Modèle de concours : CNC 2014 Physique I (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC), session 2014, filière TSI (admission en écoles d'ingénieurs après les classes préparatoires). Elle comporte deux problèmes indépendants : I – le pendule de torsion (oscillations amorties, puis expérience de Cavendish) et II – la thermodynamique (changements d'état, cycle de Rankine puis cycle de Hirn d'une centrale thermique). Voici une correction proposée, question par question, avec la numérotation de l'énoncé.

Méthode : dans le problème I, tout découle d'une seule équation (théorème du moment cinétique sur l'axe Oz). Dans le problème II, travaillez systématiquement avec le premier principe industriel Δh = w_u + q et lisez les valeurs dans les tableaux : la plupart des questions se ramènent à une soustraction d'enthalpies.

Problème I – Étude d'un pendule de torsion

1. Constante de raideur du fil de torsion

1.1. Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie y est vérifié : un point matériel isolé (ou pseudo-isolé) y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen.

1.2. Le référentiel terrestre est lié à la Terre : origine en un point de la surface terrestre, axes fixes par rapport au sol. Il tourne par rapport au référentiel géocentrique avec la vitesse angulaire Ω ≈ 7,3.10^-5 rad.s^-1, il n'est donc pas rigoureusement galiléen. Expérience historique : le pendule de Foucault (1851, Panthéon de Paris) dont le plan d'oscillation tourne lentement par rapport au sol (on peut citer aussi la déviation vers l'est dans la chute libre). Dans notre étude, la durée de l'expérience (quelques minutes) est très petite devant la période de rotation de la Terre (24 h) et les effets d'inertie d'entraînement et de Coriolis sont négligeables devant les forces mises en jeu : on peut considérer le référentiel terrestre comme galiléen.

1.3. Système {tige + 2 masses}. Moment d'inertie par rapport à Oz (tige de masse négligeable, masses ponctuelles à la distance l) : J = 2ml². Le poids et la tension du fil ont un moment nul par rapport à Oz ; seul agit le couple de rappel Γ = −Cθ. Théorème du moment cinétique scalaire :

2ml² θ'' = −Cθ  ⟹  θ'' + ω₀² θ = 0 avec ω₀ = √(C / 2ml²).

Avec θ(0) = θ₀ et θ'(0) = 0 : θ(t) = θ₀ cos(ω₀t) (oscillations harmoniques de période T₀ = 2π/ω₀).

1.4.1. Les frottements sur les masses sont dus à l'air : résistance visqueuse du fluide sur les sphères en mouvement. À faible vitesse, cette force est proportionnelle à la vitesse et opposée à elle (F = −λv).

1.4.2. Chaque masse décrit un cercle de rayon l : v = l θ' e_θ. La force −λ l θ' e_θ appliquée à la distance l de l'axe a pour moment −λ l² θ' sur Oz ; pour les deux masses : −2λ l² θ'. Le théorème du moment cinétique donne

2ml² θ'' = −Cθ − 2λl² θ'  ⟹  θ'' + (λ/m) θ' + (C/2ml²) θ = 0.

Donc β = λ/m, homogène à l'inverse d'un temps (s^-1), et γ = C/(2ml²) = ω₀², homogène à l'inverse d'un temps au carré (s^-2).

1.4.3. On pose θ = g(t) e^−t/τ. Alors θ' = (g' − g/τ) e^−t/τ et θ'' = (g'' − 2g'/τ + g/τ²) e^−t/τ. En reportant :

g'' + (β − 2/τ) g' + (γ − β/τ + 1/τ²) g = 0.

En choisissant τ = 2/β = 2m/λ, le terme en g' disparaît et il reste g'' + (ω₀² − 1/τ²) g = 0. D'où les régimes :

• ω₀τ > 1 (frottement faible, λ < 2mω₀) : g est sinusoïdale → régime pseudo-périodique (oscillations dont l'amplitude décroît exponentiellement) ;
• ω₀τ = 1 (λ = 2mω₀) : g est affine → régime critique (retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation) ;
• ω₀τ < 1 (λ > 2mω₀) : g est une combinaison d'exponentielles réelles → régime apériodique (retour lent, sans oscillation).

