Modèle de concours : CNC 2013 Physique I (TSI) — Concours National Commun
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2013), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique I
- Année
- 2013
- Pages
- 9
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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Concours National Commun - Session 2013- Filière TSI
e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.
e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.
L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - Etude d'un pendule
On considère un pendule simple (P), dans le champ de pesanteur terrestre
g uniforme, constitué d'une masse m ponctuelle, accrochée en M au bout d'un fil
inextensible de masse négligeable et de longueur 1 =OM .
Le point O est fixe et est confondu avec l’origine وي
du référentiel terrestre R(O,x,y,z,t) supposé
galiléen.
On repère la position du pendule par rapport à JO
l'axe vertical par l’angle 0 (figure 1). =
Le pendule est abandonné avec les conditions
initiales 06 =0)=0, et = 0-0-0 89 5
1
On néglige tout frottement et on étudie le
mouvement du pendule dans le plan vertical
1. Qu'appelle-t-on un référentiel galiléen ? Le référentiel terrestre est-il galiléen ? Si
non, à quelle condition sur la durée de l'expérience, le référentiel terrestre peut-il
être considéré comme galiléen ?
2. Faire le bilan des forces appliquées à la masse m . Calculer le travail de chaque
force. En déduire que le système étudié est conservatif et exprimer son énergie
potentielle F, et son énergie mécanique E, . On prend E,(0=0)=0.
M figure 1
3. À quelle condition sur E, , le mouvement du pendule a-t-il lieu 2
4. Montrer que si ا › 20181 , le mouvement du pendule est oscillatoire et ne peut
avoir lieu que si 0e[-0,,+0,]. Exprimer sa période T(0,) sous forme d'une
intégrale en précisant les bornes d'intégration.
Quel est la nature du mouvement dans le cas E, ›2mgl ?
6. Etablir l'équation différentielle du mouvement de la masse m . Le pendule étudié
est-il un système linéaire ? Justifier.
Préciser ce qu'il est légitime d'appeler petites oscillations au voisinage de la
position d'équilibre stable du pendule. Montrer que ces petites oscillations sont
sinusoïdales et exprimer leur pulsation ره et leur période T, en fonction des
données. Que signifie l'expression isochronisme des petites oscillations ?
Epreuve de Physique | 1/9
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Concours National Commun - Session 2013- Filière TSI
8. Quelle doit être la longueur ! pour que le pendule batte la seconde ? On prendra
g =9,81ms". Pourquoi ne peut-on pas prendre cette valeur comme unité de
longueur officielle et internationale ?
9. On dispose d'une carte d'acquisition, d'un ordinateur équipé d'un logiciel de
pilotage de la carte et d'un potentiomètre linéaire. Proposer un montage simple
permettant de visualiser la position angulaire 0) du pendule sur l’_écran d’un
ordinateur.
10. On fait l'expérience pour 7 ٍ
un temps d'acquisition très ١١١١ ل | Ligue VIT
grand devant la période 7١ | 1 | u | ١1١
d'oscillation. On obtient le |
graphe de la figure 2. | |
Commenter et justifier ‹/||| | | | | | |
l'allure de ٠ |
Pourquoi expérimentalement |
est-il souhaitable de prendre |, | 0 0 ا | | 1
un temps d'acquisition ni | ‘ | |
trop petit, ni trop grand ١ | | | | | 0
devant la période | | | (| |
3 2 } } Ÿ js
d'oscillation : | | (١ ١ ١ Allure de ©(t)
11. L'enregistrement informatisé de 0() pour un temps d'acquisition raisonnable
est représenté par la figure 3-1 pour 0( =0)=55° et (=0)=0.
0
: [figure 3-1 ]
tens +
4
orrespondante du pendule.
Commenter en comparant à la valeur théorique T7, =1,39 s .
11.2. L'analyse spectrale de la fonction @() donne le spectre de la figure 3-2.
11.1. À partir de la figure, déterminer la périodes T C
Commenter et justifier ce spectre.
theta_Ampltude en *
2.058 Hz |
Epreuve de Physique | 2/9
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Concours National Commun - Session 2013- Filière TSI
3
12. Le pendule (P) oscille maintenant avec une amplitude telle que sin(0)= 0— 5 ;
12.1. Que devient, dans ce cas, l'équation différentielle du mouvement obtenue dans
la question 6 ?
