Modèle de concours : CNC 2010 Physique I (PSI) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun
Ecole Supérieure des Industries du Textile et de l’Habillement
ESITH

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Écoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2010

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière PSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2010 - Filière PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Étude de la conversion de l'énergie éolienne

Dans le cadre du développement durable, on s'intéresse à la création de petites unités de
production électrique à partir d'énergies renouvelables. On se propose ici d'étudier quelques
dispositifs d’une éolienne de petite ou moyenne puissance, destinée à alimenter des sites isolés.

Le problème est composé de trois parties.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

1°'° partie
Transfert de puissance de l'air à l’éolienne

On s'intéresse dans cette partie au modèle d'écoulement axial de l'air autour de l’hélice d’une
éolienne, située en z = 0 (voir figure 1), en faisant les hypothèses suivantes :

e L'air est considéré comme un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique
‏ملا‎ en écoulement dans un référentiel R lié au sol et supposé galiléen.

e On suppose l'écoulement de l'air stationnaire et à symétrie de révolution autour de l'axe de
rotation de l’hélice. La vitesse est supposée uniforme sur une section droite du tube de courant.

e La pression garde la même valeur sur une section droite du tube de courant. À grande distance
de l’hélice, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphérique notée po.

e Les sections S4 et Sp du tube de courant au niveau de l’hélice sont égales à S (S4 = Sp = ٠
On note ‏رط‎ la pression sur S4 et pp sur Sp.

e l'écoulement étant turbulent au niveau de l’hélice, on admet pour simplifier que la vitesse 7
de l’air est la même entre S4 et Sp.
1.1. Étude préliminaire de l’écoulement
1.1.1. Définir le débit massique et le débit volumique d’un fluide à travers une surface 5.

1.1.2. Rappeler la loi de conservation de la masse sous sa forme locale et sous sa forme intégrale
dans un volume V limité par une surface D.

Épreuve de Physique I 1/7 Tournez la page S.V.P.

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Concours National Commun - Session 2010 - Filière PSI
Sa! SB

28

1

1

1

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1

1

‎1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1

1 1
1 1

0

Figure 1: Écoulement axial de l'air autour d’une hélice

1.1.3. On désigne par ‏برل‎ Dm et ‏يوت‎ les débits massiques de l'air à travers les sections 57,
S et ‏و5‎ respectivement du tube de courant de la figure 1. Montrer que ces débits massiques sont
égaux : Dm, 1 = Dn = Din,2-

1.1.4. En déduire deux relations entre 51, ‏روي‎ S et les modules v,, ‏ون‎ et v des vecteurs vitesses
V1, Vaet 7 respectivement.

1.15. Dans le cas d’un écoulement stationnaire, homogène et incompressible d’un fluide
parfait, BERNOULLI a établi la relation :

2
7 0
‎cste‏ ل ووو + =

2

Que représente cette équation ? Quelle est la signification physique de chacun des trois termes ?

Par la suite, on néglige les effets de la pesanteur.

1.2. Force exercée par l’air sur l’hélice

1.2.1. Écrire la relation de BERNOULLI suivant une ligne de courant entre les sections S, et 54
d’une part et entre les sections Sp et ‏وي‎ d'autre part. En déduire l'expression de la pression p4 en
fonction de ‏رن , لا روط‎ et v, puis celle de ‏ورم‎ en fonction de pp, ‏ونا رن‎ et v.

1.2.2. Écrire l'expression de la force 7 exercée par l'air sur l’hélice en fonction de pa, ‏رورم‎ S et
2 puis en fonction de v;, v», 1, $ et 7, F 72, étant le vecteur unitaire de l'axe Oz.

1.23. Écrire le bilan de quantité de mouvement pour le fluide compris entre les sections 5; et
S2.

1.2.4. En déduire l'expression de la force 7 exercée par l'air sur l’hélice en fonction de D, 7
et TV», puis en fonction de ju, S, v, v1, ‏ون‎ et 2,

1.2.5. Montrer que la vitesse v de l'air au niveau de l’hélice est donnée par l'expression :

ونه + 01
1 كدير

Épreuve de Physique I 277 ‏هب‎

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1.3. Étude de la puissance reçue par l’hélice : loi de BETZ

La production d'énergie se fait au préjudice de l'énergie cinétique du vent : lors de son passage
à travers l’hélice, une fraction de l'énergie cinétique de l'air est transférée à l’hélice qui se met en
rotation. La vitesse va est donc nécessairement inférieure à v,. On notera P la puissance reçue par
l’hélice.

