Modèle de concours : CNC 2019 Physique I (TSI) — Concours National Commun
⬇️ Télécharger le PDF Adresse permanente : https://www.wadifa-info.com/fr/modele-concours/1846/modele-de-concours-cnc-2019-physique-i-tsi-concours-national-commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2019), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2019
- Pages
- 7
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI * On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les |références des questions abordées. ٠ Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. Satellite et télédétection Le projet de mise en orbite de deux satellites jumeaux marocains baptisés Mohammed VI-A et Mohammed VI-B est une aventure technologique avancée, qui permettra des applications et des développements à haute valeur ajoutée dans des domaines variés : l'arpentage, la cartographie, la gestion de l'environnement, la prévention des catastrophes naturelles et des catastrophes climatiques, l'aménagement du territoire, les activités agricoles .... Ces deux satellites permettront de fournir des clichés de toutes les régions de la Terre en moins de 24 heures. Ils seront situés sur une même orbite à 647km afin de fournir des photographies de très haute résolution "70cm". Le premier satellite, pesant au décollage 1110kg, a été lancé avec succès le 8 novembre 2017, par la fusée Vega du pas de tir de Kourou en Guyane. Le second a été lancé aussi avec succès le 21 novembre 2018. Ce problème propose d’étudier de manière simplifiée quelques aspects relatifs au satellite de télédétection. La première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points. Partie 1 Satellite dans le champ gravitationnel terrestre 1. Champ gravitationnel terrestre On s’intéresse dans cette partir à l’analogie entre les champs, électrostatique et gravitationnel. 1.1. Donner l'expression de la force électrostatique 72 exercée par une charge ponctuelle q, placée au point M, sur une charge ponctuelle q, placée au point M,. Les charges sont placées dans le vide et on note & la permittivité électrique du vide. Epreuve de Physique 1 1/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI 1.2. Donner l'expression de la force gravitationnelle 7, exercée par une masse ponctuelle m, placée au point M, sur une masse ponctuelle m, placée au point 1.3. Par des analogies convenablement choisies, donner la forme du théorème de GaAUss sous forme intégrale “version gravitation”. On illustrera l’énoncé par un schéma et on identifiera chaque terme de l’énoncé. On rappelle le théorème de 2 1.4. On assimile la Terre à une distribution de masses sphérique homogène de centre O, de rayon R, et de masse M, répartie avec une densité volumique p, Gauss sous forme intégrale “version électrostatique” : Jp, En ).dS = uniforme. 1.4.1. En utilisant symétries et invariances, montrer que le champ gravitationnel G(M) créé par cette distribution en tout point M de l’espace repéré par ses coordonnées sphériques (r,0,p) est donné par : où G est la constante de gravitation universelle et M,,(r) la masse qui se trouve à l'intérieur de la sphère de centre 0 et de rayon 7. e. est un vecteur unitaire de la base وعم associée à ces coordonnées sphériques. 1.4.2. Achever la détermination de l'expression du champ gravitationnel G(M) créé par la Terre au point M . On distinguera les deux cas : ا ك7 etr=R,. 2. Étude de trajectoire circulaire Un satellite (S) assimilé à un point matériel P de masse m est lancé depuis la Terre. Après la phase de poussée très brève, on coupe les moteurs et le satellite est alors soumis à la seule force d’attraction de la Terre. Le référentiel géocentrique (N,), lié au centre de la Terre est supposé galiléen. 2.1. Exprimer vectoriellement la force F exercée par la Terre sur le satellite et la représenter sur un schéma. 2.2. Justifier le caractère central du champ gravitationnel. Quelle conséquence ceci a-t-il sur la trajectoire du satellite après sa mise sur orbite 2 2.3. Montrer que la force F dérive d’une énergie potentielle gravitationnelle E, dont on donnera l'expression en fonction de G, M,, m et r. On prendra l'énergie potentielle gravitationnelle nulle quand le point satellite est à l'infini. 2.4. Le satellite (S) est en orbite circulaire de centre O à l’altitude h et il effectue un tour complet de la Terre en une durée 7. 