Modèle de concours : CNC 2023 Physique I (PSI) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2023 - Filière PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction, claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve
sont relativement indépendantes entre elles.

La comète C/1995 O1 Hale-Bopp

Les divers peuples du monde
connaissent les comètes depuis bien
longtemps. Les comètes apparaissent dans
le ciel, leur brillance —augmentant
progressivement en quelques mois en
révélant une majestueuse structure formée
d'une tête brillante, appelée chevelure ou
coma, suivie d'une longue traîne lumineuse
(figure 1). Les comètes s'affaiblissent
ensuite progressivement et disparaissent en
plusieurs mois.

Figure 1: Comète de Hale-Bopp :
Observer : Wally Pacholka
(http://www.jpl.nasa.gov/comet)

Le mouvement des comètes, comme celui des planètes, se réfère à leur
position par rapport au « fond céleste » que constituent les constellations d'étoiles,
dont la forme et la disposition relative semble immuable. Sur ce fond les comètes
se déplacent bien plus vite que les planètes.

Données :

- Masse du Soleil : M, =2.10"kg.

- Rayon de l’orbite terrestre supposée circulaire : d,, =1,5.10*km .
- Masse volumique de l'eau : u, =10*kg.m”.

- Constante de gravitation universelle : G=6,67.10""'S/.

-  Célérité de la lumière dans le vide : c =3,00.10%m.s".

- Densité volumique d’énergie électromagnétique : u,, = RE. + ‏اك‎
‎2 24
L'épreuve est composée de deux parties indépendantes, à l’intérieur
desquelles de nombreuses questions peuvent être traitées indépendamment les
unes des autres.

La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Épreuve de Physique 1 1/5

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Partie 1
Onde électromagnétique dans le vide

On étudie la propagation d’une onde électromagnétique sinusoïdale dans le
vide. On suppose que le champ électrique de cette onde en un point M de

l’espace à l’instant ; est de la forme : E(M,#)= E,cos(æt-kz)e, . On pose k=? avec
0

‎et k sont respectivement la pulsation et le module d’onde de l’onde, et c est la‏ ن
‎vitesse de la lumière dans le vide.‏

‎1. Déterminer la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde.
2. Exprimer le champ magnétique B de cette onde puis la moyenne

‎temporelle ‹Ti› du vecteur de Poynting II = de l’onde, u, étant la

‎perméabilité magnétique du vide.
3. Exprimer la moyenne temporelle de la densité volumique d’énergie
électromagnétique ‹u,, › de cette onde.

‎4. Quelle relation y a-t-il entre ‹II› et ‹u, › ?

‎Partie 2
La comète Hale-Bopp

‎1.  Trajectoire de la comète Hale-Bopp

‎En 1997, la comète Hale-Bopp, découverte indépendamment par Alan Hale
et Thomas Bopp en 1995, est passée relativement près de la Terre. Cette comète,
supposée centrée au point C, possède une orbite elliptique autour du Soleil
centré au point ‏ى‎ avec une excentricité e. =0,995. À son périhélie (point de l’orbite
le plus rapproché du Soleil), le le avril 1997, sa distance au Soleil était
r! =1,35.10*km et en ce point sa vitesse par rapport au référentiel de Copernic

‎valait v£ = 451.57. On note M, et m, les masses respectivement du Soleil et de la

‎comète assimilés à des points matériels, et G la constante de gravitation. On
néglige la masse de la comète devant celle du Soleil. L’étude est faite dans le
référentiel de Copernic centré sur le Soleil et supposé galiléen.

‎On note (Sxy) le plan de la trajectoire de la comète et on repère la position
de la comète par ses coordonnées polaires (,.,0.) auxquelles on associe la base

‎3 ‏ا‎ ; 2 étant le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan.

‎On donne l’équation polaire de la trajectoire elliptique de la comète

‎fr. = ‏ع7‎ où pe est le paramètre de l'orbite. On rappelle l’accélération d’un

‎corps céleste assimilé à un point matériel écrite en coordonnées

‎5) | ‏ل رس‎ 5 , C, étant la constante des aires.

‎polaires : ‏دع‎ _
r 20 7

‎Épreuve de Physique 1 2/5

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1.1. Quelle serait la trajectoire (hypothétique) de la comète si on avait e, =1 ?

1.2. Faire un schéma de la trajectoire de la comète. Faire apparaître la position
du Soleil ‏مي‎ celle du périhélie ‏م‎ et celle de l’aphélie A (point de l’orbite le
plus éloigné du Soleil). En un point C quelconque de la trajectoire, faire
apparaître la base locale cylindrique.

1.3. Rappeler l’expression de la force de gravitation ‏وم‎ exercée par le Soleil
sur la comète. Justifier que cette force est centrale.

1.4. Expliquer comment la conservation du moment cinétique permet
d’expliquer que la trajectoire de la comète est plane.

1.5. Calculer le paramètre ‏م‎ de l’orbite de la comète et la distance ‏دي‎ de la
comète à l’aphélie.

1.6. Ecrire la conservation du moment cinétique au périhélie et à l’aphélie. En

déduire l’expression de la vitesse y, de la comète à l’aphélie. Calculer la
valeur numérique de ‏.عر‎

1.7. Calculer le demi-grand axe a, de l’orbite.

1.8. Sachant que la trajectoire de la Terre est presque un cercle de rayon ‏مك‎

décrit uniformément, montrer que la période orbitale 7. de la Terre autour

273 12
du Soleil est donnée par : T, = 2

1.9. En utilisant la 3ème loi de Kepler, exprimer la période orbitale 7. de la
comète Hale Bopp en fonction ‏ممع‎ T, et ‏نمك‎

1.10. Calculer 7.. En quelle année peut-on espérer revoir la comète Hall-Bopp 2
S'agit-il d'une comète à courte période ou d'une comète à longue période ?