12.2. On cherche à évaluer la partie principale de l'écart au modèle de la question 7
en cherchant une solution de l'équation du mouvement de la masse m sous la
forme (méthode de perturbation) : 0#)=0,(cos(at)+e()) avec &#)‹‹1 Vr.
12.2.1. Quelle est, dans cette solution, la pulsation fondamentale ?
12.2.2. En reportant cette expression de 0() dans l'équation du mouvement de
la masse m et en faisant les approximations convenables, montrer que le
caractère non-harmonique des oscillations du pendule entraîne la présence
dans la perturbation &e() d'une harmonique de la solution non perturbée.
Déterminer explicitement cette harmonique.
On donne : cos*(0) = M (cos(30) +3cos(0)).
12.3. On cherche maintenant &(t) sous la forme e({)=&,cos(3at) où &, est une
constante &, ‹‹|1. Déterminer &, et exprimer la pulsation .ته Montrer que la
17 16
Calculer r(0,) pour 0, - 609 . Le calcul exact donne r(60°)=1,073. Commenter.
période T7 (0,) est donnée par r(60,)= . Application numérique :
13. On se place maintenant dans le cas d'oscillations d'amplitude quelconque.
13.1. Montrer que l'équation de la trajectoire dans le plan de phase du point P de
1 0
coordonnées 60() et ve peut se mettre sous la forme
œ, dt mgl
13.2. L'allure générale du portrait de phase du pendule étudié est donnée dans la
figure 4 ci-dessous.
ممع وط
...ا رط 4 figure
Justifier que deux trajectoires de phase ne se coupent pas. .13.2.1
À quelle situation correspondent les points A ? .13.2.2
A quelle situation correspondent les points B ? .13.2.3
Epreuve de Physique | 3/9
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13.2.4. Quelles sont les trajectoires de phase correspondant à la situation de la
question 4. ?
13.2.5. Quelles sont les trajectoires de phase correspondant à un mouvement
révolutif ?
13.2.6. Donner l'allure de la trajectoire de phase du pendule simple dans le
plan de phase dans le cas des petites oscillations. Que devient cette allure si
l’on modélise les frottements par une force orthoradiale f =-a 18 2
14. Afin de construire un pendule isochrone, on propose de réduire la longueur
utile du pendule en fonction de l'amplitude.
Pour cela, on réalise un pendule avec
un guide AOB sur lequel le fil du
pendule simple s'enroule. On dispose
alors deux lamelles de forme cycloïdale
à des positions symétriques et
déterminées telles que représentées sur
la figure 5. Les deux lamelles OA et OB
sont appelés les joues du guide et ont la
même longueur que le fil du pendule. A
et B sont deux points des joues où la
tangente est horizontale. Le profil du
guide est défini en fonction du
paramètre 0 par les équations :
A un instant donné, le fil du pendule est en contact avec la joue de O à P(0),
puis libre de P(0) à M (0). Le fil est tangent au profil de la joue en P(0).
14.1. Montrer que le paramètre 0 qui définit la position du point P(60) s'identifie à
l'angle 0 que fait la partie libre P(0)M (0) du fil avec la verticale.
14.2. Rappeler l'expression de la variation ds de l'abscisse curviligne s en fonction
des variations dx et dz respectivement de x et z.
14.3. Montrer que la variation de l'abscisse curviligne s entre O et A est
ds =AR sin(0)d0, lorsque l'angle 0 que fait la joue cycloïdale avec la verticale
varie de 9٠
14.4. Exprimer la longueur L(0) de la joue entre O et P(0) et la longueur totale L
de la joue entre 0 et À . En déduire que l'on peut exprimer 0 en fonction de
14.5. Déterminer les coordonnées x, (0) et z,, (0) définissant la position du point
figure 5
L(0) sous la forme : 0 =arcos(l—
M . En déduire la nature de la trajectoire du point matériel de masse m.
14.6. En écrivant la conservation de l'énergie mécanique, montrer que l'équation du
mouvement de M s'écrit sous la forme : 0 =a; 1 = (x) | . On supposera
toujours 00 =0)=0, et O( =0)=0.
