Modèle de concours : CNC 2011 Physique II (PSI) — Concours National Commun

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions

abordées.

e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Interférences lumineuses : interféromètre de Michelson
Données :
e Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00.108 m.s-! ;
e Constante de Planck : h = 6,63.10-34 J.s ;
e Constante de Boltzmann : Ke = 1,38.10-23 J.K-! ;
e Nombre d’Avogadro : Na = 6,02.1023 10011

1. Optique géométrique
Une lentille mince convergente (Lo) de distance focale ‏,نر‎ de centre 0 est
utilisée pour la projection d’un objet AB réel, perpendiculaire à l’axe optique Ox, de

dimension transversale h et situé à la distance d = 2 de la lentille.

1.1. A quelles conditions l’image A’B’ de l’objet AB donnée par la lentille est-elle nette 2
1.2. Construire l’image A’B’ dans le cas où d › f',. Quelle est la nature de l’image ?
Est-elle renversée ou droite ?

On rappelle le grandissement transversal et la relation de conjugaison de la

lentille (Lo) avec origine au centre s’écrivent respectivement :
OA! 1 1 1
7 et = =

OA OA" OA fe

1.3. On fixe la distance D entre le plan de l’objet AB et l’écran d'observation (E). Quelle
relation doit vérifier la distance focale /', pour que l’image A’B?” soit réelle sur (E) 2

1.4. Application numérique : D= 1m. Proposer une valeur usuelle de la focale ‏.م‎

2. Lampe à vapeur de mercure

La lampe à vapeur de mercure émet une lumière polychromatique, c'est-à-dire une
lumière composée de plusieurs radiations monochromatiques. Le diagramme de la figure
1 représente quelques nivaux d'énergie de l’atome de mercure.

2.1. Le spectre de la lampe à vapeur de mercure est-t-il discret ou continue ?

Epreuve de Physique ١١ 1/9

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E (eV)

2.2. L'une des radiations émises par la

lampe à vapeur de mercure correspond
à la transition du niveau d'énergie E3
vers le niveau d'énergie E:. Établir la
relation entre la variation d'énergie AE =
Es — E, de l'atome et la longueur d'onde
Àz51 de la radiation émise.

la longueur d'onde 23,1.

Calculer la valeur numérique de

2.4. Dans quel domaine, ultraviolet

(U,V.), visible ou infrarouge (I.R.), se
situe la radiation de longueur d'onde

Eo = -10,45 eV

fau figure 1
3. Optique ondulatoire : interféromètre de Michelson

3.1. Questions préliminaires

On considère deux sources lumineuses S1 et S» ponctuelles, monochromatiques, de
même longueur d’onde dans le vide À, cohérentes et en phase, et d’intensités
respectives 1 et L. La lumière est représentée, au point M et à l’instant t, par une

vibration lumineuse scalaire complexe a(M,#) = ‏عير‎

, avec j/"=-—1. Dans cette
expression, A, est l’amplitude réelle (supposée constante) de la vibration et @(M,t) sa
phase au point M et à l’instante t.
3.1.1. Sous quelles conditions peut-on représenter une vibration lumineuse, de nature
vectorielle, par une grandeur scalaire ?
3.1.2. On note 6(M) la différence de marche en un point M de l’espace où viennent
interférer deux vibrations issues de Si et Sa. Exprimer 6(M) en fonction des chemins
optiques.
3.1.3. Montrer que l'intensité lumineuse /(M) au point M s’écrit :

0

3.1.4. Représenter les variations de l’intensité lumineuse en fonction de 6(M). Indiquer

les points remarquables.

