Modèle de concours : CNC 2021 Physique I (TSI) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2021 - Filière TSI

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

* Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

* Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

Le vélo, un ami de l’environnement

Le rejet de dioxyde de carbone par les moteurs thermiques des véhicules est
une préoccupation actuelle dans la lutte contre le réchauffement climatique. Le
choix d’une propulsion à l’aide d’un moteur électrique s'impose. Mais, à l'heure où
les enjeux climatiques deviennent majeurs, on peut se demander s’il est possible
d’envisager la promotion du vélo.

Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la
première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1
Mesure de la vitesse d’un vélo

Le système d’assistance électrique P.A.S. (Power Assist System) d’un vélo
comporte un moteur à courant continu monté sur l’axe de pédalier. Ce moteur
n’est là que pour aider le cycliste à pédaler. 11 s’arrête si le cycliste arrête de
pédaler, actionne l’un des freins ou si la vitesse du vélo atteint 25km.h".

Un capteur magnétique placé sur un rayon de la roue du vélo permet de
mesurer la fréquence de rotation f. de la roue de rayon r=33cm en délivrant un
signal impulsion à chaque tour de celle-ci. La vitesse du vélo v en fonction de f.
est donnée par v(km.h")= 17,46 f. (Hz).

1. Le signal impulsion délivré par le
capteur est appliqué à un circuit
monostable qui fournit la tension
u,(t) représentée sur la figure 1. IC

u1(t)(enV)

1.1. Montrer que la valeur moyenne
de u,(t) en fonction de f. (Hz) 5
est donnée par : ‏ون‎ =‹u ›=kf,.
Exprimer la constante k et
préciser son unité. 0 7 21, +
Figure 1 (1, =0,1s)
1.2. Déterminer la vitesse maximale ١. mesurable en km.h".

1.3. La décomposition en série de Fourier du signal obtenu est:

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u,(t)=U, + su, cos(2xnf1+@,). On souhaite extraire la valeur moyenne de
n=0
la tension u,(#). Quel type de filtre doit-on choisir ?

2. On utilise le filtre représenté par le montage
de la figure 2, où  l’amplificateur
opérationnel est supposé idéal et
fonctionnant en régime linéaire.

2.1. Justifier le mode de fonctionnement de
l’amplificateur opérationnel ?

2.2. Établir la relation entre u,(1) et uc(t).

2.3. Établir la relation entre u.(1) et u,(t).

Figure 2
2.4. En déduire que la fonction de transfert du filtre s’écrit sous la
forme H(jf,)= Le . Exprimer H, et f, en fonction des données du
1+j=7
0
montage.

2.5. Vérifier que cette fonction de transfert est cohérente avec la réponse à la
question 1.3.

2.6. On suppose que le filtre ne laisse pas passer les harmoniques de
fréquences supérieures à f =0,1Hz. Donner l’expression de la tension

u,(t) lorsque T, =0,1s.

Partie 2
Vélo

1. Étude du mouvement du vélo
On étudie le mouvement d’un vélo dans le référentiel (R)=(O,x,y,z,t) lié au

sol auquel on associe la base (4,6) et que l’on suppose galiléen. On modélise
un vélo se déplaçant sur le sol horizontal modélisé par l’axe (Ox) tout en restant
dans le plan vertical (Oxz) (figure 3) par trois éléments :
- Deux roues identiques, une roue avant (R,) de centre C, et une roue arrière
(R,) de centre C,, de même rayon r et de masse négligeable. On note 7 et
I, les points de contact, supposé ponctuel, des roues avec le sol.
- L'ensemble (S)= {cadre + cycliste} de masse M est modélisé par une barre
homogène de longueur 2/, d'extrémité C, et C,. Le centre de masse C du
cycliste est donc entre les deux roues, au milieu de [C, GC ] ce qui est peu

réaliste mais qui ne modifie pas les résultats de l'étude. Le mouvement est
paramétré par x(r), abscisse de C.

On note R =T;e,+N,e, et R,=T,e,+N,e, les réactions de contact en 1, et I,.
Les roues sont articulées sur des pivots parfaits (C,y) et (C,y) aux extrémités de la
barre CC, . On néglige la résistance de l'air sur le système total par

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(2) = {cadre, cycliste, roues} . L’accélération de pesanteur g=-ge, est supposée
uniforme.