Epreuve de Physique | 4/9
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14.7. Exprimer la période T'(0,) des oscillation d'amplitude 6, en fonction de
cos(0)d 0
14.8. En effectuant le changement de variable sin(0)=u sin(0,), exprimer la période
l'intégrale |]
intégrale |,
: du , 4
T'(0,) en fonction de T,. Commenter. On donne : | حص = arcsin(=)+cste .
Problème II - Spectrogoniomèêtre à réseau
La spectrométrie est une technique de mesure des longueurs d’ondes
correspondant aux raies émises par une source lumineuse. Comme chaque atome
(ou chaque molécule) est caractérisé par un ensemble de raies d’émission occupant
des positions bien précises dans le spectre, on peut donc déterminer la composition
chimique d’une source à partir de l’analyse de la lumière qu’elle émet : ceci est
réalisé couramment en astrophysique pour connaître les éléments qui constituent
certaines étoiles.
On s’intéresse dans ce problème à l’étude des deux aspects, théorique et
expérimental, du spectrogoniomètre à réseau.
I. Goniomètre
Un goniomètre est essentiellement constitué d’un plateau horizontal circulaire
gradué en demi-degré de و à 359° autour duquel peuvent se déplacer un collimateur
et une lunette de visée. Un vernier comportant 30 divisions sur 0,5 degré permet de
faire une lecture à la minute d'arc près. Il est utilisé dans le repérage des positions
angulaires de la lunette de visée, depuis une direction arbitraire de référence.
Les rayons issus du collimateur traversent un système dispersif (le réseau), placé
au centre avant d’être recueillis par la lunette qui en donne une image à l’infini.
Toutes les lentilles constituant la lunette et le collimateur sont supposées minces
et achromatiques et sont éclairées dans les conditions de Gauss.
1. A quoi sert un goniomètre ?
2. Expliquer le terme "'achromatique”. Pourquoi utilise-t-on des lentilles
achromatiques dans un spectromètre ?
3. La lunette de visée permet de repérer un rayon émergent ou réfléchi par le
système dispersif et de mesurer son angle de manière précise à l’aide du
vernier. Elle est constituée des éléments suivants :
- un objectif : c’est une lentille convergente de distance focale f ' =130 mm , de
foyer image F',, de centre O, et fixe dans un tube. 11 donne de l’objet observé
ou pointé une image intermédiaire.
- un oculaire : c’est un doublet de lentilles convergentes non accolées que l’on
modélisera par une lentille convergente (L2) de vergence V, - 25 à, de foyer
objet F, et de centre O,. L'oculaire permet l’observation « à la loupe » de
l’image intermédiaire.
- un réticule R (deux fils croisés à angle droit), placé entre l’objectif et l’oculaire.
Un tambour de réglage permet de le superposer à l’image intermédiaire.
3.1. Expliquer les qualifacatifs « objectif » et « oculaire ».
Epreuve de Physique | 5/9
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3.2. Une lunette est réglée si elle est rendue afocale. Donner l'intérêt de ce réglage
pour un œil emmétrope et expliquer brièvement les étapes de ce réglage.
Calculer l'encombrement total OO, de la lunette.
3.3. Faire un schéma de principe de la lunette réglée. Tracer sur ce schéma la
marche à travers la lunette d’un faisceau de lumière faisant angle 0 avec l’axe
optique de celle-ci. On note 0' l'angle que font les rayons émergents de la
lunette avec son axe optique. Exprimer le grossissement 6 =— de la lunette et
calculer sa valeur numérique.
3.4. Un observateur emmétrope effectue la mise au point de la lunette en visant un
objet à 10 m, puis à 100 m, enfin à l'infini (visée d'une étoile). De quelle
distance doit-il déplacer l'oculaire entre chaque mesure ? On rappelle la
formule de Newton : FA.F'A'=— ©.
4. Le collimateur est un système optique constitué d'un objectif (lentille
convergente de distance focale f '. =170 mm ) et d’une fente dont la largeur est
réglable. Un tambour de réglage permet de faire varier la distance entre la fente
source et l'objectif. Le collimateur est éclairé à travers sa fente par la source
étudiée
4.1. Préciser le rôle du collimateur.
4.2. Le réglage du collimateur consiste à amener la fente au foyer objet de l’objectif.
On utilise pour cela une lunette préalablement réglée à l’infini. Expliquer
brièvement les étapes du réglage du collimateur.