3.1.5. Exprimer les intensités /, d’une frange brillante et ‏ا‎ d’une frange sombre. En

1-1
‎Représenter‏ ا
آ + را

déduire le contraste de la figure des interférences défini par C =

l’allure de C en fonction de 2 ? Commenter.
1

3.1.6. Quel est l’intérêt de choisir deux sources telles que /, =1, ?

3.1.7. L’expérience montre que l’éclairement engendré par deux sources ponctuelles

Epreuve de Physique ١١ 2/9

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monochromatiques distinctes est uniforme. Donner l’expression de l'intensité lumineuse
I(M) dans ce cas et expliquer la nécessité de superposer deux vibrations lumineuses

obtenues par division d’une vibration issue d’une source primaire unique ponctuelle
monochromatique S. Expliquer le rôle de la longueur de cohérence dans l’obtention des
interférences lumineuses.

3.1.8. Quelle relation lie la différence de marche 6(M) à l’ordre d’interférence p(M) ?
Sachant que l’observation des interférences permet la mesure de l’ordre d’interférence
p(M) en un point ou la variation Ap de p(M) en ce point, citer trois applications du

phénomène d’interférences lumineuse.
3.2. Description de l’interféromètre de Michelson réel

La figure 2 donne le schéma de l’interféromètre de Michelson pratique couramment

utilisé dans les laboratoires des lycées. Il est constitué :

- d’une lame séparatrice (Sp) semi-réfléchissante et non absorbante dont les
facteurs de réflexion R et de transmission T sont égaux à 0,5. Cette lame fixe est
inclinée à 45° par rapport aux normales à (M1) et (M2).

- d’une lame compensatrice (Cp), identique à (Sp) mais non traitée. Elle est réglable
en inclinaison (vis de réglage trappe ct et porte cp).

- d’un miroir plan fixe (M1), réglable en inclinaison (vis de réglage fin trappe mt1 et
porte mp1).

- d’un miroir plan mobile (M), réglable en position (translation à l’aide du chariot
mobile par le tambour (T)) et en inclinaison (vis de réglage semi-fin trappe mt2 et
porte mp2).

- d’une lame de verre à faces parallèles (Va).

figure 2 (M3)

3.2.1. Le système interférentiel décrit ci-dessus est-il à division du front d’onde ou à
division d’amplitude ? Justifier la réponse.

3.2.2. Expliquer, en se servant d’un schéma soigné, le rôle de la lame séparatrice (Sp).
Quel est l’intérêt pratique de choisir les coefficients de réflexion et de transmission égaux
à 0,5 pour la séparatrice (Sp) ?

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3.2.3. Montrer qu’avec ce montage, la moitié du flux incident est irrémédiablement
perdue.

3.2.4. Expliquer, en se servant d’un schéma soigné, le rôle de la lame compensatrice

3.2.5. Quel est le rôle de la lame de verre à faces parallèles (Va) située à l’entrée de
l’interféromètre de Michelson ?

3.3. L’interféromètre de Michelson éclairé par une source étendue

Dans cette partie, on considère un interféromètre de Michelson idéal constitué par
une lame semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice (Sp), dont les
facteurs de transmission et de réflexion valent 0,5, d’épaisseur nulle et n’introduisant
aucun déphasage, et deux miroirs plans (M1) et (M2). La lame (Sp)um est inclinée à 45° par
rapport aux normales à (M1) et (M2) (figure 3).

Source

étendue
( Sp ) th

figure 3

On suppose dans tout le problème que l’interféromètre de Michelson est plongé dans
l’air d’indice de réfraction égal à 1.

3.3.1. Expliquer pourquoi, dans l’étude théorique, on peut remplacer les deux lames (Sp)
et (Cp) de l’interféromètre réel par la lame compensatrice théorique (Sp)tn.

3.3.2. Proposer un protocole de réglage de l’interféromètre de Michelson permettant

d’obtenir, avec par exemple une source spectrale de vapeur atomique, une figure
d’interférence nette, contrastée et lumineuse.

