Modèle de concours : ENIM 2013 Analyse (titulaires du DEUG) — concours d'entrée en 1re année

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Concours d'entrée à l'Ecole Nationale de i Industrie Minérale

Juillet 2013
EPREUVE D'ANALYSE
PROBLEME 1
On considère l'application
In(l +
; 43 (0: +oo[+ 18, ‏هحلط { = 160 بر‎ 5 ‹0
1 siz=0

Partie I: Etude de l’application f
1) Montrer que f est continue sur (0; +8]:
2) On considère l'applicetion

à) Montrer que f est de classe 1 sur [0 +66] et que, pour tout z E]0;+oo[, f(x) = ‏لعل‎
‏ء‎ b) Montrer que f" admet —7 comme lirnite en O à droite.
c) Démontrer que f est de classe C! sur [0; +oof et préciser 1770:
d) Dresser le tableau de variation de À.
En déduire que f est strictement décroissante sur (0; -Foo(.

e) Déterminer la limite de 1 en +:

3( On considère l’application

32? +2

2
à) Montrer que f est deux fois dérivable sur ]0;-+oof, et que, pour tout = E]0; +oof,

b) Dresser le tableau devariation de B.
En déduire que f est convexe sur ]0; +oo|.
4) Tyrâcer l'allure de la courbe représentative de f.

Partie IT : Un développement en série

1) Montrer, pour tout N EN et tout t € {0;1] :
1 _+ pyépé (=
‏وار‎ 26e
k=0
2) En déduire, pour tout N € N et tout x € {0;1] :

k=0 k
2 1 1 ) N+1 ‏لالع‎ +1

1+t

جلاع 1+ ل )

où on a noté Jy(z) =

N+2
8) Établir, pour tout N EN et tout x € [0;1] : [Jn(æ)| › ÿ TE

4) En déduire que, pour tout x € {0; 1], la série 1 ( 1

converge et que :

اران ا ‎te‏
‏اس و

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Partie 111 : Egalité d’une intégrale et d’une somme de série

1) Montrer, en utilisant le résultat ‏عل‎ » pour tout N € N et tout z € [0,1] :

و لي - ا

2) Montrer que la série › ‏حر‎ converge et que : / f(=)dx = › ee

n2l 7 n=li
3) Montrer, pour tout NEN‘:
2N+1 à N 1 N.;
‏ال ا‎ AR
2N41 ‏ل عون‎ 1 + #1
21 7 ; mr?
4) On admet que › 7°5" Montrer : / /)( ‏عل‎ = 135

Partie IV : Recherche d’extremum pour une fonction réelle ‏قل‎ deux variables réelles

86 ‏رمال = رما + )2,9( رامال‎ - Po) - Fly).
1) Montrer que © est de classe 02 sur ]0; +oo[2.
Exprimer, pour tout (x, y) ‏وز‎ +oo[*, les dérivées partielles premières et secondes de G en
2) Établir que G admet (1,1) comme unique point critique.
3) Est-ce que © admet un extremum local ?

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