Dans la suite, on suppose que la lunette et le collimateur sont réglés à l’infini.
II. Réseau par transmission éclairé par un faisceau parallèle
Un =— réseau 2 plan =— par
transmission de largeur utile L est
constitué de ON fentes fines
transparentes gravées sur un support
en verre. Les fentes sont
équidistantes de a (pas du réseau) et
parallèles à l’axe Oy perpendiculaire
au plan de la figure 1. Le réseau
comporte n' fentes (par mm) et
plonge dans l'air dont l'indice sera
pris égal à 1. I
figure 1
Le réseau repose sur la platine d’un spectrogoniomètre entre le collimateur et la
lunette. La fente du collimateur, supposée infiniment fine et parallèle aux fentes du
réseau, est éclairée par une source de lumière de longueur d'onde dans le vide À. Le
système optique est centré autour de l’axe horizontal Ox perpendiculaire au plan du
réseau et est éclairé dans les conditions de Gauss.
On désigne par i l’angle d’incidence des rayons lumineux sur le réseau, par i'
leur l’angle de diffraction et par p l’ordre d’interférence du maxima de lumière
observé.
Epreuve de Physique | 6/9
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5. Relation fondamentale
5.1. Quels sont les phénomènes mis en jeu dans le spectroscope à réseau ?
5.2. Représenter soigneusement sur un schéma la marche de deux radiations
lumineuses à travers le collimateur, le réseau et la lunette lorsque le réglage
est réalisé. On suppose que la source est monochromatique.
5.3. Représenter soigneusement sur un schéma la marche de deux radiations
incidentes sortant du collimateur et diffractées par deux fentes consécutives.
Déterminer l'expression de la différence de phase م entre ces deux radiations
consécutives. Cette différence de phase est-elle conservée après la traversée de
l'objectif de la lunette ? Pourquoi ?
5.4. Démontrer que les radiations diffractées interfèrent constructivement suivant
certaines directions d'angle /', que l’on exprimera en fonction de a, À et de
l’ordre p. Commenter physiquement cette relation. Justifier qualitativement
que le réseau est un système dispersif.
5.5. A quoi correspond en particulier le maximum /' d’ordre p=0 ? Commenter
ce résultat.
5.6. Donner l'allure de l'intensité lumineuse dans le plan focale image de l'objectif
de la lunette. On supposera la valeur de n' très grande. En pratique, cette
intensité n’est pas la même dans les différents ordres. Donner une explication
en quelques lignes.
6. Minimum de déviation
6.1. Déterminer l’angle de déviation D entre la radiation incidente et la radiation
diffractée correspondant au maxima de diffraction d’ordre p .
6.2. Montrer que lorsqu'on tourne le réseau autour d'un axe parallèle aux fentes et
pour un ordre p donné, la déviation D passe par un minimum D, pour
Exprimer D, en fonction de i ', » PUis en fonction de p, À eta. - ,71 = ا
6.3. Représenter sur un schéma les positions relatives du réseau, des rayons
incidents et émergents correspondant au réglage du minimum de déviation
pour un ordre p donné et une longueur d’onde donnée.
7. Mesure du pas du réseau et d'une longueur d'onde
On éclaire la fente du collimateur par une lampe à vapeur de mercure. La lunette
d’observation vise dans la direction i', des maximas de chacune des raies de
longueur d’onde À du spectre d’ordre م . Pour le spectre d'ordre 2, on mesure avec le
réseau ) la déviation minimale D, =30°19' pour la radiation indigo de longueur
d'onde À =435,8 nn et la déviation D, =38°36' pour la raie verte de longueur d'onde
7.1. Expliquer la démarche pour chercher expérimentalement le minimum de
déviation de la lumière dans un réseau.
7.2. Calculer le pas a du réseau (@. En déduire le nombre n' de fentes par
millimètre du réseau utilisé.
7.3. Déterminer la longueur d'onde À, de la raie verte du mercure.
Dans toute la suite, on prendra n'=600 fentes/mm.
Epreuve de Physique | 7/9
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8. Recouvrement des ordres
On éclaire la fente du collimateur par une lampe à vapeur de mercure dont les
longueurs d’onde À utilisées, exprimées en nanomètres, sont telles que :
407,8 nn ‹ A ‹ 623,4 nm .