2.4.1. Donner l'expression de l’énergie mécanique E, du satellite sur son orbite circulaire. Montrer que le mouvement circulaire de (S) est nécessairement uniforme. Epreuve de Physique 1 2/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI 2.4.2. Établir l’expression littérale de la vitesse v, de (S) en fonction des grandeurs M, , R,, h et G. Retrouver la troisième loi de KEPLER. 2.4.3. Sachant que l’altitude du satellite sur son orbite circulaire définitive est h = 647km , calculer numériquement en minutes la période de révolution 7 du satellite sur son orbite. Partie 2 Satellisation et télédétection 1. Choix du lieu de décollage On s’intéresse dans cette partie au satellite juste avant le décollage dans le référentiel (R,) - Le satellite, assimilé à un point matériel P de Aze des pôles masse m, est fixe à la surface de Terre à la / 1 Ÿ ri. latitude À (figure 1). La Terre effectue un gp mouvement de rotation uniforme de vitesse er =] spé je” o Équateur’ 5 angulaire w, dans le référentiel (N,), autour de l'axe (Oz) qui coïncide avec l'axe joignant les pôles Sud et Nord. Le plan (O,x,y) est le plan de l'équateur terrestre. a 1.1. Expliquer, sans faire de calcul, pourquoi la lis rotation de la Terre ne modifie pas Figure 1: Le point P à la l'expression du champ gravitationnel surface de la Terre trouvée précédemment. 1.2. Exprimer, dans le référentiel (M,), la vitesse v, du satellite en fonction de مما À et w. Quelle est la valeur de cette vitesse aux pôles ? Commenter. 1.3. Déterminer l’énergie mécanique E, du satellite au point P. Pour placer le satellite sur son orbite, il faut lui fournir l’énergie AE, = .طحو م Expliquer le choix du pas de tir de Kourou en Guyane française pour le lancement du satellite Mohammed VI-A. Estimer la valeur de la vitesse à l'équateur. Donner le sens de lancement le plus avantageux pour le lancement. 2. Lancement du satellite Le satellite Mohammed VI-A a été mis en orbite grâce à la fusée Vega VV11. Cette fusée est capable de développer une force importante pendant plusieurs minutes et ainsi vaincre le champ gravitationnel terrestre durant le décollage. La fusée en mouvement vertical ascendant éjecte vers l’arrière des gaz produits par réaction chimique du comburant et du combustible (figure 2). Chacun des quatre étages se sépare de la fusée une fois son carburant est épuisé. On s'intéresse dans cette partie à la première phase de propulsion durant laquelle, seul le premier étage est allumé. Les gaz sont éjectés à la vitesse u, constante par rapport à la fusée parallèlement à la vitesse v; de la fusée et en sens contraire de cette Epreuve de Physique 1 3/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI dernière. figure 2 Considérons, dans le référentiel terrestre (N,) supposé galiléen, le système fermé (Z) constitué de la fusée chargée et du gaz éjecté. À l’instant ا la masse de la fusée est la somme de trois termes : la masse m, de la fusée à vide, la masse m du satellite et la masse mt) du carburant: m,(t)= m, +m+m,(f) . On note m =m,(0)= m, +m+m;, M) étant la masse initiale du carburant. On désigne par D,=- 2 ›0 le débit massique, supposé constant, des gaz brûlés et éjectés par le propulseur. On néglige les frottements exercés par l'atmosphère sur la fusée ainsi que la pesanteur terrestre à l’altitude h. On suppose qu’il est dû uniquement à la gravitation. 2.1. Exprimer l'intensité du champ de pesanteur g(h)= يا à l'altitude 7 en fonction de g,, R, et h. conclure. Leges 2.4. Exprimer les quantités de mouvement P(f) et P(t+dt) Instant :t Instant : t+ dt 2.2. Montrer que : (os) | [re + dt) 80 (R,+h à A0 2.3. Le premier étage de Vega VV11 se sépare de la fusée | à une altitude 72750: . Calculer 8000-8 et ا ٍِ du système (Z) respectivement aux instants +7 et t+dt (figure 3). 2.5. En utilisant la 2ère loi de Newton pour ce système dans l’intervalle de temps dt, montrer que la vitesse Figure 3 : La fusée aux instants 2 et 1+ ال de la fusée vérifie l’équation différentielle suivante : ann à 2.6. En déduire l'expression de la force de poussée F,, due à l'éjection du gaz, subie par la fusée. 2.7. Déterminer l’intensité minimale de la force de poussée pour que la fusée décolle à l'instant =0. 