1.4.4. g(t) = c₁cos(ωt) + c₂sin(ωt) exige ω₀² − 1/τ² > 0, soit λ < 2mω₀ = √(2mC) / l. Alors ω = √(ω₀² − 1/τ²) = √(C/2ml² − λ²/4m²).

Conditions initiales : θ(0) = g(0) = c₁ ⟹ c₁ = θ₀ ; θ'(0) = g'(0) − g(0)/τ = c₂ω − θ₀/τ = 0 ⟹ c₂ = θ₀/(ωτ) = λθ₀/(2mω).

1.4.5. Erreur relative : (ω₀ − ω)/ω₀ = 1 − √(1 − 1/(ω₀τ)²) < 0,01 ⟺ 1/(ω₀τ)² < 1 − 0,99² = 0,0199 ⟺ λ/(2mω₀) < 0,141, soit

λ < 0,28 mω₀ = 0,28 √(mC/2) / l ≈ 0,2 √(mC) / l (équivalent : ω₀τ > 7,1).

1.4.6. θ(t) = θ₀ e^−t/τ [cos ωt + sin(ωt)/(ωτ)] = A e^−t/τ cos(ωt − φ) avec A = θ₀√(1 + 1/(ωτ)²) ≈ θ₀. Allure à tracer :

• une sinusoïde amortie qui part de θ₀ avec une tangente horizontale (θ'(0) = 0) ;
• elle reste comprise entre les deux enveloppes ± A e^−t/τ, qu'elle touche une fois par demi-pseudo-période ;
• la tangente à l'origine de l'enveloppe supérieure coupe l'axe des temps en t = τ (elle part de A avec la pente −A/τ).

1.4.7. g est périodique de période T, donc g(t + nT) = g(t) et

δ = ln[θ(t)/θ(t + nT)] = ln[e^−t/τ / e^−(t+nT)/τ]  ⟹  δ = nT/τ.

1.5. Applications numériques :

1. (i) 2 pseudo-périodes en 32 s : T = 16 s.
2. (ii) Amplitude divisée par 3 en 10 oscillations : pour n = 10, δ = ln 3 ≈ 1,10 (soit δ₁ = ln3/10 ≈ 0,110 par pseudo-période).
3. (iii) τ = nT/δ = 10 × 16 / ln 3  ⟹  τ ≈ 146 s.
4. (iv) ω = 2π/T  ⟹  ω ≈ 0,3927 rad.s^-1 ; ω₀ = √(ω² + 1/τ²) = √(0,15421 + 4,7.10^-5)  ⟹  ω₀ ≈ 0,3928 rad.s^-1. L'écart relatif est d'environ 0,015 % : l'approximation ω ≈ ω₀ est excellente (ω₀τ ≈ 57 ≫ 7).
5. (v) C = 2ml² ω₀² = 2,6.10^-5 × 0,15426  ⟹  C ≈ 4,0.10^-6 N.m.rad^-1.

(Pour information : m = 2,6.10^-5/(2 × 0,2²) = 3,25.10^-4 kg et λ = 2m/τ ≈ 4,5.10^-6 kg.s^-1.)

2. Application : mesure de la constante de gravitation

2.1. Loi de la gravitation universelle (Isaac Newton, 1687) : deux corps ponctuels (ou à symétrie sphérique) de masses m₁ et m₂, distants de r, s'attirent avec des forces opposées, portées par la droite qui les joint :

F_1→2 = −G m₁m₂/r² · u₁₂ (u₁₂ unitaire de 1 vers 2), de norme G m₁m₂/r².

2.2. Les trois autres interactions fondamentales : l'interaction électromagnétique, l'interaction nucléaire forte et l'interaction nucléaire faible.

2.3. À l'échelle du noyau, les quatre existent, mais celles qui jouent un rôle sont l'interaction forte (cohésion des nucléons), l'interaction électromagnétique (répulsion entre protons) et l'interaction faible (radioactivité β) ; la gravitation y est totalement négligeable.