Figure 3

La vitesse et l’accélération de C dans (R) sont respectivement v=ve, et
a=ae, . On suppose le non-glissement sur les deux roues qui ont le même vecteur

rotation w =we, . Le cycliste peut exercer un couple 1-126 sur la roue arrière (R,)
par l’intermédiaire de la pédale.

1.1. Étude cinématique

On s’intéresse à la roue (KR,) seule. Cette roue roule
sans glisser sur le sol modélisé par l’axe (Ox) tout
en restant dans le plan vertical (Oxz) (figure 4). On
désigne par P un point lié à la roue, situé sur la
circonférence. Il coïncide à l'instant :=0 avec
l’origine O du référentiel (R) (0=0).

1.1.1. Préciser la nature de la trajectoire du
point P dans le référentiel barycentrique lié à
2
la roue : Fire 4
1.1.2. Déterminer les coordonnées du point P à l’instant + dans le référentiel
1.1.3. Exprimer le vecteur vitesse v(P /R) du point P dans le référentiel (R).
1.1.4. Calculer le vecteur vitesse de glissement v, de la roue par rapport au

sol. En déduire la relation traduisant la condition de roulement sans
glissement de la roue.

1.1.5. Représenter qualitativement l'allure de la trajectoire du point P dans
le référentiel (R). Comment s’appelle cette trajectoire ?

1.2. Étude dynamique
1.2.1. Dire, en justifiant si le référentiel barycentrique (R’) = (Ce ait) lié

au système (Z) est galiléen 2
1.2.2. Comment interpréter le fait que le vélo se mette en mouvement ?
Quelle est la résultante des forces intérieures qu'exerce le cycliste © Quel est

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leur rôle ? Quel est le rôle des forces de frottement solide ?
1.2.3. Écrire le théorème de la résultante cinétique pour le système (2) dans
le référentiel (R). En déduire deux équations scalaires.

1.2.4. Écrire le théorème du moment cinétique pour chaque roue dans le
référentiel barycentrique (R*). En déduire deux équations scalaires.

1.2.5. Écrire le théorème du moment cinétique pour le système (Z) dans le
référentiel (R*). En déduire une équation scalaire.

1.2.6. Déterminer les expressions de 1, T, et a en fonction de M,retr.

1.2.7. Déterminer de même les expressions de N, et N,en fonction de M, g, r,
leta.

1.2.8. Le coefficient de frottement solide entre la roue et le sol est noté f.

Montrer qu’il existe des valeurs limites a, et a, de l’accélération pour

lesquelles le vélo peut respectivement basculer ou glisser. Préciser la roue

concernée. Discuter de l'importance des divers facteurs et comparer les

prévisions du modèle à des connaissances ou expériences personnelles.
2. Étude de l’alternateur de vélo

Un alternateur de vélo, appelé aussi génératrice,
est un modèle réduit des énormes alternateurs des
centrales électriques. Il est constitué de deux parties ; le
rotor, dispositif tournant qui comporte un aimant de
moment magnétique M et le stator, dispositif fixe
(statique) qui comporte une bobine de fil de cuivre
(figure 5). L'aimant est entraîné en rotation de vitesse maris
angulaire © constante en étant solidaire d'un cylindre ‏مم‎ — 4 métallique
moleté qui frotte sans glisser en un point du pneu de = Bomes-—/ du boîtier
rayon qu'on confondra avec le rayon de la roue r.

Galet ]

Axe [ Rotor
Aimant )

— Cage
en acier »Stator
- Bobine ‏ل‎

: = ; Figure 5 : Dynamo de
L’aimant est dans le plan (O,e,,e,) en faisant avec l’axe vélo

(O,e,) un angle ‏هحدم‎ (figure 6). La bobine

comporte N spires circulaire de rayon a , 17
d’inductance propre L, et de résistance r,. Elle est

placée dans le plan (O,e,,e,) , centrée en O, sa

normale étant dans le sens de ey. Cette bobine est Bobine |
branchée en série avec ‘une résistance R
représentant les lampes du vélo. On suppose que 2
la taille de l’aimant est très inférieure à la 277 $
longueur de la bobine et à son rayon. H 1005577777 [Aimant

2.1. Justifier que la bobine est parcourue par un 0 ox
courant électrique i(t). g

2.2. Montrer que le champ magnétique créé par
une spire de rayon a en son centre O'

s'écrit 2 )0( - ‏ما‎

Figure 6 : Schéma de principe
d’un alternateur de vélo

2.3. On suppose par la suite que la bobine est d’épaisseur négligeable. Exprimer
le champ magnétique B,(0) qu’elle crée en son centre O.

