Modèle de concours : CNC 2003 Physique II (TSI) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC
‘ Ministère de l’Éducation Nationale “Ministère de l'Enseignement
et de la Jeunesse Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2003

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

‘Durée 4 heures

‘Concours TSI

‘ Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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‘Concours National Commun - Session 2003 - 1

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. 11 convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.

L'épreuve est constituée de deux parties complètement indépendantes entre elles. La première
partie étudie le principe d'un montage optique permettant le relevé d’un profil de température. La
deuxième partie propose l'étude d’une machine thermique.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa‘
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

1** partie
Montage optique de relevé d’un profil de température

Le montage! utilise une technique interférométrique pour relever le profil de température T(z)
au-dessus d’une plaque métallique Pportée à une température T, et placée dans l'air ambiant dont
la température est T, loin de la plaque chauffée. Pour les applications numériques, on prendra
T, = 328 K et T… = 294 K.

La surface libre du métal est supposée occuper le plan z = 0.

Figure 1: Interféromètre de MACH-ZEHNDER.

La technique utilisée repose sur la dépendance de l'indice de réfraction de l’air vis-à-vis de sa
température thermodynamique 7. Cette dépendance est supposée vérifier la loi approchée suivante,
que l'on ne demande pas de justifier :

où À est une constante positive.

Le dispositif interférentiel utilisé est un interféromètre de MACH-ZEHNDER (figure 1). I! est
composé de deux miroirs plans parfaitement réfléchissants M, et M2 et de deux lames semi-
transparentes Sp, et Sp, d’épaisseurs négligeables. Les deux miroirs 96 et M2 ainsi que les deux

'C. ROLDAN et al, Eur. J. Phys. 14 (1993) 128-131.

Épreuve de Physique II 1/9 ‘Tournez la page S.VP.

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“Concours National Commun - Session 2003 — TSI

lames semi-transparentes Sp, et Sp, sont inclinés de 45° et parallèles entre eux. Les distances AB et
CD d'une part, AC et BD d'autre part sont égales.

La plaque métallique Pest placée dans le bras CD de l’interféromètre de sorte que, lorsqu'elle
est portée à la température T, supposée uniforme, elle crée dans l’air une variation de température
T(x) perpendiculairement à sa surface. Dans toute cette étude, on supposera que la longueur L des
côtés de la plaque carrée 2 est suffisamment grande pour pouvoir négliger tous les effets de bord.
La figure 1 représente l’ensemble du dispositif vu de dessus alors que la figure 2 est une vue de
profil de la plaque éclairée par le faisceau du bras CD de l'interféromètre.

LG van eut a SE ‏ا الحا ا‎
DST S ‏جعود لو كه يورو‎ tu ibn S

‎Figure 2: Vue de profil de la plaque 2 placée dans le bras CD de l’interféromètre. La lame semi-‏
‎transparente Sp, n'est pas représentée sur ce schéma.‏

Le dispositif expérimentale est éclairé à l'aide d’un laser HeNe de longueur d'onde À =
632,8 nm. On note g le diamètre du faisceau laser supposé cylindrique. On supposera également
que l’intensité lumineuse du faisceau laser est constante sur une section principale du faisceau.

1.1. Afin de pouvoir éclairer toute la zone de variation de température au dessus de la plaque 2
(figure 2), on élargit le faisceau laser initial de diamètre ‏م‎ pour obtenir un faisceau laser cylindrique
de travail de diamètre ‏.ان‎ Pour cela, on utilise un montage télescopique constitué de deux lentilles
convergentes ‏مآ‎ et La de distances focales image / et fa.

11.1. Comment doit-on placer les deux lentilles ‏يآ‎ et La l’une par rapport à l'autre afin
d'obtenir un faisceau cylindrique de diamètre d’ à la sortie à partir d’un faisceau cylindrique de
diamètre ‏ن‎ à l'entrée ? On exprimera la distance 0,02 en fonction de f1 et fa.

“1.1.2. Exprimer le rapport $ en fonction de fi et f2-

1.2. On se propose tout d'abord d’étudier quelques propriétés de la figure d’interférence. Pour
cela, on note, au niveau de l'écran d'observation (E) :

1, l'intensité lumineuse de l’onde qui passe par la voie (1), ABD, de l’interféromètre
+ L l'intensité lumineuse de l’onde qui passe par la (2), ACD, de l’interféromètre
» ‏عام‎ déphasage entre ces deux ondes en un point M quelconque de l'écran d'observation.

