Modèle de concours : ENIM 2009 Analyse (titulaires du DEUG) — concours d'entrée en 1re année

Ce modèle est l'épreuve d'analyse du concours d'accès en 1re année de l'École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM), session de juillet 2009 (copie manuscrite de l'énoncé ; durée et barème non indiqués). Un exercice sur une intégrale à paramètre et un problème sur les intégrales de Gauss. Voici une correction détaillée proposée.

💡 Remarque sur l'énoncé : la copie manuscrite semble porter tx−1 au dénominateur de f. Avec cet exposant, le domaine ne serait pas ]0, +∞[ (l'intégrale diverge pour 0 < x ≤ 2) et les encadrements demandés seraient faux. Tous les résultats de l'exercice sont vrais avec f(x) = ∫1+∞ dt / (1 + t + tx+1) : c'est cette version, certainement celle de l'énoncé original, qui est corrigée ici.

Exercice 1

1°) Domaine de définition de f

L'intégrande t ↦ 1/(1 + t + t^x+1) est continue et positive sur [1, +∞[ ; seule la borne +∞ pose problème.

• Si x > 0 : 0 < 1/(1 + t + t^x+1) ≤ 1/t^x+1, et ∫₁^+∞ dt/t^x+1 converge (Riemann, x + 1 > 1). Donc f(x) existe.
• Si x ≤ 0 : pour t ≥ 1, t^x+1 ≤ t et 1 ≤ t, donc 1 + t + t^x+1 ≤ 3t et l'intégrande est ≥ 1/(3t), dont l'intégrale diverge. f(x) n'existe pas.

Conclusion : D_f = ]0, +∞[.

2°) f est décroissante sur ]0, +∞[

Soient 0 < x ≤ y. Pour t ≥ 1, t^x+1 ≤ t^y+1 (car ln t ≥ 0), donc 1/(1 + t + t^y+1) ≤ 1/(1 + t + t^x+1). Par croissance de l'intégrale (intégrales convergentes), f(y) ≤ f(x). f est décroissante.

3°) a) g est définie sur ]0, +∞[

Pour x > 0 et t ≥ 1 : 0 < 1/(t(1 + t^x)) ≤ 1/t^x+1, intégrable sur [1, +∞[. Donc g(x) existe.

3°) b) g(x) = ln 2 / x

Changement de variable u = t^x (bijection C¹ croissante de [1, +∞[ sur [1, +∞[) : du = x t^x−1 dt, donc dt/t = du/(x u). Alors

g(x) = (1/x) ∫1+∞ du / (u(1 + u)) = (1/x) ∫1+∞ (1/u − 1/(1 + u)) du = (1/x) [ln(u/(1 + u))]1+∞

= (1/x)(0 − ln(1/2)), soit g(x) = ln 2 / x.

3°) c) 0 ≤ f(x) ≤ ln 2 / x et limite en +∞

Pour t ≥ 1 : 1 + t + t^x+1 ≥ t + t^x+1 = t(1 + t^x) > 0, donc 0 ≤ 1/(1 + t + t^x+1) ≤ 1/(t(1 + t^x)). En intégrant : 0 ≤ f(x) ≤ g(x) = ln 2 / x.

Comme ln 2 / x → 0 quand x → +∞, le théorème des gendarmes donne lim_x→+∞ f(x) = 0.

4°) 0 ≤ ln 2 / x − f(x) ≤ 1/(2x + 1) et limite en 0⁺

ln 2 / x − f(x) = ∫1+∞ [1/(t + tx+1) − 1/(1 + t + tx+1)] dt = ∫1+∞ dt / [(t + tx+1)(1 + t + tx+1)].

L'intégrande est positive, d'où la minoration par 0. De plus t + t^x+1 ≥ t^x+1 et 1 + t + t^x+1 ≥ t^x+1, donc le produit est ≥ t^2x+2 et

ln 2 / x − f(x) ≤ ∫1+∞ t−2x−2 dt = [t−2x−1/(−2x−1)]1+∞ = 1/(2x + 1).

Limite en 0⁺ : f(x) ≥ ln 2 / x − 1/(2x + 1). Quand x → 0⁺, ln 2 / x → +∞ et 1/(2x + 1) → 1, donc lim_x→0⁺ f(x) = +∞.