1.11. Exprimer l’énergie mécanique de la comète en fonction des paramètres au
périhélie (l’énergie potentielle étant définie comme nulle à l’infini). En

déduire qu’elle se met sous la forme : E,(C)= + me (2 1 | Le | :
2 1+6
Commenter le signe de l’énergie mécanique.
1.12. L'énergie mécanique de la comète vaut E,(C)=-4,49.1077. Calculer la masse
m. de la comète. En considérant que la masse volumique des roches

cométaire est très voisine de celle de l’eau et en faisant l’approximation
d’une comète sphérique, calculer le rayon moyen R, de cette comète.

1.13. Une étude détaillée du mouvement de la comète nécessite de prendre en
compte des perturbations dues à la résultante des forces exercées par les
autres planètes du système solaire. On peut les ramener à un supplément

(faible) de force attractive, de la forme F = # , OÙ k est une constante. Quel

est, qualitativement, l’effet de cette force sur la trajectoire de la comète ?

2. La pression de radiation et la queue courbe de la comète

On a pu constater que le nuage gazeux appelé queue, qui accompagne une
comète est derrière la comète quand celle-ci s’approche du Soleil et devant quand
elle s’en éloigne. On distingue deux queues : la queue courbe est due à la
pression de radiation du Soleil sur les poussières neutres de la comète tandis que
la queue droite est due au vent solaire et provient de l’interaction de celui-ci avec

Épreuve de Physique 1 3/5

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les ions de la comète. La queue courbée de la comète est constituée par de petites
particules, supposées parfaitement réfléchissantes, assimilées à des sphères
homogènes de rayon b et de masse volumique ‏.بر‎ Une particule sphérique située
dans l’espace … interstellaire

(assimilé au vide) à la distance ‏و‎ (Centre du Soleil)
r du Soleil reçoit de la part de
cette étoile une énergie. Afin de 2
simplifier les calculs on
modélise la particule par son

Disque
équivalent

disque équivalent de rayon b, Figure 2 : pression de radiation
supposé conducteur parfait
(Figure 2).

2.1. Rappeler l’énergie W et la quantité de mouvement p d’un photon de
fréquence v.
2.2. Exprimer la densité particulaire n° de photons à l’onde incidente en
fonction de ‹u,, ›, h et v.
On modélise la réflexion en considérant que chaque photon incident
arrivant normalement sur une surface dS du disque équivalent subit un choc
élastique et possède après ce dernier une quantité de mouvement opposée.

2.3. Déterminer la variation de quantité de mouvement Ap, d’un photon au
moment du choc sur le disque.

2.4. En déduire la quantité de mouvement Ap, transférée par le photon au
disque.

2.5. Établir l’expression de la quantité de mouvement dp transférée au disque
par l’ensemble des photons arrivant en un temps dt sur un élément du
disque d’aire ds.

2.6. Exprimer la force F exercée par l’ensemble des photons sur la surface
élémentaire dS correspondant au transfert de quantité de mouvement dp.

2.7. Montrer que la pression de radiation s’écrit sous la forme : P, =2‹u, ›-

2.8. On tient compte maintenant de la géométrie sphérique de la particule.
Justifier la généralisation de l’expression précédente dans le cas d’une
incidence oblique d’angle ‏و‎ par rapport à la normale par:

Pas =2‹ UHom › cos” 0 *
On se propose d’appliquer ce résultat à la lévitation, par le rayonnement
solaire, de la particule sphérique parfaitement réfléchissante de la queue de la

comète.

2.9. Justifier que la force moyenne F' exercée par le rayonnement solaire sur la

particule est suivant Oz.
2.10. Montrer que la force 71 exercée par le rayonnement solaire sur la particule
a pour expression : F'=xb"‹u, › e, :

On souhaite exprimer la force F' due au rayonnement solaire en fonction
de la puissance p, émise par le Soleil. On considère que toute la puissance

électromagnétique P reçue par la particule est absorbée par celle-ci et que la

Épreuve de Physique 1 4/5

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force moyenne F' exercée par le rayonnement solaire est donnée par F'=—e, où
7

c est la vitesse de la lumière dans le vide.

2.11. On suppose que la puissance émise par le Soleil se répartit de façon
isotrope sur une sphère de rayon r et on admet que la particule intercepte

cette sphère sur la section efficace zh”. Exprimer la puissance P captée
par la bille en fonction de P,, b et r.

2.12. En déduire l’expression de la force F' en fonction de P,, c, b et r.

2.13. Exprimer la force de gravitation F, exercée par le Soleil sur la particule.

2.14. Exprimer la taille limite ‏رط‎ de la particule pour que la force de radiation due
au rayonnement solaire soit égale à la force de gravitation.

2.15. Calculer ‏.رط‎ On donne u=3.10*kg.m” et la puissance rayonnée par le Soleil
P,=4.10*W . Justifier l’appellation de queue poussiéreuse ainsi que son

allure courbée.
2.16. Comment expliquer que les particules restent dans le sillage de la comète ?

Épreuve de Physique I 5/5

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