2.8. Calculer la valeur de la quantité D,u pour la fusée Vega VV11 puis conclure. Comparer cette valeur à la force propulsive 2.10*kN donnée pour le moteur P80 de durée 107: du premier étage. On donne : m, =137,11 .10°kg et Epreuve de Physique 1 4/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI 2.9. Exprimer la masse de la fusée m,(t) à l'instant ,ا en fonction de 0. m, et t. 2.10. À l'instant initial, la fusée part du sol avec une vitesse nulle ; elle se déplace selon un axe vertical. Montrer que la vitesse de la fusée à l’instant + est donnée par : 2.11. Sur quels paramètres peut-on agir pour avoir la vitesse de fin de propulsion (relative à cette phase) la plus élevée possible 2 2.12. La fusée Vega VV11 dispose de quatre étages. D'un point de vue qualitatif, quel est l’intérêt d’une fusée à plusieurs étages 2 3. Communication avec le satellite L'atmosphère terrestre est un mélange gazeux composé principalement de diazote et de dioxygène. Son comportement vis-à-vis des ondes électromagnétiques peut être assimilé à celui du vide. Dans l’ionosphère située entre 100km et 800km d'altitude, les gaz neutres sont partiellement ionisés par le rayonnement solaire si intense, créant ainsi un plasma ionosphérique. L’ionosphère est un milieu qui compte par unité de volume N, = N électrons libres et N, = N ions. On se propose d’étudier la communication par ondes électromagnétiques de pulsation هم entre un émetteur terrestre et le satellite. Une source émet, dans le vide, une onde électromagnétique dont le champ électrique associé s’écrit, dans un repère cartésien orthonormé direct : E = E,cos(wt-kz)e: où E,, w et k sont des constantes positives. Pour des ondes planes transversales, la relation de dispersion liant la 9 pulsation م de l’onde au module du vecteur d’onde k s’écrit : k’c*=w*- ®, avec ®, = AN est une pulsation caractéristique des oscillations propres du plasma supposé à faible pression, A étant une constante. 3.1. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde progressive, ainsi que la nature de sa polarisation. 3.2. Quelle est l’unité de À ? 3.3. Donner, en le justifiant, le domaine de fréquences que l’on doit utiliser pour les communications par ondes transverses entre le satellite et l’émetteur terrestre. Que se passe-t-il si l'on émet une onde dont la fréquence n’appartient pas à ce domaine ? 3.4. Exprimer la vitesse de phase v, de l’onde qui traverse le plasma. En déduire l'indice de réfraction n, de ce milieu. Vérifier que le plasma est un milieu dispersif. 3.5. Exprimer la vitesse de groupe v, de l'onde qui 27 traverse le plasma. Expliquer comment l'ionosphère ralentit la propagation de l’onde de communication. | !enesphère Ho 3.6. On Sappose qu'une surface plane sépare l'air Atnihéphère d'indice n, =1 du plasma d'indice M5 ONOZOOTITTTT IT 777 ÜT7777 7777777777 Terre précédemment déterminé (figure 4). La source 1 Epreuve de Physique 1 5/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI émettrice, située au niveau de la mer, émet une Figure 4 onde électromagnétique assimilée à une onde plane, monochromatique de fréquence f› 3 ? لبن arrive sous incidence oblique 7 d’angle / en un point H, de l’interface atmosphère-ionosphère. Montrer qu’à fréquence donnée, la communication terre-satellite n’est possible que si /‹i. Exprimer l’angle limite ; en fonction des données. Que se passe-t- il si cette dernière condition n’est pas vérifiée ? Représenter les deux situations › et /›i, sur un schéma. 4.0 Télédétection La télédétection (en anglais « remote sensing ») désigne l'ensemble des techniques qui permettent, par l’acquisition d’images, d'étudier à distance des objets ou des phénomènes (image ci-contre). Elle permet d’obtenir à distance de sur la surface de la Terre (y compris l’atmosphère et les océans). Son processus englobe le recueil, l’enregistrement et l’analyse d’ondes électromagnétiques émis (télédétection passive) ou réfléchis (télédétection active) par la zone observée. Les applications de la télédétection sont multiples : météorologie, océanographie, climatologie, géographie, cartographie ou militaire. 4.1. Formation d’images Dans cette partie, nous étudions la prise de photographies numériques terrestres sur un capteur électronique photosensible par un dispositif optique depuis le satellite de télédétection. On se place dans le cadre de l’optique géométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace entre la Terre et le satellite sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux. 4.1.1. Expliquer ce qu’est l’approximation de l’optique géométrique. 