Problème — Intégrales de Gauss

1°) Convergence de ∫_−∞^+∞ tⁿ e^−t² dt

La fonction est continue sur ℝ. Par croissances comparées, t² · |t|ⁿ e^−t² → 0 quand |t| → +∞, donc |tⁿ e^−t²| ≤ 1/t² pour |t| assez grand. L'intégrale converge absolument en ±∞ (Riemann).

2°) Convergence de ∫ P(t) e^−t² dt

Si P = Σ a_k t^k, alors P(t) e^−t² = Σ a_k t^k e^−t² est une combinaison linéaire finie de fonctions dont l'intégrale converge (1°). Par linéarité, l'intégrale converge.

3°) ∫_−∞^+∞ e^−t² dt = √π

Notons I = ∫_−∞^+∞ e^−t² dt > 0 et, pour R > 0, I_R = ∫_−R^R e^−t² dt. Par Fubini, I_R² = ∬_CR e^−(x²+y²) dx dy sur le carré C_R = [−R, R]². Le carré contient le disque D_R de rayon R et est contenu dans le disque D_R√2 ; l'intégrande étant positive :

∬DR ≤ IR² ≤ ∬DR√2.

En coordonnées polaires : ∬Dρ e−(x²+y²) dx dy = ∫02π ∫0ρ e−r² r dr dθ = π (1 − e−ρ²).

Donc π(1 − e^−R²) ≤ I_R² ≤ π(1 − e^−2R²). Quand R → +∞, I_R² → π, d'où I² = π et I = √π.

4°) a) I_n+2 = (n + 1)/2 · I_n

On écrit tⁿ⁺² e^−t² = tⁿ⁺¹ · (t e^−t²) et on intègre par parties sur [−A, A] avec u = tⁿ⁺¹, v' = t e^−t², v = −½ e^−t² :

∫−AA tn+2 e−t² dt = [−½ tn+1 e−t²]−AA + (n + 1)/2 ∫−AA tⁿ e−t² dt.

Le crochet tend vers 0 quand A → +∞ (croissances comparées). D'où I_n+2 = (n + 1)/2 · I_n.

4°) b) I_2n+1 = 0

La fonction t ↦ t²ⁿ⁺¹ e^−t² est impaire et son intégrale converge sur ℝ ; l'intégrale sur un intervalle symétrique est nulle : I_2n+1 = 0.

4°) c) I_2n = (2n)! √π / (2²ⁿ n!)

Récurrence sur n. Pour n = 0 : I₀ = √π = 0! √π / (2⁰ · 0!). Supposons la formule vraie au rang n ; d'après a) avec l'indice 2n :

I2n+2 = (2n + 1)/2 · (2n)! √π / (22n n!) = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! √π / (2 · 2(n + 1) · 22n n!) = (2n + 2)! √π / (22n+2 (n + 1)!).

La formule est vraie au rang n + 1, donc pour tout n : I_2n = (2n)! √π / (2²ⁿ n!). (Remarque : l'énoncé écrit « 2²ⁿ n! » au dénominateur.)

5°) Convergence de u_p

La fonction t ↦ t^2p e^−t² / (t² + (2p)!) est continue sur ℝ (le dénominateur est ≥ (2p)! > 0) et positive. Comme t² + (2p)! ≥ (2p)!, on a

0 ≤ t2p e−t² / (t² + (2p)!) ≤ t2p e−t² / (2p)!,

dont l'intégrale converge (1°). Par comparaison de fonctions positives, u_p converge.

6°) 0 ≤ u_p ≤ I_2p / (2p)! et convergence de la série

En intégrant l'encadrement du 5° : 0 ≤ u_p ≤ I_2p / (2p)!. Avec 4°c :

I2p / (2p)! = √π / (22p p!) = √π · (1/4)p / p!.

La série Σ (1/4)^p/p! converge (série exponentielle, de somme e^1/4 ; ou critère de d'Alembert : le rapport des termes vaut 1/(4(p + 1)) → 0). Par comparaison de séries à termes positifs, la série de terme général u_p converge, et Σ u_p ≤ √π e^1/4.