1.2.1. Exprimer l'intensité résultante 1 en un point quelconque de l'écran d'observation en
fonction de F,, L et ÿ.

1.2.2. Donner la représentation graphique de I en fonction de ‏م‎ et déterminer la valeur
maximale Imax Ainsi que la valeur minimale Fnin de /.
12.3. Montrer que le contraste C de la figure d'interférence défini par C = las, Inn ne
7 Tmax+Tmin
dépend que du rapport des intensités R = = et tracer les variations de C en fonction de R.
2

Épreuve de Physique II 279 Trail

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Concours National Commun - Session 2003 — TSI

1.24. Pour quelle valeur de R le contraste C est-il maximum 7 Quelles précautions pratiques
doit-on prendre pour obtenir le contraste maximum ?

1.3. On se propose à présent de montrer que le relevé de l'interférogramme /(x) permet de
déterminer le profil de température au-dessus de la plaque 7

1.3.1. Décrire l'allure de la figure d’interférence dans le plan de l'écran d'observation (E) et
montrer que les surfaces d'égale intensité du champ d'interférence correspondent à des surfaces
isothermes du profil de température au-dessus de la plaque P.

1.3.2. Exprimer l’ordre d’interférence ‏رم‎ défini par ‏م‎ = 2xp, avec ‏م‎ › 0 par convention, en
fonction de À, L, A, T… et T.

1.3.3. Exprimer l’ordre d'interférence p, au niveau du plan de la plaque ©
13.4. Montrer que la température T, correspondant à la frange d'interférence d'ordre ‏م‎ est
donnée par la relation : Et

TER 6 1047 :
T Ris Fr ; D (2

1.4. La figure 3 représente la partie centrale de l‘interférogramme montrant l'ensemble de
toutes les franges d'interférence obtenues. La partie du champ d'interférence ainsi montrée couvre
l'ensemble des variations de température allant de T, à Tw-

7

Plaque P

Figure 3: Région centrale de l'interférogramme:

Cet interférogramme a été enregistré à l'aide d’une caméra numérique à dispositif de transfert de
charge DTC (ou CCD pour Charge Coupled Device). La matrice active de cette caméra est composée
de 256 x 256 éléments photosensibles (ou pixel pour Picture Element). Chaque pixel est un carré de
côté 303,5 um. La figure 4 donne la variation de l'intensité des pixels, sur une échelle de 0 à 255,

dans la direction Ox perpendiculaire à la plaque 7

14.1. Montrer que l'ordre d’interférence ‏م‎ est maximal au niveau du pu de la plaque P. On
rappelle que, par convention, ‏م‎ à été défini positif.

1.4.2. Déterminer les valeurs numériques de l'ordre d’interférence de toutes les ‏لح و‎ sombres
qui apparaissent sur l'interférogramme.

Épreuve de Physique II 8/9 Tournez la page S.V.P;

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°o 8

155 175 195 215 235 255
Numéro du pixel

Figure 4: Variation de l'intensité des pixels dans la direction Oz perpendiculaire à la plaque 7 Le
pixel n°159 correspond à la surface de la plaque.

1.4.3. En déduire les valeurs numériques de la température des surfaces isothermes correspon-
dantes. On présentera les résultats sous forme d’un tableau à deux lignes (xp, 7,) donnant la dis-
tance x, de la surface isotherme ‏م‎ par rapport à la surface de la plaque P ainsi que sa température
‏.م1‎ On admettra, qu’en très bonne approximation, l’ordre d‘interférence ‏م‎ est entier en ‏ع‎ = 0 et on
rappelle la correspondance : 1 pixel + 303, 5 um.

1.5. On se propose de vérifier que le profil de température au dessus de la plaque P peut être
décrit par une loi du type :

T(z)=a+Bexp_kz 6)
où a, f et k sont trois constantes positives.
15.1. Exprimer a et 8 en fonction de T, et ‏م7‎
‎1.5.2. Vérifier, à l'aide d’une représentation graphique adéquate par exemple, que les données
expérimentales déduites de la question 1.4.3. peuvent être bien représentées par la loi (3) et en
déduire la valeur de la constante k.
2ème partie
Étude d'une machine thermique
2.1. Rappel de quelques résultats généraux
‘2.1.1. Machine ditherme

On considère un fluide quelconque qui effectue un cycle ditherme dans une machine thermique.
On note :

‎W le travail reçu algébriquement par le fluide de la part de l'extérieur au cours d’un cycle ;‏ م

‎‘© Q, le transfert thermique reçu algébriquement par le fluide de la part de la source chaude (de
température constante 7; ) au cours d’un cycle ;

‎‘© ‏و9‎ le transfert thermique reçu algébriquement par le fluide de la part de la source froide (de
température constante T;) au cours d’un cycle ;

‎2.1.1.1. Qu'’appelle-t-on machine de CARNOT ?