2.4. Chaque grosse boule est à la distance d de la petite sphère voisine, la direction A₁B₁ étant perpendiculaire à la tige :

F_B1→A1 = G Mm/d² · u_A1B1 et F_B2→A2 = G Mm/d² · u_A2B2, de même norme F = GMm/d², perpendiculaires à la tige et de sens opposés (positions symétriques par rapport à O).

Elles forment un couple ; chacune a un bras de levier l par rapport à Oz et elles tournent la tige dans le même sens :

Γ' = 2 l G Mm / d² · e_z (au signe près selon le sens de rotation choisi sur la figure 1.2).

2.5. À l'équilibre, le couple de gravitation est compensé par le couple de torsion : 2lGMm/d² − C'α = 0, d'où

G = C' α d² / (2 M m l).

2.6. Quand le miroir tourne de α, le rayon réfléchi tourne de 2α. Donc tan(2α) = a/D et, α étant très petit, α = a/(2D) = 8,89.10^-3/(2 × 5,0) ⟹ α ≈ 8,89.10^-4 rad.

G = 5,0.10^-7 × 8,89.10^-4 × (0,15)² / (2 × 30 × 0,050 × 0,05) ⟹ G ≈ 6,67.10^-11 N.m².kg^-2.

Par rapport à 6,67259.10^-11, l'écart relatif est d'environ 0,08 % : excellent accord.

2.7. Pendule simple de longueur l (petites oscillations) : T_p = 2π√(l/g), donc g = 4π²l / T_p². À la surface de la Terre, le poids s'identifie (en négligeant la rotation terrestre) à l'attraction gravitationnelle : mg = G M_T m / R_T². D'où

M_T = g R_T² / G = 4π² l R_T² / (G T_p²).

Une fois G connu, on « pèse » de même les autres astres : pour un satellite (naturel ou artificiel) en orbite circulaire de rayon a et de période T autour d'un astre de masse M_a, la troisième loi de Kepler donne T²/a³ = 4π²/(G M_a), soit M_a = 4π²a³/(GT²) (masse du Soleil à partir de l'orbite terrestre, de Jupiter à partir de ses lunes, etc.).

Problème II – Thermodynamique

1. Généralités

1.1. Le diagramme (P, T) comporte trois courbes d'équilibre diphasé :

• la courbe de sublimation (solide ⇄ vapeur), aux basses pressions et températures ;
• la courbe de fusion (solide ⇄ liquide), très raide ;
• la courbe de vaporisation (liquide ⇄ vapeur), qui s'arrête au point critique.

Elles délimitent trois domaines : solide (basses températures / hautes pressions), liquide (entre fusion et vaporisation), vapeur (hautes températures / basses pressions). Sur une courbe, deux phases coexistent et P ne dépend que de T.

Point triple : point unique (T_t, P_t) où les trois phases coexistent en équilibre (pour l'eau : 273,16 K ; 611 Pa). Point critique : extrémité de la courbe de vaporisation ; au-delà de T_C et P_C, on ne distingue plus liquide et vapeur (état fluide supercritique ; pour l'eau ≈ 647 K ; 221 bar).

1.2. Pour l'eau, la courbe de fusion a une pente négative (dP/dT < 0) : augmenter la pression fait fondre la glace. Cause : la glace est moins dense que l'eau liquide (v_solide > v_liquide, structure ouverte due aux liaisons hydrogène). D'après la relation de Clapeyron L_f = T(v_l − v_s) dP/dT avec L_f > 0 et v_l − v_s < 0, on obtient bien dP/dT < 0.

