Modèle de concours : EHTP 2025 Mathématiques — concours d'accès en première année

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cole Hassar

des Travaux Publi

Concours d’Acc

en Première Année

Epreuve de Mathématiques
15/07/2025 à 09h
Durée : 3h

L'usage de calculatrices est interdit

nt les raisons des ir

NA tixnace vec \ des matrices car
s tout le problème, on note My l'espace vectorie: des matrices C

tité est notée I.

au’une base 5, de M, (dite base canonique

‎0 sinon

‎ligne ‏م‎ ét de la colonne £, qui vaut 1.)

‎à-dire que tous jes «oefficients-sont nuls 1f

‎L'objet du problème est l'étude d'une application linéaire de ‏مكار‎

f= € Ma. On pose :

‎Ma ‏جب‎ R ainsi définie, est linéaire, Quelle est la matrice de ‏ب‎

‎/érifie ue 1 application 2:
‏لخر‎ Vérifier que ; ji
relativement à la base Ba = { ‏ا‎ E1,2, ‏لي‎ F2 } de Ma at à la base )1 } de
relativi En 2 Ex, E £ ë Ma R

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: 2024-2025
Ecole Hassania des Travaux Publics ___ _ : )

; : 8 ; 0 insi . les dimensions de ces espaces vectoriel
LA.2. Déterminer l'image et le noyau de ‏م‎ ainsi que les dir |

Expliciter une base de ker ÿ et compléter celle-ci en une base de M2.

1 1

LA.3. Soit N = € Mo. Montrer qu'il n'existe pas de couple (M, N) € Ma x Ma tel qu

MN - NM =1l,

LA.4. Montrer que si MN = NM pour toute matrice N € M5, alors M=\MM, où A€ R
1.3. Cas général

Dans cette partie, la matrice M € M, est notée M = (ais)iset 1... ‏رزم‎ Et on pose :
11

C'est-à-dire (M) est la somme des éléments de la diagonale de M.

1.3.1. Quelle est la dimension du noyau de ‏دمي‎ Mn + R ?

1.3.2. Expliciter une base du noyau de ‏.م‎ (On pourra considérer, en particulier, les matrices Æ1,; —

E;; pourt#1)

1.3.3. Soient M = (ai;)ije{1,-,n) ‏اع‎ N = (bis) ‏زم راع‎ dans Mn. Démontrer que :

Soit 7 : Mn + R une application linéaire, et M = ‏زم ...داعي( يجة)‎ € Mn: Écrire l'expression
de (M) à l'aide de f(B:5)-

En déduire qu’il existe une matrice A; € Mn, Unique, que l'on explicitera, telle que :

LB.5. Vérifier que l’application :
‏جر ا : للا‎ A
est un isomorphisme d'espace vectoriel de L£(Mn, KR) sur Mn.

1.13.6. Montrer qu’une matrice M qui commute à toute matrice de M, est un multiple de /.

PARTIE

TI.A, On considère l'intégrale :

t3 |

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11.3 ;
(cosx)" dx
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pa 1.141.064 € © OC las 216 611116 general 5111) dx, montrer que
A 14 16 1 ‏ا‎ 81 1 ca
A3 à =
11.5.3. On 056. pour n =
‏ما‎ = | 11 nn—n—In( et = Un ur u
pa 1 71-7 1 71

en déduire l’équivalent de Stirling :

‎nivv2xnn"e”"‏

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20016 Hassania des Travaux Publi

- On note ‏و‎ sa somme, là où elle conv

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11-3.2.2. Mont

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sun réel y strictement positif.

ILB.4.3. Montrer que (Wn)nen converge v

que ‏اداع‎

3

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