3.3.3. Franges d’égale inclinaison

Les miroirs (M1) (de centre O1) et (M2) (de centre Oa) sont perpendiculaires entre
eux et respectivement orthogonaux aux axes OO, et ‏و00‎ de l’interféromètre. On pose
OO, = let OO, = 1+ e. L’interféromètre est éclairé par une source étendue S à vapeur
atomique de mercure, monochromatique de longueur d’onde dans le vide À, =546,1 nm .

3.3.3.1. A quelle couleur correspond la vibration de longueur d’onde À, = 546,1 nm ?
3.3.3.2. Comment faut-il éclairer l’interféromètre de Michelson pour obtenir des
franges d’égale inclinaison ? On donnera le montage expérimental.

Epreuve de Physique ١١ 4/9

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3.3.3.3. Dessiner le schéma équivalent du montage en lame d’air en faisant
apparaître son épaisseur ainsi qu’un rayon incident avec un angle quelconque / et les
deux rayons émergents (1) et (2) auxquels il donne naissance. On utilisera les propriétés
de symétrie du montage. Préciser la position des sources secondaires S; et Sa». Justifier
que les franges d’interférences observées sur l’_écran (FE) perpendiculaire à l’axe Oy sont
des anneaux. Sont-elles localisées ? Si oui, dire pourquoi et préciser leur lieu de
localisation.

3.3.3.4. Lors d’une manipulation, on a obtenu des ellipses au lieu des anneaux
circulaires. Expliquer pourquoi. Expliquer comment y remédier.

3.3.3.5. On considère un point M du champ d’interférence. Montrer que la
différence de marche &(M) entre les deux rayons émergents (1) et (2) s’écrit :

3.3.3.6. Déterminer l’expression de la différence de marche 6(M) entre les deux
rayons émergents au point M où ils interférent en fonction de l’épaisseur e et de

l’inclinaison 1 . Justifier l’appellation « anneaux concentriques d’égale inclinaison ».

3.3.3.7. En déduire que l’intensité lumineuse /(M) au point M est donnée par :

Quelle est la signification de /, ? Représenter l’allure de l’intensité Z(M) en fonction de
l’angle ; Commenter.

On observe la figure d’interférence en utilisant une lentille convergente (L’) de distance
focale /".

3.3.3.8. Compléter le schéma obtenu à la question 3.3.3.3. en y ajoutant la lentille
(L’) et le cheminement des deux rayons émergents de l'interféromètre et de la lentille.

3.3.3.9. On dispose de trois lentilles convergentes de distances focales images 5
mm, 20 cm et 1 m. Laquelle doit-on choisir pour projeter les franges d’interférences ?
Laquelle doit-on choisir pour enregistrer les franges d’interférences ? Pourquoi ?

3.3.3.10. | Donner l'expression de l'ordre d'interférence p, au centre de la figure
d’interférences. Calculer sa valeur numérique pour une épaisseur e=1,5mm.

Commenter.

3.3.3.11. On s'intéresse maintenant à l'évolution de l'intensité lumineuse au centre
de la figure d'interférences. De quelle quantité doit-on déplacer le miroir M» pour passer
d'un maximum d'intensité à un minimum d'intensité. Tracer l'allure de la courbe
décrivant la variation d'intensité en fonction du déplacement de (M). Peut-on déplacer
indéfiniment (Ma) ?

3.3.3.12. 01 se place au voisinage de l’incidence normale. Etablir l’expression du
rayon R« correspondant au kième anneau brillant (on compte les anneaux à partir du

centre des anneaux). po a la valeur trouvée dans la question 3.3.3.10.
3.3.3.13. | Montrer que les rayons R: des anneaux brillants sur l'écran sont tels que

R 2

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3.3.3.14. En translatant le miroir mobile, on constate que les anneaux s’enfoncent
dans le centre de la figure. En déduire le sens de variation de l’_épaisseur e de la lame
d’air. Comment varie le rayon des anneaux dans ce cas ? Comment varie le nombre total
d’anneaux observés sur l’écran (E) en dehors du centre à la suite de cette translation ?
Les franges deviennent-elles plus fines ou plus larges 2 Justifier les réponses.