‎Épreuve de Physique Il 4/9 ‏ب‎

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“Concours National Commun - Session 2003 - TSI

21.12. Établir la relation générale qui existe entre ‏و بر‎ et W lorsque le fluide décrit un
cycle. Que devient cette relation dans le cas limite où W = 0? On appellera (R1) cette relation
limite.

“21.13. Démontrer l'inégalité de CARNOT - CLAUSIUS pour un cycle :

7 + 7 «0
Dans quel cas a-t-on - + © = 0 ? On appelle (R2) cette relation limite entre ‏رد بر‎ T; et T2.

2

2.1.1.4. Dans le cas ‏م‎ la machine est un moteur thermique, donner les signes de 0, 02 et
W. Définir le rendement ‏و‎ du cycle. Déterminer l'expression de ‏و‎ lorsque le cycle ditherme est
réversible.

2.1.1.5. Dans le cas où la machine est une machine frigorifique, donner les signes de Q1, Q2 et
W. Définir dans ce cas l'efficacité e du cycle. Déterminer l’expression de e lorsque le cycle ditherme
est réversible.

2.1.16. Dans le cas où la machine est une pompe à chaleur, donrier les signes de Q,, Q2 et W.
Définir dans ce cas l'efficacité e du cycle. Déterminer l‘expression de e lorsque le cycle ditherme est
réversible.

“21.2. “Diagramme de Raveau
Le diagramme de RAVEAU est constitué du système d’axes (Q2, Q1 ) avec Q, en abscisses.
2.1.2.1. Représenter les relations limites (R1) et (R2) dans le diagramme de RAVEAU.

21.22. Indiquer sur ce diagramme, en le justifiant, ia zone (CI) des cycles impossibles, la
zone (CR) des cycles récepteurs et la zone (CM) des cycles moteurs.

2.1.2.3. Indiquer la zone (SI) des cycles sans intérêt technologique.

“2.1.3. Fluide en écoulement permanent dans une installation thermique

Soient (1) et (2) deux points d’une installation thermique siège d’un écoulement permanent. On
désigne par h l'enthalpie massique du fluide, par ‏و‎ son entropie sage et par v son volume
massique. On note aussi :

‘© ‏يو‎ le transfert thermique massique reçu algébriquement par le fluide entre les points 1 et 2 ;

© w; le travail massique indiqué reçu algébriquement par le fluide entre les points 1 et 2 (c'est à
dire le travail massique donné au fluide par les parties mobiles de la machine).

En négligeant les variations d’énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur, établir la
relation : _
ha hs = wi + ‏يو‎
‎2.1.4. Changement de phase d'un corps pur

On ne considère que les états fluides d'un corps pur et on rappelle l'allure de la courbe de
saturation dans différents systèmes de coordonnées (figure 5).

2.1.4.1. La courbe de saturation comprend deux parties, de part et d'autre du soit c
Comment s'appellent ces deux parties ? À quels phénomènes correspondent-elles ?

2.142. Comment s'appelle le point C? Connaissant l'équation d'état du fluide, comment
détermine-t-on les coordonnées du point C dans ‏ع1‎ diagramme (p, v) ?

Épreuve de Physique II 549 ‘Tournez la page svP

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‘Figure 5: Courbes de saturation dans différents systèmes de coordonnées.

2.1.4.3. Reproduire l'allure de chaque diagramme sur la copie et y définir les différentes zones
délimitées par la courbe de saturation. On indiquera en particulier la nature physique des phases
en présence et la variance V du système.

2.144. Sur chaque diagramme, représenter l'allure d'une isobare, d’une isotherme et d’une
isentropique qui traverseront la.courbe de saturation. On justifiera l'allure de chaque courbe avec le
minimum de calculs.

2.2. Cycle de Carnot

Les machines à vapeur utilisées au début du XX° siècle comprenaient une chaudière, un cylindre
moteur et un compresseur selon le schéma représenté figure 6. Le fluide qui décrit le cycle dans cette

‘Figure 6: Cycle de CARNOT.

installation est de l’eau. Ses caractéristiques sont données dans l'annexe À.

Au point 1 du cycle, l'eau est à l’état de liquide juste! saturant. Dans la chaudière il y a
vaporisation isobare de l'eau à la pression p; = 30 bar.