1.3. Dans le diagramme de Clapeyron (P, v) :

• la courbe de saturation a la forme d'une « cloche » : branche gauche = courbe d'ébullition (liquide saturant), branche droite = courbe de rosée (vapeur saturante sèche) ; elles se rejoignent au sommet, le point critique C ; sous la cloche, le corps est diphasé ;
• isotherme T < T_C : très raide dans le domaine liquide (liquide peu compressible), puis palier horizontal sous la cloche (à la pression P_s(T)), puis décroissante, de type hyperbole, dans le domaine vapeur ;
• isotherme critique T = T_C : le palier se réduit à un point d'inflexion à tangente horizontale en C ;
• isotherme T > T_C : courbe décroissante sans palier, qui tend vers une hyperbole Pv = cte aux hautes températures.

Pression de vapeur saturante P_s(T) : pression à laquelle le liquide et sa vapeur coexistent en équilibre à la température T ; elle ne dépend que de T (c'est la hauteur du palier).

1.4. Pour une masse m dont m_v en vapeur et m_l = m − m_v en liquide, l'enthalpie est extensive : m h = m_l h_l(T) + m_v h_v(T), soit avec x_v = m_v/m : h = (1 − x_v) h_l + x_v h_v, d'où

x_v = (h − h_l) / (h_v − h_l). Le même raisonnement avec l'entropie (également extensive) donne x_v = (s − s_l) / (s_v − s_l) (théorème des moments).

1.5. La vaporisation se fait à T et P constantes ; la chaleur reçue à pression constante est égale à la variation d'enthalpie : L_v(T) = h_v(T) − h_l(T).

1.6.1. Une transformation adiabatique (pas d'échange thermique, entropie échangée nulle) et quasi-statique (réversible, entropie créée nulle) est isentropique : ds = 0.

1.6.2. ds = 0 ⟹ c_l dT/T = α v_l dP ⟹ ln(T₂/T₁) = α v_l (P₂ − P₁)/c_l.

α v_l ΔP / c_l = 3,5.10^-4 × 10^-3 × 54,95.10⁵ / 4180 ≈ 4,6.10^-4, donc T₂ = 306 × e^4,6.10-4 et ΔT ≈ 0,14 K.

Commentaire : l'échauffement est négligeable : le liquide est quasi incompressible, une compression adiabatique ne le chauffe pratiquement pas. Dans la suite, on pourra considérer que la pompe ne modifie pas la température de l'eau (T_A ≈ T_E).

2. Étude d'une centrale thermique motrice

États : E liquide saturant (33 °C ; 0,05 bar) ; A liquide comprimé (≈ 33 °C ; 55 bar) ; B liquide saturant (270 °C ; 55 bar) ; C vapeur saturante sèche (270 °C ; 55 bar) ; D mélange liquide-vapeur (33 °C ; 0,05 bar).

2.1. Allure dans le diagramme (P, v), avec la cloche de saturation de l'eau :

• E est sur la courbe d'ébullition, à la basse pression 0,05 bar ;
• E → A : compression du liquide quasi incompressible → segment quasi vertical (v ≈ constant) jusqu'à 55 bar ; A est dans le domaine liquide, à gauche de la cloche ;
• A → B : chauffage isobare du liquide (55 bar) → segment horizontal jusqu'à B, sur la courbe d'ébullition ;
• B → C : vaporisation totale isobare et isotherme → palier horizontal sous la cloche jusqu'à C, sur la courbe de rosée (55 bar < P_C ≈ 221 bar, donc le palier existe) ;
• C → D : détente isentropique → courbe descendante qui entre sous la cloche, jusqu'à D (0,05 bar, mélange diphasé) ;
• D → E : condensation isobare → palier horizontal à 0,05 bar jusqu'à E.

Le cycle est parcouru dans le sens horaire : c'est un cycle moteur (W = −∮P dv < 0).

2.2. Dans le diagramme entropique (T, s) :

• E → A : verticale (isentropique) quasi ponctuelle (ΔT ≈ 0,14 K, question 1.6.2) ;
• A → B : montée le long de la courbe d'ébullition (l'isobare d'un liquide en est très proche) de s ≈ 0,475 à s = 2,97 kJ.K^-1.kg^-1, de 33 °C à 270 °C ;
• B → C : palier horizontal à 270 °C de s = 2,97 à s = 5,92 ;
• C → D : verticale descendante (isentropique) à s = 5,92, jusqu'à 33 °C ;
• D → E : palier horizontal à 33 °C, retour à s = 0,475.