3.3.3.15. … Qu'appelle-t-on contact optique ? Déduire de ce qui précède, une procédure
pratique pour l'atteindre. Décrire l’aspect de l’écran au contact optique.

3.3.3.16. | Quelle est la source de lumière qui permet de réaliser le contact optique le
plus précis avec l’interféromètre de Michelson ? Justifier votre réponse.

3.3.3.17. 18 source utilisée n’est pas rigoureusement monochromatique mais quasi-

monochromatique centrée sur la longueur d’onde ‏و12‎ (correspondant à la fréquence vo).
Pour des valeurs de la fréquence v comprises entre v et v + dy, l’intensité de la source
vaut dl, =1,v)dv, 1, (V) est appelé l’intensité spectrale en fréquence. On dispose d’un

photodétecteur ponctuel placé au centre de la figure d’interférence donnée par
l’interféromètre de Michelson. Le photodétecteur fournit un courant proportionnel à
l’intensité lumineuse qu’il reçoit. Un moteur permet de faire translater le miroir mobile
(Ma) à la vitesse constante V à partir de la position correspondante au contact optique.

3.3.3.17.1. Donner l’expression de l'intensité lumineuse captée par le photodétecteur
pour une fréquence v donnée.

3.3.3.17.2. Mettre cette expression sous la forme /(z)=1, (1 + cos(2xvr)) où vest la
fréquence optique. Donner l’expression de + ainsi que sa signification physique.

3.3.3.17.3. On considère un faible intervalle de fréquences optiques, entre vet v+ dv.
Exprimer l'intensité élémentaire ‏ل‎ captée par le photodétecteur dans cet intervalle de
fréquence.

Les lampes spectrales (à vapeur atomique : mercure, sodium, ...( présentent des
spectres optiques composés de raies plus ou moins fines. La largeur de ces raies
d’émission est principalement due à l’effet Doppler et à la distribution de vitesse des
molécules de gaz présentes dans la lampe. Cette répartition des vitesses des molécules

est régie par la loi de Boltzmann : P(E)=R, ‏اه‎ 5 où P(E) est la probabilité de

trouver une molécule à une énergie 1, T est la température absolue du gaz et k, est la

constante de Boltzmann.

3.3.3.17.4. Comment appelle-t-on le terme exp - 5 ? Quelle est sa signification
physique ?
3.3.3.17.5. Exprimer l’énergie E d’une molécule, supposée ponctuelle, de gaz de masse
m et de vitesse V. En déduire la répartition des vitesses dans le gaz.
La fréquence v émise par un émetteur en mouvement est reliée à la fréquence v,

VO = 0.

mesurée par un récepteur fixe par la relation de Doppler : v =

3.3.3.17.6. Montrer que l'intensité spectrale d’une raie spectrale peut se mettre sous la

Epreuve de Physique ١١ 6/9

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forme : 1, (V)=1, exp - 2 . Donner l'expression de a.

3.3.3.17.7. Représenter la courbe donnant 7, (V) en fonction de v.

3.3.3.17.8. Calculer la largeur spectrale Av à mi-hauteur de /,,(v) et interpréter la
constante a. En déduire la finesse de la raie à profil gaussien défini par
Application numérique : calculer la largeur spectrale (en fréquence et en longueur
d’onde) d’une raie d’émission du mercure, à À, =546,1nm . La masse molaire du
mercure est de 200,6 g.mol-!, et la lampe est portée à une température de 500 K.

