) 1. On divise par n : (1 − (−1)n/n)/(1 + (−1)n/n) → 1.
- Q5 → C) +∞. Numérateur ~ x² (car x·e−x → 0), dénominateur ~ x (car ln x/x → 0) : quotient ~ x → +∞.
- Q6 → C) 2/3. x³ + x² − x − 1 = (x + 1)²(x − 1) et x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2) : le quotient vaut (x − 1)/(x − 2) → (−2)/(−3) = 2/3.
- Q7 → A) f n'est pas dérivable en 0. Le taux d'accroissement |x|/x vaut 1 à droite et −1 à gauche : les dérivées à droite et à gauche diffèrent.
- Q8 → C) 16/35. cos⁷x = (1 − sin²x)³cos x ; avec u = sin x : ∫01(1 − u²)³du = 1 − 1 + 3/5 − 1/7 = 16/35 (intégrales de Wallis : 6/7 × 4/5 × 2/3).
- Q9 → C) 6. (x − x³)1/3/x⁴ = (1/x² − 1)1/3/x³. Avec u = 1/x² − 1, du = −2dx/x³ ; u va de 8 à 0 : I = ½∫08u1/3du = ½ × (3/4) × 84/3 = (3/8) × 16 = 6.
- Q10 → A) e/2 − 1. x·ex/(x + 1)² = ex/(x + 1) − ex/(x + 1)², qui est la dérivée de ex/(x + 1). Entre 0 et 1 : e/2 − 1.
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace (Q11 à Q13)
- Q11 → D) x = −1 + 2t, y = 2 − 3t, z = −3 + 4t. La droite orthogonale au plan est dirigée par le vecteur normal (2, −3, 4) et passe par A(−1, 2, −3) (t = 0).
- Q12 → A) (−33/17, 50/17, 27/17). Pour H(−1 + 2t, 2 − 2t, 3 + 3t), AH = (2t, −1 − 2t, 2 + 3t) doit être orthogonal à u = (2, −2, 3) : 4t + 2 + 4t + 6 + 9t = 17t + 8 = 0, t = −8/17. H = (−1 − 16/17, 2 + 16/17, 3 − 24/17) = (−33/17, 50/17, 27/17).
- Q13 → C) (−8, −4, 0). Point courant (1 + 3t, 2 + 2t, 3 + t) ; z = 0 pour t = −3, d'où B(−8, −4, 0).
Exercice 2 — Le repas de Taha et Jawad (Q14 à Q16)
Chaque tirage : un prénom avec probabilité ½, puis un billet au hasard dans la poche de cette personne. Au départ, Taha tire 50 DH avec probabilité 3/4 (100 DH : 1/4) et Jawad 50 DH avec probabilité 1/2 (100 DH : 1/2). Il y a au plus deux tirages.
- Q14 → B) 10/32. Le repas coûte 150 DH si le 1er billet vaut 50 et le 2e vaut 100. Taha donne 50 (3/8) : il lui reste 2×50 et 1×100, et P(2e = 100) = ½ × 1/3 + ½ × 1/2 = 5/12, soit 3/8 × 5/12 = 5/32. Jawad donne 50 (1/4) : il ne lui reste que 100, et P(2e = 100) = ½ × 1/4 + ½ × 1 = 5/8, soit 1/4 × 5/8 = 5/32. Total : 10/32.
- Q15 → A) 6/32. Ils paient la même somme seulement si chacun donne un billet de 50. Taha 50 puis Jawad 50 : 3/8 × ½ × ½ = 3/32 ; Jawad 50 puis Taha 50 : 1/4 × ½ × 3/4 = 3/32. Total : 6/32.
- Q16 → C) 22/32. L'un mange gratuitement si une seule personne paie tout. Contraire : les deux tirages concernent deux personnes différentes, de probabilité P(1er billet = 50) × ½ = 5/8 × ½ = 10/32. Réponse : 1 − 10/32 = 22/32.
Exercice 3 — Z = z1/z2 (Q17 à Q20)
- Q17 → A) (√2/4)(1 + √3 + i√3 − i). Z = (√2 + i√6)(2 − 2i)/8 = [(2√2 + 2√6) + i(2√6 − 2√2)]/8 = (√2/4)[(1 + √3) + i(√3 − 1)].
- Q18 → D) 1. |z1| = √(2 + 6) = 2√2 et |z2| = 2√2.
- Q19 → A) π/12. z1 = 2√2·eiπ/3 et z2 = 2√2·eiπ/4, donc Z = ei(π/3 − π/4) = eiπ/12.
- Q20 → A) (√2/4)(1 + √3 + i√3 − i). Z2017 = ei2017π/12 ; 2017 = 24 × 84 + 1 et ei24π/12 = ei2π = 1, donc Z2017 = Z.
Grille des réponses
| Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | Q7 | Q8 | Q9 | Q10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | C | B | C | C | A | C | C | A |
| Q11 | Q12 | Q13 | Q14 | Q15 | Q16 | Q17 | Q18 | Q19 | Q20 |
| D | A | C | B | A | C | A | D | A | A |
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (4 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc). Il concerne le grade : 1ère année du cycle préparatoire.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : juillet 2017. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Organisme : les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) · juillet 2017 — Copie issue de : archive de modèles de concours — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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