Au point 2 du cycle, l’eau est à l’état de vapeur juste” saturante. Dans le cylindre moteur, l’eau
se détend adiabatiquement.

Dans le condenseur, une partie de l’eau se liquéfie à la pression constante ‏يم‎ = 0, 10 bar.

“Cest à dire le liquide en équilibre avec la première bulle de vapeur.
“c’est à dire la vapeur en équilibre avec la dernière goutte de liquide.

Épreuve de Physique II 6/9 “rer

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Dans le compresseur, l'eau subit une compression adiabatique.
On supposera, pour simplifier, que le cycle est décrit de manière réversible. On rappelle la règle
des moments chimiques sous la forme :

où x, est le titre massique en vapeur d’un mélange liquide-vapeur, à la pression ‏م‎ et à la température
T. L'indice £ correspond au liquide juste saturant à la pression ‏م‎ et à la température 2. L'indice 9
correspond à la vapeur saturante sèche (ou vapeur juste saturante) à la pression p et à la température

2.2.1. Représenter l'allure du cycle décrit par l’eau dans le diagramme entropique (T, s), puis
dans le diagramme de CLAPEYRON ({p, v). Justifier sommairement ces tracés. On n’omettra pas dans
chaque cas de représenter le sens de parcours du cycle et de placer les quatre états 1, 2, 3 et 4 sur le
cycle. : 'ٍ

2.2.2. Pour chacun des états 1, 2, 3 et 4, donner en le justifiant : le titre massique en vapeur %,,
la pression p, la température 9 (en °C), l'enthalpie massique h et l’entropie massique s.
On prendra soin de présenter les résultats dans un tableau.

2.2.3. Pour chacune des quatre transformations considérées dans le cycle, déterminer littéralement
puis numériquement le transfert thermique massique qe et le travail indiqué massique ‏إن‎

2.24. Déterminer numériquement le rendement du cycle tout d'abord à l’aide des résultats de
la question 2.2.3., puis uniquement en fonction des températures extrêmes du cycle. Les résultats
sont-ils cohérents ?

2.3. Cycle de Rankine

L'installation comprend maintenant une chaudière, une turbine, un condenseur et une pompe
selon le schéma représenté figure 7. Le fluide considéré est toujours de l’eau, dont les caractéristiques

‘Figure 7: Cycle de RANKINE.

sont encore données en annexe À.
Dans la chaudière, l’eau subit une transformation isobare à la pression p, = 30 bar.

Épreuve de Physique II 5/9 ‘Tournez la page S.VP.

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‘Dans le condenseur, l’eau subit une transformation isobare à la pression ps = 0, 10 bar.
Dans la turbine et la pompe, les transformations sont adiabatiques.
Au point 2 du cycle, l’eau est à l’état de vapeur juste saturante.
Au point 4 du cycle, l’eau est à l’état de liquide juste saturant.
On suppose toujours que le cycle est décrit de manière réversible.

“23.1. Représenter l'allure du cycle dans le diagramme entropique (T, s).

2.3.2. Pour chacun des états 1, 2, 3 et 4 donner, en le justifiant : le titre massique en vapeur ‏رن‎
‎la pression p, la température 8 (en °C) sauf au point 1, l’entropie massique s et l’enthalpie massique

On pourra déterminer l’enthaipie massique h; à partir de l’enthalpie massique ‏يم‎ en considérant
que l’eau liquide a un volume massique quasi constant égal à 1,00 x 1073m*.kg”*. On prendra soin
de présenter les résultats dans un tableau.

2.3.3. Pour chacune des quatre transformations considérées dans le cycle, déterminer littéra-
lement puis numériquement le travail indiqué massique et le transfert thermique massique reçus
algébriquement par le fluide.

‘Déterminer le rendement du cycle.

23.5. Discuter des avantages ou inconvénients de ce cycle par rapport au cycle de CARNOT vu
en 2.2. Commenter.

‘Quelles améliorations peut-on envisager ?

ا اول ‎ÉpreuvedePhysiquet‏

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Annexe À
Caractéristiques de l’eau

Table A.1: Extrait des tables d'équilibre liquide-vapeur (LS : liquide saturant, VS : vapeur saturante).

. Enthalpie massique | Entropie massique
13782 | 25615

2584,7

lPressionp Température 6 |" Volume massique

5,6772

{32558 |

Pressionp | Température | Enthalpie massique | Entropie massique
5

31677 ب
"| 83 لج
34785 10 ا
32565 3
1 90

“FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 9/9 FIN

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