3.3.3.17.9. Calculer 1101608116 lumineuse d’interférence (7) que l’on obtiendra au
centre de la figure d’interférences. On rappelle la valeur de l'intégrale de Gauss :

‎exp(-x"b'x"). D’autre part, la faible contribution des‏ راط = ‎exp(2 jaux)du‏ جام

‎fréquences négatives à l'intensité spectrale Z,,(V) permet d’étendre les intégrales de —o à

‎3.3.3.17.10.Un calculateur associé au détecteur fournit la fonction C(1)= —+——

‎Etablir l’expression de C(7) . Tracer le graphe de C(r) et celui de /(7). On suppose

‎3.3.3.17.11.Comment avec un enregistrement du graphe de (7) peut-on remonter

‎simplement aux caractéristiques spectrales de la source (largeur à mi hauteur, profil
spectral, ...(2

‎3.3.4. Franges d’égale épaisseur

‎L’interféromètre de Michelson est réglé dans la configuration «contact optique». On
incline le miroir mobile M» d’un angle ‏ه‎ et on éclaire l’interféromètre en lumière quasi-
parallèle par une source étendue S, monochromatique de longueur d’onde dans le vide

‎3.3.4.1. On dispose d’une lampe spectrale, d’un diaphragme et d’une lentille
convergente (L;) de focale 7. Donner le protocole expérimental qui permet, à l’aide d’un
miroir plan de positionner ces éléments afin d’éclairer l’interféromètre de Michelson en
lumière quasi-parallèle ?

‎3.3.4.2. A l’aide d’un schéma soigné, montrer que l’interféromètre de Michelson est
équivalent, du point de vue chemin optique, à une lame coin d’air d’angle ‏ه‎ constituée du

‎miroir fixe (M) et de (M’.) image du miroir mobile (M) à travers la séparatrice. Préciser la
position des sources secondaires S1 et Sa.

‎3.3.4.3. L’interféromètre étant éclairé en lumière quasi-parallèle, on observe les
franges du coin d’air supposées localisées sur le miroir fixe (M;). On utilise une lentille

‎(La) de focale f', pour en visualiser l’image sur un écran.

‎3.3.4.3.1. Déterminer l’expression approchée de la différence de marche ‏لاه‎ en

‎Epreuve de Physique ١١ 7/9

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fonction de la distance X d'un point P sur (M)) à l’arête commune des miroirs (M) et (M’).
Quelle est la forme des franges d’interférences ? Déterminer l’expression de l’interfrange
in SUr le miroir (M1) en fonction de la longueur d’onde À", et de l’angle a.

3.3.4.3.2. La lentille (La) dont la distance focale est f', = +20 cm est placée à une

distance d = 23 cm du miroir fixe. A quelle distance d’ de la lentille faut-il placer l’_écran
pour avoir une image nette ? Quel est le grandissement y de la lentille 2

3.3.4.3.3. Quelle est l’interfrange à sur l’écran ?

3.3.4.3.4. Sur l’écran on mesure une interfrange de 6,0 mm. En réalisant l’expérience
avec une longueur d’onde connue on a déterminé la valeur de œ : ‏م‎ = 3,0.104 rad. En
déduire la valeur de À", -

3.3.4.4. Expliquer la démarche expérimentale (manipulation, conditions d’éclairage

et de projection) à suivre pour passer du réglage « coin d’air » à celui «en lame d’air à
faces parallèles » ?

3.3.4.5. Expliquer pourquoi, sur un interféromètre de Michelson, les franges de coin

d'air sont plus faciles à obtenir que les anneaux d'égale inclinaison.

3.4. Application : détermination de l’écart de longueur d’onde du doublet
jaune du mercure

L’interféromètre de Michelson est réglé dans la configuration «dame d’air à faces
parallèles» d’épaisseur e. La source, supposée ponctuelle, est constituée par une lampe
spectrale au mercure qui présente, dans le jaune, un doublet de longueurs d’onde À et
À2 très voisines. On suppose que chaque vibration est émise avec la même intensité Io.
On pose AX = ha- ki, Am = (A2 + A1)/2 et on suppose que AX ‹‹ ‏سا‎

En déplaçant le miroir mobile M, à vitesse constante V, grâce à un moteur, les

anneaux défilent. Au foyer F’ de la lentille de projection (L’) est placé un photodétecteur
relié à une carte d’acquisition. On enregistre ainsi grâce à un ordinateur la variation
d’intensité au point F’ au cours du déplacement du miroir mobile.