Déterminer, en incidence normale, les ordres complètement visibles. À partir
de quel ordre observe-t-on un recouvrement ? Justifier votre réponse.
9. Pouvoir dispersif
On désire fabriquer un spectromètre avec un bon système dispersif. Hésitant
entre le prisme et le réseau, on cherche à comparer le pouvoir dispersif de ces deux
systèmes.
La dispersion d’un spectromètre conditionne son aptitude à séparer des longueurs
d’onde très voisines. Le pouvoir dispersif angulaire se mesure par le taux de variation
de la déviation avec À au voisinage de la déviation minimale. On éclaire la fente du
collimateur par une lumière polychromatique et on règle le système dispersif au
minimum de déviation.
9.1. Le prisme (P) d’angle A = 60° est taillé dans un verre dont l’indice de réfraction
suit la loi de Cauchy : n,(2)=C, =, avec © =1,652 et C, =1,50.10*um*, À
étant exprimé en um.
Etablir, au voisinage d’une longueur d’onde À, l'expression du pouvoir
de ce prisme en fonction de C,, A, à et n,. On
dispersif angulaire P, = me
rappelle la déviation minimale D, d'un prisme d'angle A et d'indice de
réfraction n, : م271 نون sin) ;
A.N. Calculer P, en radnm' pour une radiation de longueur d’onde
À = 589,3 nm.
Quelle est la couleur de la lumière blanche مة) = 400 nM‹A‹Apuee =800 nm) la
leu rouge
plus déviée par le prisme ?
9.2. Etablir, au voisinage d’une longueur d’onde 7, l'expression du pouvoir
dispersif angulaire P, = 7 du réseau (@ de pas a en fonction de n', À et de
l’ordre p . Comment varie P, en fonction de n' et de p ?
A.N. Calculer P, en radnm! pour une radiation de longueur d’onde
À = 589,3 nm et pour l’ordre 1.
= 400 ...م › .7 كنتت = 800 nm) la
leu rouge
Quelle est la couleur de la lumière blanche (À,
plus déviée par le réseau ?
9.3. Comparer les performances du prisme avec celle du réseau.
10. Cas d'une source bichromatique
La fente du collimateur est maintenant éclairée par une lampe à vapeur de
sodium. La lumière émise par cette source est constituée de deux radiations de
longueurs d'onde très voisines À, et À, لاح +AA (AA ›› 7. On suppose que le réseau
(® est réglé de façon à recevoir la lumière issue du collimateur sous une incidence
coïncidant avec le minimum de déviation pour ces deux radiations.
Epreuve de Physique | 8/9
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— صفحة 9 —
Concours National Commun - Session 2013- Filière TSI
10.1. Pour l'ordre deux, on repère pour la radiation de longueur d'onde À, les deux
positions symétriques correspondant au minimum de déviation. L'écart
angulaire entre ces deux positions est a =82°47'. Calculer la longueur d'onde
10.2. Faire un schéma de principe décrivant cette expérience.
10.3. L'axe de la lunette est confondu avec le rayon correspondant au minimum de
déviation de À,. La trace de la radiation À, dans le plan focal image de l'objectif
de la lunette est décalé d'une distance d =0.10mm . Exprimer la distance ٠
Calculer alors AA et à.
10.4. Proposer un montage expérimental permettant d'enregistrer le spectre de la
source lumineuse étudiée sur une plaque photographique ou une barrette
CCD.
11. Application : spectre d'une source inconnue
On éclaire le réseau (Æ en incidence
١ Radiation observée | Angle mesuré a'
normale par une source lumineuse
spectrale inconnue. Rouge 92°45"
Pour l'ordre p = 2, on repère pour
chacune des radiations observées à | Bleu-vert 67° 507
travers la سحت de visée, les deux Violet 60522
positions symétriques correspondant au
minimum de déviation. On mesure | Violet 56°59!'
l'écart angulaire a' entre ces deux
positions.
11.1. Calculer à partir des valeurs de a' les valeurs des longueurs d'ondes
expérimentales An
On veut vérifier si les résultats expérimentaux obtenus sont ceux correspondant à
une lampe spectrale à hydrogène. On entreprend alors une étude physico-chimique
pour connaître les longueurs d'onde théoriques À, de l'hydrogène. Le spectre de
l'hydrogène est un spectre de raies regroupées en séries. La série de Balmer de
l’atome d’hydrogène est un ensemble de raies correspondant à des transitions vers
l’état excité de plus basse énergie. La position de ces raies s'obtient par la formule de
Rydberg-Ritz.
