Modèle de concours : ENIM 2013 Algèbre (titulaires du DEUG) — concours d'entrée en 1re année

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Concours d'entrée à l'Ecole Nationale de l'Industrie Minérale

Juillet 2013
EPREUVE D'ALGÈBRE
Exercice:
Soit Ii 00
9 0 -8

1. Déterminer les valeurs propres de À. Donner une base de vecteurs propres de À et diagonaliser /
2. On cherche à déterminer une matrice B telle que 83 = A.

(a) Démontrer que si À est une valeur propre de B alors 13 est une valeur propre de A.
(b) Déterminer les valeurs propres de B et leur multiplicité.

(c) Ecrire le polynôme caractéristique de B.

(d) Déterminer B telle que 33 = A.

PROBLEME 2

On-note n'un nombre entier fixé supérieur ou égal 2, Æ le sous-espace vectoriel de R(X] constitué
des polynômes de degré inférieur ou égalänet B=(1,X,.., X") la base canonique de Æ.

Partie I : Étude d’un endomorphisme de E

1) Montrer que, pour tout polynôme P de E, le polynôme (x? 1 ‏“رم‎ est élénrent de E, où
((X? - 1)P)" désigne le polynôme dérivée seconde de (X? — 1)P.

On note ® : E— 8 l'application qui, à tout polynôme P de B, associe ®(P) = ((x? —1)P)".

3) Montrer que  estun endomorphisme de Æ.
4) Calculer ®(X*) pour tout k € [0,n] et écrire la matrice À de ® dans la base B:
5)a) Montrer que & admet n + 1 valeurs propres deux à deux distinctes que l'on notera
‏رود‎ Ar,-.., An, avec A0 ‹ À; ‏ماك خا‎
b) Est-ce que & est bijectif ?
c) Montrer que ® est diagonalisable et déterminer, pour tout & € [0,n], la dimension du
sous-espace propre de ® associé à A4.

6) Soient ‏ع‎ [0,n} et P un vecteur propre de ® associé à la valeur propre A;.
a) Montrer que le degré du polynôme P est égai à k.
b) Montrer que le. polynôme Q défini par Q(X) = P(-X) est un vecteur propre de ® associé

7) En déduire qu'il existe une unique base (Po, P1,, Pa) de E constituée de vecteurs propres
de © telle que, pour tout k € [0,7], Pe est un polynôme de degré k, de coefficient dominant
égal à 1 et vérifiant M (—X) = (-1)ER(X).

Que peut-on en déduire sur la parité de P, ?

8) Calculer Po, /A, Pa, ‏اي‎

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Partie II: Un produit scalaire sur E

1
1) Montrer que l'application : (P,Q) + (P|Q) = | (1 — x°)P(x)Q(z)dx est un produit
1
scalaire sur E.

On inunit dorénavant E de ce produit scalaire noté (.|.).

2)a) À l’aide d’intégrations par parties, établir que ® est un endomorphisme symétrique de F.
b) Montrer que la base (Po, P;,,., Pa) de E obtenue à la question 1:7 est orthogonale.

3)a) Montrer que pour tout polynôme S de degré inférieur ou égal à j — 1, on a : (SIP;)=0.
b) En considérant (1|P;), montrer que P; ne garde pas un signe constant sur l'intervalle }—1;1{.
c) En déduire que-P; admet au moins, dans l'intervalle ]-1;1[, une racine d'ordre de multiplicité

impair.

4) Onnote {r1,.., tm} l’ensemble des racines d'ordre de multiplicité impair de P; appartenant

à l'intervalle ] - 1:1] et Sn = (X — x1)(X — 22). (X - Em).

a) Justifier: ›

b) Montrer que le polynôme Sym P; (produit des polynômes ‏مي‎ et P;) garde un signe constant
sur l'intervalle ] - 1]

c) En considérant (S,n|P;), montrer que m = j.

d) En déduire que P; admet 7 racines simples réelles toutes situées dans l'intervalle [1-1]

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