3.4.1. La lampe à vapeur de mercure présente d’autres couleurs dans le visible.
Comment isoler les deux raies jaunes que contient le spectre du rayonnement émis ?

3.4.2. Détermination de la longueur d’onde moyenne \m

Dans cette partie, la lampe de mercure est assimilée à une source ponctuelle
monochromatique de longueur d’onde Am. On déplace le miroir mobile très lentement
grâce au moteur. L’épaisseur de la lame augmente de Ae. Le photodétecteur enregistre N
anneaux brillants qui défilent au centre de la figure d’interférences.

3.4.2.1. Exprimer l’ordre d’interférence p’o en F”.

3.4.2.2. Ecrire une relation entre po, ‏وم‎ et N. On suppose qu’initialement l’ordre po
est entier.

3.4.2.3. En déduire l’expression de la longueur d’onde moyenne Am.

3.4.2.4. On note T la période du signal périodique enregistré grâce au

photodétecteur. Montrer que Am = 2VT.

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3.4.2.5. L’enregistrement, d’une durée At = 42 s, est une tension périodique de 81
périodes. Calculer numériquement Ae et la longueur d’onde moyenne Am. On donne la
vitesse du moteur V = 556 nm.s-!.

3.4.3. Détermination de l’écart de longueur d’onde ‏بنذ‎

On augmente l’épaisseur e de la lame d’air à partir du contact optique.

3.4.3.1. Les deux vibrations de longueurs d’onde À; et À, sont-elles cohérentes ?

3.4.3.2. Montrer simplement que les interférences « disparaissent » pour certaines
épaisseurs successives ‏عه‎ que l’on déterminera. Que vaut la distance Ae parcourue
par le miroir mobile entre deux brouillages successifs. En déduire que AX = }?m/(2Ae).

3.4.3.3. L'écart temporel entre deux brouillages successifs est At = 144,5 s et la
vitesse du moteur est V = 556 nm.s-!. Calculer numériquement A.

3.4.3.4. Déduire des calculs précédents à; et À».
3.4.4. Mise en équation mathématique

3.4.4.1. Déterminer l’expression mathématique de l’intensité I(e).
2
3.4.4.2. Etablir l’expression du contraste C des franges. On rappelle que ‏حسة ‹‹ لذ‎

Rappel : cos(a)+cos(a)=2cos( 5 3 )cos(

3.4.4.3. Retrouve-t-on le résultat établi à la question 3.4.3.2. ?

3.5. Interférences en lumière blanche

On éclaire l’interféromètre de Michelson, réglé en coin d’air, à l’aide d’une source de
lumière blanche.

3.5.1. Pourquoi est-il nécessaire d'être très près du contact optique pour observer les
franges d’égales épaisseur.

3.5.2. En pratique, on n'observe que quelques franges. Expliquer pourquoi ?

3.5.3. Lorsqu'on s’éloigne de la frange centrale, les franges du coin d’air en lumière
blanche disparaissent et l’on observe du « blanc d’ordre supérieur ». Pourquoi l’appelle-t-
on blanc d’ordre supérieur ?

3.5.4. On projette les franges du coin d’air à faible distance (d = 4 f) et on met en place
une fente parallèle aux franges à la place de l’écran. On fait ensuite l’image de cette fente
et on place un prisme à vision distincte (PVD). On observe un spectre de lumière blanche

cannelé.
3.5.4.1. Expliquer ce que veut dire le terme « spectre de lumière blanche cannelé »
3.5.4.2. Le nombre de cannelures dépend-il de l’épaisseur de la lame d'air.

Epreuve de Physique ١١ 9/9

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