Epreuve de Physique I 4/6

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On modélise l’aimant permanent par une petite spire de surface S
parcourue par un courant d’intensité constant 7 tel que M =IS. On suppose
en plus qu’il est soumis à un champ uniforme égal à B,(0).

2.4. Exprimer le flux ®,(1) du champ magnétique B,(0) à travers la spire

équivalente à l’aimant.
2.5. Quelle est la relation entre les coefficients d’inductance mutuelle M,, et M,

de deux circuits (1) et (2) ? En déduire la relation entre le flux magnétique
®,(t) envoyé par l’aimant dans la bobine et le flux ®, (1) .

)0 en fonction de u,, N, M, a, 2
2.7. Exprimer le flux total ®(r) traversant la bobine. En déduire la f.é.m. e(t)

2.6. Exprimer alors ©

induite dans la bobine en fonction de u,, N, M , L,, à, 7 , Qetr.
1

2.8. Donner le schéma électrique modélisant la bobine. Écrire l’équation
différentielle vérifiée par le courant i(r).

2.9. On suppose le régime permanent établi et on pose i(t)=1,cos(@t-w), 1, étant
l’intensité maximale. Exprimer /, et y en fonction des données.

2.10. Exprimer la tension maximale U, aux bornes de la résistance R.

2.11. Calculer la puissance électrique moyenne P, absorbée par les lampes du
vélo en fonction de U,, R, ‏.ما‎ 9, F,-

2.12. Exprimer le couple 1 exercé sur l’aimant de moment magnétique M soumis
au champ magnétique extérieur B,(0) uniforme.

2.13. En appliquant le théorème du moment cinétique à l’aimant dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen, exprimer le couple mécanique
instantané 1. qu’il faut appliquer sur l’aimant pour que la vitesse angulaire
de ce dernier soit constante.

2.14. Exprimer la puissance mécanique instantanée p,(t) fournie correspondante

au couple 1
2.15. Établir la relation entre la puissance mécanique moyenne P

71

et P,. Quel est
le rendement de l’alternateur ainsi modélisé ? Commenter.

3. Vélo à assistance électrique

Le système d’assistance électrique P.A.S. (Power Assist
System) d’un vélo comporte un moteur à courant continu
monté sur l’axe de pédalier. Ce moteur n’est là que pour
aider le cycliste à pédaler. Il s’arrête si le cycliste arrête
de pédaler, actionne l’un des freins ou si la vitesse du
vélo atteint 25km.h"' . Placé en prise directe dans le moyeu
de l’une des deux roues, le moteur à courant continu à
aimant permanent est monté sur une roue libre. Sa
puissance nominale maximale est de 250W. Le schéma
équivalent de l’induit du moteur fonctionnant en régime
permanent est donné par la figure 7. U est la tension
aux bornes de l’induit, / est l’intensité du courant dans

Figure 7

Epreuve de Physique I 5/6

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l’induit et R la résistance de l’induite. La tension nominale d’induit délivrée par
une batterie Lithium-ion est U,=36V , l'intensité nominale d’induit est
I, =8,2A. La résistance d’induit est R=0,66@. La vitesse de rotation nominale
du moteur est Q, = 3000tr.min”'.

3.1. Exprimer la force électromotrice E, en fonction de U, I et R. Calculer
numériquement E pour le fonctionnement nominal.
3.2. Calculer la puissance absorbée P, pour le moteur pour le régime nominal.

3.3. On admet que la f.é.m. E s’écrit sous la forme E=kQ,, @, étant la vitesse

angulaire du moteur et k=9,74.10(S.1.). Préciser l’unité de la constante k.
3.4. Exprimer la puissance électromagnétique ‏.ا‎ En déduire que le moment du
couple électromagnétique du moteur 1... est donné par 1 .. =k/ .

3.5. Exprimer le moment du couple utile F, sur l’arbre moteur en fonction de /.
Calculer sa valeur pour le fonctionnement nominal. On néglige les pertes

1

collectives.
3.6. Calculer la puissance utile P du moteur. En déduire le rendement n du
moteur.
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