Modèle de concours : ENIM 2009 Mécanique (titulaires du DEUG) — concours d'entrée en 1re année

Ce modèle est l'épreuve de mécanique du concours d'entrée en 1^re année de l'École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM, Rabat), réservé aux titulaires du DEUG, session de juillet 2009. Durée : 1 h 30. Barème : partie I (pendule) 6 points, partie II (cylindre qui roule) 14 points. Voici une correction proposée. (Les annotations manuscrites visibles sur la figure du pendule ne font pas partie du sujet.)

💡 Deux outils suffisent : la conservation de l'énergie (vitesses) et le principe fondamental de la dynamique projeté sur la bonne direction (tension, réaction, frottement). Pensez à dire pourquoi l'énergie se conserve : fil inextensible, roulement sans glissement.

I – Pendule

1) Masse suspendue à un fil : V₀ minimale = √(5gL)

Repérons la masse par l'angle θ entre le fil et la verticale descendante (θ = 0 au point bas, où la vitesse vaut V₀).

• Énergie (la tension, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas ; seul le poids travaille) : v² = V₀² − 2gL(1 − cos θ).
• PFD projeté sur la normale (vers le point de suspension) : T − mg cos θ = m v²/L, d'où
  T(θ) = m[V₀²/L − 2g + 3g cos θ].

Un fil ne peut que tirer : il reste tendu tant que T ≥ 0. T est minimale au point haut (θ = π) : T(π) = m(V₀²/L − 5g). Pour que la masse décrive la circonférence complète, il faut T(π) ≥ 0, soit V₀² ≥ 5gL :

V_0,min = √(5gL). (Au point haut, on a alors v_haut² = gL : le poids fournit à lui seul l'accélération centripète.)

2) Masse au bout d'une tige rigide

Une tige peut aussi pousser (T < 0 est permis) : la seule condition est d'atteindre le point haut avec une vitesse non nulle. v²(π) = V₀² − 4gL > 0, donc

V₀ > √(4gL) = 2√(gL) (valeur limite 2√(gL), pour laquelle la masse arrive au point haut avec une vitesse nulle).

II – Cylindre plein homogène

1) Moment d'inertie I_z

Masse volumique ρ = M/(πR²h). On découpe le cylindre en couronnes de rayon r, d'épaisseur dr : dm = ρ·2πr h dr. Alors

I_z = ∫₀^R r² ρ 2πh r dr = 2πρh R⁴/4 = M R²/2.

2) Énergie cinétique en roulement sans glissement

Théorème de König : T = ½ M V_c² + ½ I_z ω². Sans glissement, V_c = Rω, donc

T = ½MV_c² + ½(MR²/2)(V_c/R)² = (3/4) M V_c².

3-1) Coefficient de frottement de roulement k

Juste avant le démarrage (α = α₀), le cylindre est en équilibre sous son poids, la réaction normale N et la force de frottement T (parallèle au plan, vers le haut). La résistance au roulement se traduit par un couple résistant égal à kN (k a la dimension d'une longueur).

• Projection sur la normale au plan : N = Mg cos α₀.
• Projection sur la ligne de plus grande pente : T = Mg sin α₀.
• Moments au centre C : T·R = k·N, ce qui est la relation donnée T = (k/R)N.

D'où Mg sin α₀ = (k/R) Mg cos α₀, soit k = R tan α₀.

3-2) Pourquoi préférer le roulement au glissement

Le coefficient de résistance au roulement ramené au rayon (k/R = tan α₀, très petit) est bien plus faible que le coefficient de frottement de glissement f. Déplacer une charge en la faisant rouler demande donc une force beaucoup plus faible (T = kN/R au lieu de fN), dissipe moins d'énergie en chaleur et use moins les surfaces. C'est le principe des roues, galets et roulements à billes.

4-a) Condition de roulement sans glissement

La vitesse du point de contact I du cylindre (par rapport au plan) est nulle : V_I = V_C + ω ∧ CI = 0, soit V_c = Rω (et a_c = R dω/dt).

Cette condition n'est tenable que si la force de frottement nécessaire reste inférieure à la limite de Coulomb. En appliquant le PFD (Ma_c = Mg sin α₁ − T) et le théorème du moment cinétique en C (I_z dω/dt = TR) avec a_c = R dω/dt : a_c = (2/3) g sin α₁ et T = (1/3) Mg sin α₁. La condition T ≤ fN s'écrit tan α₁ ≤ 3f (f : coefficient de frottement de glissement).

4-b) Vitesse après un parcours L

Théorème de l'énergie cinétique entre le départ (vitesse nulle) et la distance L : le poids travaille (MgL sin α₁) ; la réaction normale est perpendiculaire au déplacement ; la force de frottement s'applique au point de contact de vitesse nulle, donc ne travaille pas (résistance au roulement négligée).

(3/4) M V_c² − 0 = M g L sin α₁ ⇒ V_c² = (4/3) g L sin α₁.

Contrôle cinématique : mouvement uniformément accéléré avec a_c = (2/3) g sin α₁, donc V_c² = 2a_cL = (4/3) g L sin α₁. ✔