1.3.1. Écrire le bilan de l'énergie cinétique pour le fluide compris entre les sections 5, et ‏.وى‎

1.3.2. En déduire l'expression de la puissance mécanique P cédée par l'air à l’hélice en fonction
de y, ‏ري‎ v, 01 et vo.

1.333. Onpose:x = 2 Montrer que la puissance P reçue par l’hélice s’écrit sous la forme :
01

1.34. Pour une vitesse v, donnée du vent en amont de l’éolienne, la vitesse en aval ‏و‎
‎ne pouvant pas s’annuler ; il existe une puissance maximale Praz que l’on peut extraire de la
circulation d’air (Loi de BETZ).

1.3.4.1. Pour quelle valeur x,, de x la puissance P est-elle maximale. Donner l'expression
de la puissance maximale Paz (dite limite de BETZ) en fonction des grandeurs y, ‏ي‎ et v,. Tracer
l'allure de P(x).

1.3.4.2. Pour r = x, déterminer les expressions de ‏وه‎ et v en fonction de v;, et l'expression
de la force F exercée par l'air sur l'hélice en fonction de ji, S'etv,.

1.3.5. Le rendement de l’éolienne est défini comme le rapport de la puissance P fournie par
l'air à l’hélice au débit de l'énergie cinétique en amont de l’éolienne.

13.51. Calculer le débit de l'énergie cinétique F à travers une section droite de surface S où
la vitesse est v,.

1.3.5.2. En déduire le rendement théorique de l’éolienne 7, en fonction de x.

1.3.6. Application numérique : 1 = 1,3 ‏مو‎ v, = 12 ‏راقم‎ S = 3,14 m°. Calculer ‏مم7‎ Et
le rendement associé r4p-

1.3.7. Dans la pratique, le rendement théorique maximal pour une éolienne idéale n’est jamais
réalisé à cause des effets suivants :

e La force de trainée n’est jamais nulle à cause des frottements.
e L'hélice contient un nombre fini de pales.

Le rendement est alors plus faible et la puissance peut s’écrire :

1
Preel = 2 Cp ph 5 vî

où ‏من‎ est le coefficient de performance. Il dépend de la géométrie, de l’inclinaison des pales et de la
vitesse du vent.

1.3.7.1. Montrer que C, admet une valeur maximale à cause de la loi de BETZ.

Épreuve de Physique I 3/7 Tournez la page S.V.P.

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1.3.7.2. Calculer numériquement C, pour une puissance réelle Pc; = 900 W en utilisant les
données numériques de la question 1.3.6.

2°M° partie

Modèle de l'élément de pale
Dans le modèle de l'écoulement axial traité dans la partie précédente, on a supposé que
l'écoulement ne subit aucun mouvement de rotation, mais en réalité la loi de conservation du
moment cinétique impose que l'air doit avoir un mouvement rotatif afin que l’hélice (rotor) puisse

extraire un couple utile. Dans ce cas le sens de rotation de l'écoulement de l'air est opposé à celui
du rotor.

Dans le modèle de l'élément de pale, on introduit le mouvement de rotation de l'air autour de
l’axe Oz. Dans l'élaboration de ce modèle, les suppositions suivantes sont envisagées :

e L'écoulement en amont loin du plan du rotor, est complètement axial.

e Au niveau du plan du rotor, la vitesse angulaire de rotation de l'air est w, cette vitesse diminue
considérablement loin du rotor, en aval, de telle manière que la pression statique à cet endroit
peut être considérée égale à la pression atmosphérique po.

e L'écoulement de l'air autour d’un élément de la pale est considéré comme bidimensionnel.

Les expressions de la puissance extraite et du couple appliqué sur les pales, peuvent être
obtenues en considérant l'écoulement de l'air à travers un élément annulaire du tube de courant
de rayon r, d'épaisseur dr et de section dS = 2xrdr (figure 1). Les rayons du tube de courant
correspondant sont notés 7, au niveau de la section ‏ري‎ et 79 au niveau de ‏.وي‎

On note Q la vitesse angulaire de rotation de l’hélice autour de l'axe Oz et on suppose que la
vitesse axiale v de l'air au niveau de l’hélice soit uniforme.
2.1. Étude de la rotation de l’air

2.1.1. La variation de la quantité de mouvement de l'air dans la direction tangentielle, donne
la force tangentielle exercée par l'air sur la pale. Cette force s’écrit sous la forme :

dm est le débit massique à travers la surface ‏كل‎ et v; la vitesse orthoradiale de l'écoulement de l'air.