4.1.2. Quelles sont les conditions qui permettent de réaliser l’approximation de Gauss ? Citer les conséquences de cette approximation sur le stigmatisme et l’aplanétisme. Le satellite, d'origine Pleiades HiRI (imageur haute résolution), porte un télescope à grande ouverture pour la collecte d'images multispectrales avec une grande précision de géolocalisation. On modélise ce télescope par une lentille sphérique mince convergente () de distance focale image f'=1m limitée par un cercle de rayon R de l’ordre du mètre. On note O le centre de la lentille. Le grandissement de la lentille est |y|=1,31.107. Le satellite est en orbite circulaire à une altitude h=647km. L’objet AB se situe sur Terre à la distance h du télescope. Le point À est sur l’axe optique. 4.1.3. Justifier que les rayons lumineux provenant de l’objet sont quasi- parallèles. On suppose dans la suite que les rayons lumineux provenant de l’objet sont parallèles et inclinés d’un angle ه =10*rad par rapport à l’axe optique du télescope. Les images réalisées par le télescope sont recueillies sur une حا barrette linéaire constituée de N détecteurs CCD. Un détecteur, جججبجح Î ججحجحجح est un carré de côté م13 (figure 5). 5 Figure 5 4.1.4. Où doit-on placer la barrette CCD ? Epreuve de Physique 1 6/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours National Commun - Session 2019 - Filière TSI 4.1.5. Tracer avec soin la construction de l’image A'B' de l’objet AB à travers (). Caractériser l’image obtenue. 4.1.6. Déterminer la résolution spatiale du télescope, définie par la dimension du plus petit objet sur Terre détectable. 4.1.7. Le satellite Mohammed VI-A, mis en service en 2017, a une résolution de 75cm. En supposant que le système optique reste le même que celui décrit ci-dessus, quelle doit-être la taille des détecteurs qui forment son capteur CCD ? 4.2. Télédétection en mode panchromatique L’orbite du satellite est héliosynchrone, c'est-à- dire que l’angle entre le plan de l’orbite et la direction du Soleil est quasi-constant. Le satellite de télédétection observe une large bande terrestre, appelé fauchée, de plusieurs dizaines de kilomètres de large. Les images réalisées par le satellite sont recueillies sur la barrette CCD (figure 6). Un détecteur carré de taille ô=13um, recueille l’information provenant d’une zone PR terrestre carrée de taille d=10m , appelée pixel. La 71 pu fauchée correspondant à la nêm révolution du satellite n’est pas identique à celle de la (n-1)ère révolution. L’orbite du satellite est quasi-polaire, inclinée de Détecteur Barette de ‹› détecteurs COD‹ @D Tétescope Fauchée 2 و A Pixel 4 10m x10m Figure 6 98,0° par rapport au plan de l’équateur. Elle est décrite avec une période 7 =98min. La zone terrestre observée évolue à chaque révolution du satellite dont le cycle orbital est de 14,8 jours. 4.2.1. Expliquer le choix d’un satellite quasi-polaire. 4.2.2. Sachant que chaque pixel correspond à un seul détecteur, calculer la largeur de la fauchée balayée sur Terre à chaque passage du satellite. 4.2.3. Pourquoi à chaque révolution du satellite, la zone terrestre observée n’est pas la même ? 4.2.4. De quel angle tourne la Terre entre deux révolutions du satellite ? 4.2.5. De quelle distance d se déplace la fauchée au niveau de l’Équateur entre deux révolutions du satellite 7 4.2.6. Quelles sont les parties du globe les plus fréquemment « couvertes » par le satellite de télédétection au cours d’un cycle orbital ? 4.2.7. Tous les 14,8 jours, le satellite observe à nouveau la même région terrestre. Calculer le nombre N de révolutions que doit effectuer le satellite de télédétection pour réaliser une observation complète de la Terre. Commenter cette valeur au regard de ce qui précède. Données : - Masse de la Terre : 1/2 6.10 م1 - Rayon moyen de la Terre : R, = 6400km . — Constante de gravitation universelle : G =6,67.10""m°* kgs”. - Intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la Terre 2 =9,81m.s7. Epreuve de Physique 1 7/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC), session 2019, filière TSI (accès aux grandes écoles d'ingénieurs). Thème : « Satellite et télédétection » autour des satellites Mohammed VI-A et VI-B. Partie 1 (4 points) : satellite dans le champ gravitationnel terrestre ; partie 2 (16 points) : lieu de lancement, propulsion de la fusée Vega, communication à travers l'ionosphère et télédétection. Voici une correction proposée, question par question, avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Données utilisées : MT = 6.1024 kg, RT = 6400 km, G = 6,67.10-11 SI, g0 = 9,81 m.s-2. Gardez toujours le lien analogie électrostatique / gravitation : q ↔ m et 1/(4πε0) ↔ −G.