Sens horaire. Pour une évolution réversible δq = T ds : l'aire sous la courbe A→B→C représente la chaleur reçue q₂ et l'aire intérieure du cycle représente le travail fourni |w| (car ∮T ds = −w). Le rendement est le rapport de ces deux aires : η = aire du cycle / aire sous ABC.

2.3. On considère un volume de contrôle (machine) traversé en régime permanent ; pendant dt, une masse dm entre (état 1) et la même masse sort (état 2). On applique le premier principe au système fermé Σ* = {fluide contenu dans la machine + dm qui va entrer} :

• régime permanent : la variation d'énergie de Σ* se réduit à dm (u₂ − u₁) (énergies cinétique et potentielle négligées) ;
• travail reçu : travail utile des parties mobiles dm w_u + travail des forces de pression en amont et en aval P₁v₁ dm − P₂v₂ dm (travail de transvasement) ;
• chaleur reçue : dm q.

dm (u₂ − u₁) = dm w_u + (P₁v₁ − P₂v₂) dm + dm q, et avec h = u + Pv : Δh = h₂ − h₁ = w_u + q.

2.4. Pompe E → A : adiabatique réversible, donc q = 0 et w_P = h_A − h_E. Avec dh = T ds + v dP et ds = 0, v = v_l constant :

w_P = v_l(P_A − P_E) = 10^-3 × (55 − 0,05).10⁵ ⟹ w_P ≈ 5,5 kJ.kg^-1 (d'où h_A ≈ 138 + 5,5 = 143,5 kJ.kg^-1).

Ce travail est très faible devant les autres énergies du cycle.

2.5. Détente C → D isentropique : s_D = s_C = s_v(270 °C) = 5,92 kJ.K^-1.kg^-1. Avec le théorème des moments à 33 °C :

x_vD = (s_D − s_l)/(s_v − s_l) = (5,92 − 0,475)/(8,39 − 0,475) = 5,445/7,915 ⟹ x_vD ≈ 0,688.

h_D = h_l + x_vD(h_v − h_l) = 138 + 0,688 × (2560 − 138) ⟹ h_D ≈ 1804 kJ.kg^-1.

Si l'on utilise plutôt l'expression rappelée s = c_l ln T + x_vL_v/T + s₀ (avec L_v = h_v − h_l : 1603 kJ.kg^-1 à 543 K, 2422 kJ.kg^-1 à 306 K), on trouve x_vD = (T_D/L_vD)[c_l ln(T_B/T_D) + L_vB/T_B] ≈ 0,676 et h_D ≈ 1775 kJ.kg^-1 : l'écart (≈ 2 %) vient du modèle de liquide incompressible. Les deux démarches sont correctes si elles sont justifiées ; les valeurs suivantes sont calculées avec celles du tableau.

2.6. Échangeurs sans travail utile : q = Δh.

• Condenseur (D → E) : l'eau se condense, elle cède de la chaleur à la source froide : q₁ < 0. q₁ = h_E − h_D = 138 − 1804 ⟹ q₁ ≈ −1666 kJ.kg^-1.
• Générateur de vapeur (A → C) : l'eau est chauffée puis vaporisée, elle reçoit de la chaleur : q₂ > 0. q₂ = h_C − h_A = 2787 − 143,5 ⟹ q₂ ≈ 2644 kJ.kg^-1 (2649 kJ.kg^-1 si l'on néglige le travail de pompe).

2.7. Turbine calorifugée (q = 0) : w_Tu = h_D − h_C = 1804 − 2787 ⟹ w_Tu ≈ −983 kJ.kg^-1 : chaque kilogramme de vapeur fournit environ 983 kJ à la turbine.

2.8. Rendement = énergie utile / énergie coûteuse :

η_R = −(w_Tu + w_P) / q₂ = 1 + q₁/q₂ (premier principe sur le cycle : w_Tu + w_P + q₁ + q₂ = 0).