2.1.1.1. Écrire l'expression v; en fonction de w et 7. En déduire l'expression de dF; en fonction
de,u,v,w,r etdS.

2.1.1.2. Écrire l'expression du moment 49 de la force dF, par rapport à l'axe Oz.

2.1.1.3. Écrire l'expression de la puissance dP extraite à travers la section ‏مك‎ en fonction de
dQ et Q. En déduire son expression en fonction de je, v, w, Q, r et dr.

2.114. Montrer que la puissance totale P extraite par l’hélice et le couple Q qu'elle subit sont
donnés par les expressions suivantes :

Q = 2x / var*dr (3)

P - 4 | vwr*dr (4)
0

Pour pouvoir calculer la puissance et le couple (P et Q), il faut déterminer w.

Épreuve de Physique I 4/7 ‏هب‎

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21.2. On pose :w = a'Q ‏اه‎ est appelé facteur d’interférence tangentiel. w et a’ dépendent à
priori de r.

8

2.1.2.1. Écrire les expressions des débits de moment cinétique, par rapport à l'axe Oz, à
travers les sections annulaires du tube de courant situées au niveau de ‏ري‎ et ‏ري‎ de la figure 1,
de rayons respectifs 7, et r, et d'épaisseur dr. On notera ‏ره‎ et w4 les vitesses angulaires de rotation
de l'air au niveau de ces sections annulaires.

2.1.2.2. Écrire le bilan de moment cinétique, en projection sur l'axe Oz, pour le fluide compris
entre les sections annulaires situées au niveau de Sy et Sa.

2.1.2.3. En déduire w4. Montrer, en utilisant les hypothèses du modèle que la vitesse angu-
laire de l'écoulement de l'air subit une discontinuité au niveau du plan du rotor.

2.1.2.4... On admet que la valeur de la vitesse angulaire de l'air au niveau du plan du rotor est
la moyenne de celles situées juste avant et derrière le rotor (w4 et ‏ورت‎ respectivement) :

‎0 2

Montrer que ‏وم‎ = 26.

2.1.2.5. Écrire le bilan du moment cinétique, en projection sur l'axe Oz, pour le fluide compris
entre les sections annulaires situées au niveau de Sp et ‏.وي‎

2.1.2.6. Montrer que la vitesse angulaire ‏وه‎ de l'air au niveau de la section ‏وي‎ est donnée par :

2
T9

2.2. Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale

Commenter.

2.2.1. À l’aide de la relation de BERNOULLI suivant une ligne de courant entre les sections ‏يري‎
‎et Sp, montrer que la différence de pression pa(r) — par) est donnée par :

2.22. En déduire l'expression de la force élémentaire axiale dF exercée sur l'élément annulaire
du rotor de surface 5

2.2.3. On pose la vitesse axiale de l'écoulement de l'air au niveau des pales : v = (1 — ‏.روزن‎ On
admet que : dF = jiv(v, — v2)dS et que la relation (1) est toujours vérifiée. Déterminer le facteur
d'interférence tangentiel a’ en fonction de a, v1, r et Q.

2.24. En utilisant la relation (4), déterminer la puissance extraite P en fonction de y, Q, R, v1
eta.

2.25. Déterminer la valeur de a pour laquelle P est maximale. Donner les expressions corre-
spondantes de la puissance maximale et des vitesses v et va. Commenter.

2.2.6. La puissance maximale est la même que celle donnée par la relation (2), à condition
d'utiliser la valeur de x que l’on pourrait déduire de la question précédente. Déterminer l'expression
de la vitesse de rotation ® de l’hélice, en fonction de v, et R, qui correspond à l'extraction maximale
de puissance.

Épreuve de Physique I 5/7 Tournez la page S.V.P.

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Figure 2: Schéma de principe d’un alternateur.

2.2.7. On utilise les données numériques de la question 1.3.6. Calculer la valeur de la vitesse
de rotation Q de l’hélice qui correspond à l'extraction maximale de puissance. Exprimer le résultat
en nombre de tours par minute.