Partie 1 — Satellite dans le champ gravitationnel terrestre
1. Champ gravitationnel terrestre
1.1. Loi de Coulomb, avec u12 unitaire de M1 vers M2 et r = M1M2 : Fe = q1q2 / (4πε0 r²) · u12 (répulsive si les charges sont de même signe).
1.2. Loi de Newton : Fg = − G m1m2 / r² · u12 (toujours attractive).
1.3. Analogie : q → m, 1/(4πε0) → −G, donc 1/ε0 → −4πG et E → 𝒢. Théorème de Gauss gravitationnel :
∯(S) 𝒢(M)·dS = − 4πG Mint
Schéma : une surface fermée (S) orientée vers l'extérieur (dS sortant), entourant des masses. Terme de gauche = flux sortant du champ gravitationnel à travers (S) ; Mint = masse totale intérieure à (S) ; les masses extérieures ne contribuent pas au flux. Le signe « − » traduit le caractère attractif (le champ « entre » dans la surface).
1.4.1. Symétries : tout plan contenant O et M est plan de symétrie de la distribution ; le champ (vecteur polaire) appartient à tous ces plans, donc à leur intersection, la droite OM : 𝒢 = 𝒢 er. Invariances : la distribution est invariante par toute rotation autour de O, donc 𝒢 ne dépend ni de θ ni de φ : 𝒢 = 𝒢(r) er. Surface de Gauss : sphère de centre O, de rayon r. Flux = 𝒢(r)·4πr² = −4πG Mint(r), d'où 𝒢(M) = − G Mint(r)/r² · er.
1.4.2. ρT = MT / (4πRT³/3).
- r ≤ RT : Mint = ρT·4πr³/3 = MT r³/RT³, donc 𝒢 = − G MT r / RT³ · er (croît linéairement avec r).
- r ≥ RT : Mint = MT, donc 𝒢 = − G MT / r² · er (comme si toute la masse était en O).
Le champ est continu en r = RT (valeur G MT/RT² = g0).
2. Étude de trajectoire circulaire
2.1. Le satellite est en P, à la distance r = OP de O : F = m 𝒢(P) = − G MT m / r² · er. Schéma : vecteur porté par PO, dirigé de P vers O.
2.2. La force passe toujours par le point fixe O : elle est centrale. Son moment en O est nul, donc (théorème du moment cinétique dans (ℜG) galiléen) le moment cinétique LO = OP ∧ mv est constant. Conséquences : la trajectoire est plane (plan passant par O, perpendiculaire à LO) et obéit à la loi des aires (vitesse aréolaire constante, C = r²dθ/dt = cte).
2.3. On cherche Ep(r) telle que F = − grad Ep = − (dEp/dr) er : dEp/dr = G MT m / r², d'où Ep = − G MT m / r + cte ; avec Ep(∞) = 0 : Ep(r) = − G MT m / r. La force dérive donc d'une énergie potentielle (force conservative).
2.4.1. Rayon de l'orbite r = RT + h. En base polaire, pour un mouvement circulaire, a = − (v²/r) er + (dv/dt) eθ. La force étant purement radiale, la projection du PFD sur eθ donne m dv/dt = 0 : v est constante, le mouvement circulaire est uniforme (on retrouve aussi ce résultat par la loi des aires : r constant ⇒ dθ/dt constant). Projection sur er : m v²/r = G MT m / r², d'où ½ m v² = G MT m /(2r) et
Em0 = ½ m v² − G MT m / r = − G MT m / [2(RT + h)] (= Ep/2 < 0 : état lié).
2.4.2. vc = √[G MT / (RT + h)]. Période : T = 2π(RT + h)/vc, d'où T² = 4π²(RT + h)³/(G MT), soit T² / (RT + h)³ = 4π² / (G MT) : troisième loi de Kepler (le rapport ne dépend que de l'astre attracteur).
2.4.3. r = 6400 + 647 = 7047 km = 7,047.106 m ; G MT = 4,00.1014 m³.s-2.
vc = √(4,00.1014/7,047.106) ≈ 7,54 km.s-1 ;
T = 2π √(r³/GMT) ≈ 5,88.10³ s ≈ 98 min (valeur reprise d'ailleurs en 4.2).