η_R = (983 − 5,5)/2644 ⟹ η_R ≈ 0,37 (37 %).

Carnot entre T_A = 306 K et T_B = 543 K : η_C = 1 − T_A/T_B ⟹ η_C ≈ 0,44 (44 %).

Conclusion : η_R < η_C, conformément au théorème de Carnot. L'écart vient de l'étape A → B : l'eau liquide est réchauffée de 33 °C à 270 °C, donc elle reçoit une partie de sa chaleur à une température inférieure à T_B (échange irréversible avec la chaudière). Le rendement reste néanmoins proche de celui de Carnot (≈ 85 % de celui-ci).

2.9. Pour réaliser un cycle de Carnot entre les mêmes températures, il faudrait arrêter la condensation avant l'état liquide puis comprimer de façon isentropique un mélange liquide-vapeur jusqu'à l'état de liquide saturant : c'est techniquement très difficile (compresseur diphasé, instabilités, cavitation, érosion) et cela demande un travail de compression important. Dans le cycle de Rankine, la condensation est totale : la pompe ne comprime que du liquide, avec un travail très faible (≈ 5,5 kJ.kg^-1 contre ≈ 983 kJ.kg^-1 fournis par la turbine) et un matériel simple et fiable.

3. Augmentation du rendement (cycle de Hirn)

3.1. Diagramme (P, v) : le cycle est identique jusqu'à C, puis C → C' est un segment horizontal (isobare 55 bar) qui sort de la cloche vers la droite, dans le domaine de la vapeur sèche (surchauffée). La détente isentropique C' → D' redescend jusqu'à 0,05 bar et entre sous la cloche en un point D' situé plus à droite que D (vapeur plus sèche). D' → E' → A comme avant (E' = E). Sens horaire.

3.2. Diagramme (T, s) : après le palier B → C à 270 °C, l'isobare C → C' monte dans le domaine vapeur (T et s croissent) jusqu'à T_C' ; puis C' → D' est une verticale descendante à s_C' > s_C, qui coupe la courbe de rosée et s'arrête sur le palier 33 °C, à droite de D ; D' → E palier horizontal. L'aire du cycle est augmentée par la « bosse » de surchauffe.

3.3. Une vapeur trop humide contient des gouttelettes de liquide qui, à grande vitesse, érodent et corrodent les aubes de la turbine, provoquent vibrations et pertes par frottement (baisse du rendement de la turbine). On impose en pratique un titre en sortie élevé (de l'ordre de 0,85 à 0,9 au moins) ; ici x_vD ≈ 0,69 est trop faible, d'où l'intérêt de la surchauffe.

3.4. Formules utilisées (h_C = 2787, w_P = 5,5, q₂ = 2644 kJ.kg^-1) :

• 3.4.1. q_S = h_C' − h_C (surchauffe isobare) ;
• 3.4.2. x_vD' = (s_C' − 0,475)/7,915 (détente isentropique, s_D' = s_C') ;
• 3.4.3. h_D' = 138 + 2422 x_vD' ;
• 3.4.4. w'_Tu = h_D' − h_C' ;
• 3.4.5. η_H = (|w'_Tu| − w_P) / (q₂ + q_S).

Commentaire : la surchauffe augmente à la fois le rendement (de 37 % sans surchauffe à 43 % à 700 °C) et le titre en sortie de turbine (vapeur plus sèche, turbine moins exposée à l'érosion). Le rendement reste inférieur à celui de Carnot entre 33 °C et T_C' (55 % à 400 °C, 69 % à 700 °C).

3.5. Le paramètre limitant est la température maximale de la vapeur surchauffée T_C' : elle est bornée par la tenue mécanique et thermique des matériaux (tubes du surchauffeur, aubes de la turbine), qui perdent leur résistance (fluage, corrosion) aux très hautes températures. À l'autre extrémité, la température de condensation est imposée par la source froide disponible (eau de rivière ou de mer).