On rappelle que les niveaux d'énergie E, de l'atome d'hydrogène sont donnés par
la relation : E, (eV) = - | 26 avec n un entier.
11.2. Quelle est la signification de l'entier n 7
11.3. Etablir l’expression littérale de la longueur d’onde des radiations émises
correspondant à la série de Balmer.
11.4. Entre quelles valeurs extrêmes les longueurs d’onde des radiations de cette
série sont-elles situées ? Commenter.
11.5. Calculer les longueurs d’onde des quatre premières radiations de la série de
Balmer.
11.6. Conclure quant à la nature de la lampe spectrale étudiée expérimentalement.
On donne la constante de Rydberg R,, =10979708,01 m"".
Epreuve de Physique | 9/9
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique I de la filière TSI du Concours National Commun (CNC) 2013 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs (classes préparatoires, 2e année). L'énoncé (9 pages) comporte deux problèmes indépendants : Problème I — étude d'un pendule (simple, non linéaire, portrait de phase, pendule cycloïdal isochrone) et Problème II — spectrogoniomètre à réseau (lunette, collimateur, formule des réseaux, minimum de déviation, pouvoir dispersif, doublet du sodium, série de Balmer). Voici une correction proposée, dans l'ordre et avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Deux résultats structurent l'épreuve : la correction d'amplitude T ≈ T0(1 + θ02/16) du pendule simple, et la relation au minimum de déviation du réseau 2 sin(Dm/2) = pλ/a. Toutes les applications numériques du problème II en découlent.
Problème I — Étude d'un pendule
1. Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie y est vérifié : un point matériel isolé y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre n'est pas rigoureusement galiléen (rotation propre de la Terre en un jour sidéral ≈ 86 164 s, plus son mouvement orbital). On peut le considérer galiléen si la durée de l'expérience est très petite devant la durée d'un jour (≈ 24 h) ; c'est le cas ici.
2. Forces : poids P = m g et tension du fil T (dirigée de M vers O). Travaux pour un déplacement de θ1 à θ2 :
- T est perpendiculaire à la vitesse (mouvement circulaire, fil inextensible) : W(T) = 0.
- zM = −l cosθ : W(P) = −mg(z2 − z1) = mgl(cosθ2 − cosθ1), indépendant du chemin.
Seule une force conservative travaille : le système est conservatif. Ep = mgl(1 − cosθ) (nulle en θ = 0) et Em = (1/2)ml2(dθ/dt)2 + mgl(1 − cosθ) = cste (= mgl(1 − cosθ0) avec les conditions initiales données).
3. Ec = Em − Ep(θ) ≥ 0 : le mouvement n'a lieu que dans les zones où Ep(θ) ≤ Em ; il y a mouvement effectif si Em > 0 (Em = 0 : repos en θ = 0). Remarque : avec un fil (et non une tige), il faut aussi T ≥ 0, ce qui n'est garanti que pour |θ| ≤ π/2, soit Em ≤ mgl.
4. Ep est maximale, égale à 2mgl, en θ = ±π. Si Em < 2mgl, Ep(θ) ≤ Em impose
cosθ ≥ cosθm avec cosθm = 1 − Em/(mgl) : θ ∈ [−θm, +θm]. La vitesse s'annule aux bornes et change de signe : mouvement
oscillatoire (périodique) dans un puits de potentiel.
Avec dθ/dt = ω0√(2(cosθ − cosθm)) (ω02 = g/l) et par symétrie (quatre quarts de période) :
T(θm) = (4/ω0) ∫0θm dθ / √(2(cosθ − cosθm)) = 2√2 √(l/g) ∫0θm dθ/√(cosθ − cosθm).
5. Em > 2mgl : Ec ne s'annule jamais, dθ/dt garde un signe constant : mouvement révolutif (le pendule fait des tours complets, θ croît indéfiniment ; mouvement périodique modulo 2π). Ce cas suppose une tige rigide.