Partie 2 — Satellisation et télédétection
1. Choix du lieu de décollage
1.1. Le champ gravitationnel ne dépend que de la répartition des masses. La rotation de la Terre autour de (Oz) laisse la distribution (à symétrie sphérique) inchangée : la masse Mint(r) et donc 𝒢 sont les mêmes. (La rotation modifierait le champ de pesanteur mesuré dans le référentiel terrestre via la force d'inertie d'entraînement, mais pas le champ gravitationnel.)
1.2. Dans (ℜG), P décrit un cercle d'axe (Oz), de centre H et de rayon HP = RT cos λ, à la vitesse angulaire ω : vP = ω RT cos λ (dirigée vers l'est, selon eφ). Aux pôles (λ = ± 90°) : vP = 0. La vitesse due à la rotation terrestre est maximale à l'équateur et nulle aux pôles.
1.3. Em = ½ m ω² RT² cos²λ − G MT m / RT.
ΔEm = Em0 − Em = G MT m [1/RT − 1/(2(RT + h))] − ½ m ω² RT² cos²λ.
ΔEm est d'autant plus faible que cos λ est grand : il est avantageux de lancer près de l'équateur, où la Terre
fournit « gratuitement » l'énergie cinétique ½ m ω² RT². Kourou (Guyane) est situé à quelques degrés seulement au nord de
l'équateur (environ 5° N), d'où le choix de ce pas de tir ; sa façade océanique à l'est permet aussi que les étages
retombent en mer.
Vitesse à l'équateur : ω = 2π/(86 164 s) ≈ 7,29.10-5 rad.s-1 (jour sidéral ; avec 24 h on trouve presque la même valeur),
v = ω RT ≈ 7,29.10-5 × 6,4.106 ≈ 4,7.10² m.s-1 (≈ 465 m/s).
Sens le plus avantageux : vers l'est (sens de rotation de la Terre, d'ouest en est), pour ajouter cette vitesse à celle de la fusée.
Remarque : pour une orbite quasi polaire comme celle étudiée en 4.2, ce gain est moins utile, mais le raisonnement demandé reste celui-ci.
2. Lancement du satellite
2.1. g(h) = G MT/(RT + h)² et g0 = G MT/RT², donc g(h) = g0 RT² / (RT + h)².
2.2. (g − g0)/g0 = RT²/(RT + h)² − 1 = [RT² − (RT + h)²]/(RT + h)² = − h(h + 2RT)/(RT + h)². En valeur absolue : |g(h) − g0|/g0 = h(h + 2RT)/(RT + h)².
2.3. h1 = 75 km : 75 × (75 + 12 800)/(6475)² = 965 625/41 925 625 ≈ 2,3.10-2, soit 2,3 %. Conclusion : pendant la première phase, on peut considérer g ≈ g0 uniforme (erreur de quelques %).
2.4. Système fermé (Σ) = fusée à l'instant t (masse mf(t)), qui devient à t + dt la fusée de masse mf(t + dt) = mf(t) − Dmdt plus le gaz éjecté de masse dmg = Dmdt, de vitesse vf + u dans (ℜT) :
- P(t) = mf(t) vf(t)
- P(t + dt) = [mf(t) − Dmdt] vf(t + dt) + Dmdt [vf(t + dt) + u] = mf(t) vf(t + dt) + Dmdt u
2.5. dP = P(t + dt) − P(t) = mf(t) dvf + Dm u dt. La 2e loi de Newton appliquée au système fermé (seule force extérieure : le poids, frottements et poussée d'Archimède négligés) : dP/dt = mf(t) g, d'où mf(t) dvf/dt = mf(t) g − Dm u.
2.6. Le terme − Dmu joue le rôle d'une force : Fp = − Dm u. Comme u est dirigé vers le bas, la poussée est verticale ascendante, de norme Dmu.
2.7. Décollage à t = 0 : il faut dvf/dt > 0 vers le haut, soit Dmu > m0g0. Intensité minimale : Fp,min = m0 g0 = 137,11.10³ × 9,81 ≈ 1,35.106 N (1,35.10³ kN).
2.8. Réponse probable (l'énoncé ne donne pas Dm, et la valeur imprimée u = 2,27.105 m.s-1 est irréaliste pour une vitesse d'éjection de gaz, de l'ordre de quelques km/s). Raisonnement attendu : la poussée du moteur P80 vaut Dmu = 2.10³ kN = 2,0.106 N. On compare à la condition de décollage : 2,0.106 N > m0g0 ≈ 1,35.106 N, donc la fusée décolle, avec une accélération initiale a0 = (Dmu − m0g0)/m0 ≈ 4,8 m.s-2. Si l'on prend u ≈ 2,27.10³ m.s-1 (ordre de grandeur réaliste ; l'exposant 5 est très probablement une coquille), le débit correspondant est Dm = 2.106/2,27.10³ ≈ 8,8.10² kg.s-1, soit environ 94 t de propergol brûlées en 107 s, ce qui est cohérent avec une masse totale de 137 t.