3ème partie

Conversion de l'énergie mécanique en énergie électrique

La conversion de l'énergie mécanique en énergie électrique est effectuée par une machine
électrique appelée alternateur. Pour un alternateur classique tournant à 3000 tr.min”*, le rotor de
l'alternateur est accouplé par l'intermédiaire d’un multiplicateur de vitesse. Cependant, pour des
éoliennes de puissance mécanique inférieure à 10 KW, le rotor est accouplé directement à l'arbre de
l’hélice. C’est ce dernier cas qu’on supposera par la suite.

3.1. Principe de la conversion électromécanique

Une représentation simplifiée d’un alternateur, dit monophasé, est donnée sur la figure 2-a. Il
comporte un cadre rectangulaire C; sur lequel on a enroulé N spires. Ce cadre tourne dans un
champ magnétique uniforme et constant 2 - 8 @, autour de son axe de symétrie À que l’on
prend comme axe Oz. On note 7? ; le vecteur normal, ce qui oriente le sens de parcours du cadre.
On note 0 l'angle orienté 0 = ( 2. 1 ). Le cadre est entraîné par l'axe de l’éolienne et tourne à la
vitesse angulaire Q = 0. ‏ده‎ prendra :0(t = 0( -

3.1.1. Établir l'expression du flux ‏رن‎ du champ magnétique à travers une spire de C, en
fonction de la surface du cadre S., 2 et 0.

3.1.2. Il apparaît aux extrémités de l’enroulement des N spires de ‏ردن‎ une force électromotrice
e, que l'on exprimera en fonction de 5, N, B, 0 et 0. Préciser en particulier sa pulsation we en
fonction de la vitesse de rotation ‏!؟‎ de la machine.

3.1.3. L'enroulement de résistance R. et d’inductance propre L, est connecté à une charge
résistive de résistance R. Représenter le circuit électrique équivalent ; on prendra soin de faire
apparaître sur le circuit l'orientation de la f.é.m. et du courant à, qui le parcourt. Donner l'expression
de 11. On pourra poser Z, = Re + j Lwe l'impédance équivalente de l'enroulement, avec j = -—1.

Épreuve de Physique I 6/7 ‏ب‎

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3.1.4. On rappelle que le moment des forces de LAPLACE s’exerçant sur le circuit C, baignant
dans un champ magnétique 72 uniforme vaut : T = M 1 X B où M 1 =Nià Se 7 1 est le moment
magnétique du cadre C,.

On notera J le moment d'inertie par rapport à l'axe À du cadre C, et de l'axe de l’hélice dont il
est solidaire. On supposera que les liaisons avec l'axe sont parfaites.

3.1.4.1. Déterminer l'expression en fonction du temps du moment T 1 des forces de LAPLACE
que subit le cadre C,.

3.1.4.2. Par application du théorème du moment cinétique par rapport à l'axe À, trouver une

équation différentielle en 0 reliant T 1 etle moment Tu = Pm 2 2 des actions exercées par l’hélice
sur la partie tournante.

3.15. En régime permanent, la vitesse angulaire © est constante. Déterminer l'expression de
(Fm), la valeur moyenne dans le temps de l'y. En déduire la puissance mécanique moyenne 7
fournie par l’hélice à la génératrice en fonction des données du problème.

3.1.6. Déterminer en régime permanent la puissance moyenne électrique Pe mise en jeu dans
le générateur de f.e.m. ‏.نت‎ Comparer Pe à Pm. Commenter.

3.2. Adaptation d’impédance

Un second cadre identique ‏رول‎ solidaire du premier et s’en déduisant par une rotation de +

complète le dispositif (figure 2-b). On notera 72» le vecteur normal à ce second cadre. L'ensemble
forme ce qu’on appelle un alternateur diphasé. On néglige l’inductance mutuelle entre les deux
enroulements.

3.2.1. Exprimer la f.é.m. ‏و‎ qui apparaît aux bornes de C5.

3.22. Les deux cadres ‏رن‎ et ‏وى‎ sont connectés à une même charge d'utilisation d'impédance

3.2.2.1. Représenter le circuit électrique équivalent.

3.2.2.2. Le circuit précédent peut être représenté par le schéma équivalent de la figure 3.
Établir les expressions de e en fonction de ‏به‎ et ce», et de Z, en fonction de Z,.

Figure 3: Schéma équivalent de l'alternateur associé à une charge.

3.2.3. Déterminer l'expression de la puissance moyenne P, délivrée à la charge.

3.2.4. Pour quelle charge la puissance P. est-elle maximale ? Commenter.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique I 747 FIN

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