6. dEm/dt = 0 : ml2θ̇θ̈ + mglθ̇ sinθ = 0 ⇒ θ̈ + (g/l) sinθ = 0. Système non linéaire à cause de sinθ : la somme de deux solutions n'est pas une solution.
7. Petites oscillations : |θ| ≪ 1 rad, où sinθ ≈ θ (écart < 1 % tant que θ ≲ 14°). Alors θ̈ + ω02θ = 0 : θ(t) = θ0 cos(ω0t), sinusoïdal, avec ω0 = √(g/l) et T0 = 2π√(l/g). Isochronisme : la période ne dépend pas de l'amplitude.
8. « Battre la seconde » : chaque alternance (demi-période) dure 1 s, donc T0 = 2 s et l = gT02/(4π2) = g/π2 ≈ 0,994 m. Cette longueur dépend de g, qui varie avec le lieu (latitude, altitude) : elle n'est ni universelle ni reproductible, elle ne peut pas servir d'étalon international.
9. On solidarise l'axe du potentiomètre linéaire avec l'axe de rotation du pendule ; on alimente ses bornes extrêmes par une tension continue E ; la tension entre le curseur et la masse, u = k θ + u0 (affine en θ), est envoyée sur une entrée de la carte d'acquisition ; le logiciel enregistre u(t) et, après étalonnage (mesure de u pour θ = 0 et pour un angle connu), affiche θ(t). Le potentiomètre doit offrir un couple de frottement faible.
10. On observe des oscillations de période constante dont l'amplitude décroît lentement : les frottements (air, axe, potentiomètre) dissipent l'énergie, le régime est pseudo-périodique faiblement amorti. Durée d'acquisition : trop courte, on a trop peu de périodes pour mesurer T précisément (et une résolution spectrale ≈ 1/durée médiocre) ; trop longue, l'amortissement modifie l'amplitude (donc la période, non isochrone) et, à nombre de points fixé, la fréquence d'échantillonnage devient trop faible (signal mal décrit, repliement possible).
11.1. Sur la figure 3-1, les maxima sont à t ≈ 0 ; 1,45 ; 2,9 ; 4,35 s : trois périodes en ≈ 4,35 s, soit T ≈ 1,45 s (le spectre donne 1/0,685 ≈ 1,46 s). T > T0 = 1,39 s (≈ +5 %) : à 55° on n'est plus dans les petites oscillations, la période augmente avec l'amplitude (perte d'isochronisme). La formule de la question 12.3 donne T ≈ 1,39 × (1 + 0,962/16) ≈ 1,47 s, en accord.
11.2. Le spectre montre une raie principale à 0,685 Hz (fondamental, 1/T) et une petite raie à 2,058 Hz ≈ 3 × 0,686 Hz (harmonique 3). θ(t) est périodique mais non sinusoïdal à cause de la non-linéarité ; sinθ étant une fonction impaire, seuls les harmoniques impairs apparaissent, et l'harmonique 3 est très faible (voir 12.3 : ε0 = θ02/192).
12.1. θ̈ + ω02(θ − θ3/6) = 0.
12.2.1. La pulsation fondamentale est ω (et non ω0) : c'est elle qu'il faut déterminer.
12.2.2. On reporte θ = θ0(cosωt + ε), en ne gardant dans le terme cubique que θ03cos3ωt (ε ≪ 1) :
θ0(−ω2cosωt + ε̈) + ω02θ0(cosωt + ε) − (ω02θ03/24)(cos3ωt + 3cosωt) = 0, soit
ε̈ + ω02ε = (ω2 − ω02 + ω02θ02/8) cosωt + (ω02θ02/24) cos3ωt.
Le terme en cosωt (à la quasi-résonance) ferait croître ε sans limite : on l'annule, ce qui fixe ω (12.3). Il reste un second membre en cos 3ωt :
la non-linéarité crée l'harmonique de rang 3, (ω02θ02/24) cos(3ωt).
12.3. Coefficient de cosωt nul : ω2 = ω02(1 − θ02/8), soit ω ≈ ω0(1 − θ02/16).
Avec ε = ε0cos3ωt : (ω02 − 9ω2)ε0 = ω02θ02/24 ; au premier ordre ω ≈ ω0 :
ε0 = −θ02/192 (bien ≪ 1).
T(θ0) = 2π/ω = T0/(1 − θ02/16) ≈ T0(1 + θ02/16) : r(θ0) = 1 + θ02/16.