2.9. Dm constant : mf(t) = m0 − Dm t.
2.10. Axe (Oz) vertical ascendant : g ≈ − g0ez (cf. 2.3), u = − u ez. Projection : dvf/dt = − g0 + Dmu/(m0 − Dmt). Intégration avec vf(0) = 0 : ∫0t Dmdt'/(m0 − Dmt') = − ln(1 − Dmt/m0), d'où vf(t) = − g0t − u ln(1 − Dmt/m0).
2.11. En fin de propulsion, t1 = mc0/Dm : vf(t1) = u ln[m0/(m0 − mc0)] − g0t1. Pour l'augmenter : vitesse d'éjection u élevée (choix du propergol), rapport de masse m0/(mf0 + m) élevé (beaucoup de carburant, structure légère), et durée de combustion courte (débit Dm élevé) pour réduire la perte − g0t1.
2.12. Chaque étage vide est largué : on n'accélère plus une masse de structure inutile, le rapport de masse de chaque étage reste favorable et les gains de vitesse u ln(mi/m'i) s'additionnent. On atteint ainsi la vitesse orbitale (≈ 7,5 km/s) qu'une fusée à un seul étage ne pourrait pas atteindre avec une charge utile raisonnable.
3. Communication avec le satellite
3.1. La phase ωt − kz montre une propagation selon (Oz), dans le sens des z croissants. E garde la direction fixe ex : onde polarisée rectilignement selon (Ox).
3.2. ωp = A√N avec ωp en rad.s-1 et N en m-3 : A = ωp/√N s'exprime en rad.s-1.m3/2 (soit m3/2.s-1).
3.3. k² = (ω² − ωp²)/c². L'onde ne se propage que si k est réel : ω > ωp, soit f > fp = A√N/(2π) (hautes fréquences ; en pratique les liaisons satellites utilisent des fréquences très supérieures, du domaine des GHz). Si f < fp, k est imaginaire pur : l'onde est évanescente (amplitude décroissant exponentiellement, pas de propagation d'énergie) ; elle est réfléchie par l'ionosphère et ne parvient pas au satellite.
3.4. vφ = ω/k = c / √(1 − ωp²/ω²) > c. np = c/vφ = √(1 − ωp²/ω²) < 1. np dépend de ω : le plasma est dispersif.
3.5. En différentiant k²c² = ω² − ωp² : 2kc² dk = 2ω dω, d'où vg = dω/dk = kc²/ω = c √(1 − ωp²/ω²) < c (et vφvg = c²). L'énergie et l'information se propagent à vg < c : le signal met plus de temps à traverser l'ionosphère que le vide (retard d'autant plus grand que ω est proche de ωp).
3.6. Loi de Snell-Descartes à l'interface en H0 : na sin i = np sin r, soit sin r = sin i / np. Comme np < 1, le rayon réfracté n'existe que si sin i ≤ np, d'où la condition i < il avec
il = arcsin(np) = arcsin √(1 − ωp²/ω²) = arcsin √(1 − A²N/(4π²f²)).
Si i > il : réflexion totale, l'onde revient vers la Terre et la communication avec le satellite est impossible. Schémas : pour i < il, un rayon incident, un rayon réfracté qui s'écarte de la normale (r > i) et un faible rayon réfléchi ; pour i > il, seulement un rayon réfléchi symétrique par rapport à la normale.
4. Télédétection
4.1.1. L'optique géométrique s'applique quand les dimensions des obstacles et ouvertures sont très grandes devant la longueur d'onde : on néglige la diffraction, la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène selon des rayons lumineux indépendants.
4.1.2. Conditions de Gauss : rayons paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés sur l'axe optique et passant près du centre de la lentille. Conséquences : stigmatisme approché (l'image d'un point est quasi ponctuelle) et aplanétisme approché (l'image d'un petit objet plan perpendiculaire à l'axe est plane et perpendiculaire à l'axe).
4.1.3. L'objet est à h = 647 km, distance énorme devant f' = 1 m et devant le rayon R ≈ 1 m de la lentille. Les rayons issus d'un même point de l'objet et atteignant la lentille font entre eux un angle ≤ 2R/h ≈ 3.10-6 rad : ils sont quasi parallèles (objet pratiquement à l'infini).
