Modèle de concours d'accès aux Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2013 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1^re année des ENSA Maroc (Écoles Nationales des Sciences Appliquées), session de juillet 2013, destinée aux bacheliers scientifiques. Durée : 1 h 30. L'épreuve compte 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D), une seule réponse juste par question. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.

💡 Méthode : 20 questions en 90 minutes, soit environ 4 minutes par question. Les limites se traitent presque toujours par équivalents (ln(1+u) ~ u, 1 − cos u ~ u²/2), et les calculs de restes par congruences : ne développez jamais une puissance énorme.

Probabilités, dénombrement, arithmétique (Q1 à Q4)

1. Q1 → B) 0,0489. Formule des probabilités totales : P(R) = 0,35×0,95 + 0,50×0,5 + 0,15×0,2 = 0,3325 + 0,25 + 0,03 = 0,6125. Formule de Bayes : P(autre | R) = 0,03 / 0,6125 = 12/245 ≈ 0,0490 ; la valeur proposée la plus proche (valeur tronquée) est 0,0489.
2. Q2 → C) 40. Mathématiciens : C(5,3) = 10. Physiciens : les 2 plus âgés sont imposés, il reste 1 physicien à choisir parmi 4 : C(4,1) = 4. Total 10 × 4 = 40.
3. Q3 → D) 4. 1234 ≡ 2 (mod 7) et 4321 ≡ 2 (mod 7). Comme 2³ = 8 ≡ 1 (mod 7) : 4321 = 3×1440 + 1 donne 2⁴³²¹ ≡ 2, et 1234 = 3×411 + 1 donne 2¹²³⁴ ≡ 2. Somme ≡ 2 + 2 = 4.
4. Q4 → C) divisible par 3 et par 31. 2² = 4 ≡ 1 (mod 3), donc 2¹⁰⁰ = (2²)⁵⁰ ≡ 1 : 3 divise 2¹⁰⁰ − 1. 2⁵ = 32 ≡ 1 (mod 31), donc 2¹⁰⁰ = (2⁵)²⁰ ≡ 1 : 31 divise aussi 2¹⁰⁰ − 1.

Sommes, suites, complexes (Q5 à Q10)

5. Q5 → C) 14910. Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 = 35×36×71/6 = 35×6×71 = 14910.
6. Q6 → D) 10/11. 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1) : somme télescopique = 1 − 1/11 = 10/11.
7. Q7 → B) 7/2. 7k est entier, donc E(7k) = 7k ; Σ7k = 7n(n+1)/2 et (1/n²)·7n(n+1)/2 → 7/2.
8. Q8 → A) 1. Pour n pair le terme vaut 3^1/n → 1, pour n impair il vaut 1^1/n = 1 : les deux sous-suites tendent vers 1.
9. Q9 → A) 6. On cherche z = a + ib avec a² − b² = 5, 2ab = −12 et a² + b² = |5 − 12i| = 13 : a² = 9, b² = 4, ab < 0, d'où z = ±(3 − 2i). Avec z₁ = 3 − 2i, z₂ = −3 + 2i : Re(z₁)·Im(z₂) = 3×2 = 6 (et l'autre ordre donne (−3)×(−2) = 6).
10. Q10 → B) −512√3. 1 + i√3 = 2e^iπ/3 et 1 − i = √2 e^−iπ/4, donc le quotient vaut √2 e^i7π/12. Puissance 20 : 2¹⁰ e^i35π/3 = 1024 e^−iπ/3 (car 35π/3 = 12π − π/3). Partie imaginaire : −1024 × √3/2 = −512√3.

Limites et intégrales (Q11 à Q16)

11. Q11 → A) 1/(2√3). √(x+x²) − √x = √x(√(1+x) − 1) ~ √x · x/2 ; dénominateur √(3x)·ln(1+x) ~ √3·√x·x. Quotient → (1/2)/√3 = 1/(2√3).
12. Q12 → C) 4/9. ln(cos u) ~ cos u − 1 ~ −u²/2 : le quotient ~ (−4x²/2)/(−9x²/2) = 4/9.
13. Q13 → A) 1. (limite en 0⁺) ln(x + x²) = ln x + ln(1 + x) ; en divisant par ln x → −∞ : (1 + x²/ln x)/(1 + ln(1+x)/ln x) → 1.
14. Q14 → D) 5/3 − ln(11)/ln(8). 1/(3 + 2^x) = (1/3)(1 − 2^x/(3 + 2^x)), et une primitive de 2^x/(3 + 2^x) est ln(3 + 2^x)/ln 2. D'où (1/3)[3 − (ln 11 − ln 4)/ln 2] = 1 − ln 11/(3 ln 2) + 2/3 = 5/3 − ln 11/ln 8.
15. Q15 → D) ln(2) − 2 + π/2. Intégration par parties : [x ln(1+x²)]₀¹ − ∫2x²/(1+x²)dx = ln 2 − 2∫(1 − 1/(1+x²))dx = ln 2 − 2(1 − π/4) = ln 2 − 2 + π/2.
16. Q16 → D) π/16. x = sin t : ∫₀^π/2 sin²t cos²t dt = (1/4)∫₀^π/2 sin²(2t) dt = (1/4)(π/4) = π/16.

Géométrie et algèbre linéaire (Q17 à Q20)

17. Q17 → B) √10. Vecteur AB = (9, −3), colinéaire à (3, −1) ; un vecteur normal est (1, 3), d'où (AB) : x + 3y − 11 = 0 (A : −4 + 15 = 11). d(C) = |−2 + 3 − 11|/√10 = 10/√10 = √10.
18. Q18 → C) 6. Pour tout point intérieur d'un triangle équilatéral, la somme des distances aux côtés est égale à la hauteur (somme des aires des trois petits triangles). Hauteur = 4√3 × √3/2 = 6.
19. Q19 → C) 2. H₁ ≠ H₂ sont deux hyperplans, donc H₁ + H₂ = E (dimension 4). Formule de Grassmann : dim(H₁ ∩ H₂) = 3 + 3 − 4 = 2.
20. Q20 → A) coefficient 91. B = I + N avec N nilpotente (N² n'a qu'un coefficient 1 en position (1,3), N³ = 0). B¹³ = I + 13N + C(13,2)N² : le coefficient (1,3) vaut 13 + 78 = 91.

Grille des réponses