4.1.4. Un objet à l'infini donne une image dans le plan focal image : la barrette CCD est placée perpendiculairement à l'axe, à f' = 1 m derrière la lentille (en F').
4.1.5. Construction : le rayon passant par O n'est pas dévié (incliné de α) ; le rayon de même inclinaison passant par le foyer objet F ressort parallèle à l'axe ; ils se coupent en B' dans le plan focal image. A' est confondu avec F'. Image réelle, renversée, dans le plan focal image, de taille A'B' = f' tan α ≈ f'α = 1 × 10-3 = 1 mm.
4.1.6. Le plus petit détail détectable a une image de la taille d'un détecteur δ : dmin = δ/|γ| = 13.10-6/1,31.10-6 ≈ 9,9 m ≈ 10 m (c'est la taille du pixel au sol retenue en 4.2).
4.1.7. Résolution 75 cm avec le même système : δ' = |γ| × 0,75 = 1,31.10-6 × 0,75 ≈ 9,8.10-7 m ≈ 1 µm.
4.2. Télédétection en mode panchromatique
4.2.1. L'orbite quasi polaire passe au voisinage des pôles ; comme la Terre tourne sous le plan de l'orbite, le satellite survole successivement toutes les latitudes et toutes les longitudes : couverture de la quasi-totalité du globe (impossible avec une orbite équatoriale). Le caractère héliosynchrone assure des prises de vue sous un éclairage solaire comparable.
4.2.2. Chaque détecteur voit un pixel de d = 10 m ; une barrette de N détecteurs alignés perpendiculairement au déplacement balaie une fauchée de largeur L = N d = N × 10 m. Réponse probable pour la valeur numérique : l'énoncé ne chiffre pas N ; si l'on prend pour champ angulaire ± α = ± 10-3 rad, L ≈ 2hα ≈ 1,3 km (≈ 130 détecteurs). Une fauchée de « plusieurs dizaines de km » suppose une barrette de plusieurs milliers de détecteurs (par exemple 20 km ↔ 2000 détecteurs).
4.2.3. Pendant une révolution, la Terre tourne d'ouest en est sous le plan de l'orbite (quasi fixe) : la trace au sol est décalée vers l'ouest à chaque passage, la zone observée change.
4.2.4. En T = 98 min, la Terre tourne de 360° × 98/1436 ≈ 24,6° (≈ 24,5° avec un jour de 1440 min).
4.2.5. À l'équateur : d = 2πRT × (24,5/360) = 40 212 km × 0,068 ≈ 2,7.10³ km (≈ 2740 km).
4.2.6. Toutes les traces se rapprochent vers les hautes latitudes (l'inclinaison de 98° fait passer le satellite jusqu'à 82° de latitude) : les régions polaires et de haute latitude sont les plus fréquemment couvertes ; l'équateur l'est le moins.
4.2.7. N = 14,8 j × 1440 min/98 min = ≈ 217 révolutions (217,5). Commentaire : 217 traces réparties sur les 40 212 km de l'équateur sont espacées d'environ 40 212/217 ≈ 185 km. Entre deux révolutions successives, la trace se décale de ≈ 2740 km ; les traces des révolutions suivantes viennent progressivement combler les intervalles. Pour une couverture complète à l'équateur, il faudrait donc une fauchée de l'ordre de 185 km, bien plus large que les fauchées calculées en 4.2.2 : en pratique la couverture totale nécessite le dépointage du satellite (visée oblique) ; aux hautes latitudes, où les traces se resserrent, la couverture est plus facile.
💡 Bilan des valeurs à retenir : T ≈ 98 min, vc ≈ 7,5 km/s, véquateur ≈ 465 m/s, |Δg/g0| ≈ 2,3 % à 75 km, Fp,min ≈ 1,35.10³ kN, résolution ≈ 10 m, décalage ≈ 24,5° ≈ 2700 km par révolution.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Le corrigé est-il inclus ?
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Vous préparez ce concours ?
Modèles similaires
Source : concours d'accès aux écoles et instituts supérieurs — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
}📎 Citer cette page
Journaliste, blogueur, enseignant : copiez la référence ci-dessous et mettez un lien vers cette page.
Adresse permanente : https://www.wadifa-info.com/fr/modele-concours/1846/modele-de-concours-cnc-2019-physique-i-tsi-concours-national-commun