A.N. : θ0 = 60° = π/3 rad : r = 1 + 1,097/16 ≈ 1,069. Écart à la valeur exacte 1,073 : 0,4 %. La correction en θ02 capte l'essentiel ;
le reste vient du terme suivant (11θ04/3072 ≈ 0,004), qui donne 1,073.
13.1. Conservation de l'énergie : (1/2)ml2θ̇2 + mgl(1 − cosθ) = Em. On divise par mgl/2 et on utilise l/g = 1/ω02 : (θ̇/ω0)2 + 2(1 − cosθ) = 2Em/(mgl).
13.2.1. Le mouvement est déterminé de façon unique par l'état initial (θ, θ̇) (équation du second ordre, théorème de Cauchy). Si deux trajectoires de phase se coupaient, le point d'intersection, pris comme état initial, conduirait à deux évolutions différentes : impossible. (Les séparatrices ne se « coupent » qu'aux points d'équilibre B, atteints seulement au bout d'un temps infini.)
13.2.2. Points A : θ = 0 (mod 2π), θ̇ = 0 : positions d'équilibre stable (pendule au repos en bas), centres des courbes fermées.
13.2.3. Points B : θ = ±π, θ̇ = 0 : positions d'équilibre instable (pendule vertical vers le haut, Em = 2mgl), points-cols où se croisent les séparatrices.
13.2.4. Em < 2mgl : les trajectoires fermées qui entourent A, à l'intérieur des séparatrices, par exemple P1 et P2 (quasi-ellipse pour P1, courbe plus aplatie aux extrémités pour P2). Les courbes P5, P6 sont les séparatrices (Em = 2mgl), cas limite.
13.2.5. Les trajectoires ouvertes situées au-dessus et au-dessous des séparatrices, où θ̇ ne s'annule jamais : P3 (θ̇ > 0, rotation dans le sens direct) et P7 (θ̇ < 0, sens inverse).
13.2.6. Petites oscillations : (θ̇/ω0)2 + θ2 = θ02 : en coordonnées (θ, θ̇/ω0), un cercle de rayon θ0 centré en A (une ellipse en (θ, θ̇)), parcouru dans le sens horaire. Avec la force de frottement f = −α dθ/dt, l'énergie décroît : la trajectoire devient une spirale qui s'enroule vers A (régime pseudo-périodique ; foyer stable). Si l'amortissement était fort, on aurait une courbe rejoignant A sans tourner.
14.1. dxP/dθ = 2R(1 − cos2θ) = 4R sin2θ et dzP/dθ = −2R sin2θ = −4R sinθ cosθ : la tangente en P est dirigée par (sinθ, −cosθ), vecteur qui fait l'angle θ avec la verticale descendante. Le fil libre étant tangent à la joue en P, il fait lui aussi l'angle θ avec la verticale : le paramètre θ est bien l'angle du fil.
14.2. ds2 = dx2 + dz2, soit ds = √(dx2 + dz2).
14.3. ds = √(16R2sin4θ + 16R2sin2θcos2θ) dθ = 4R sinθ dθ (0 ≤ θ ≤ π/2).
14.4. L(θ) = ∫0θ 4R sinθ' dθ' = 4R(1 − cosθ). En A la tangente est horizontale : cosθ = 0, θ = π/2, d'où L = 4R (c'est aussi la longueur du fil). Donc L(θ) = L(1 − cosθ) et θ = arccos(1 − L(θ)/L).
14.5. Longueur libre PM = L − L(θ) = 4R cosθ, le long de (sinθ, −cosθ) :
xM = R(2θ − sin2θ) + 4R sinθcosθ = R(2θ + sin2θ) ;
zM = R(cos2θ − 1) − 4R cos2θ = −R(3 + cos2θ).
Avec φ = 2θ : x = R(φ + sinφ), z = −3R − R cosφ : M décrit une cycloïde (identique aux joues, translatée, point bas en z = −4R).
14.6. ẋM = 4R cos2θ θ̇, żM = 4R sinθcosθ θ̇ ⇒ v2 = 16R2cos2θ θ̇2. Le fil ne travaille pas (tension ⊥ vitesse) :
8mR2cos2θ θ̇2 − mgR(3 + cos2θ) = −mgR(3 + cos2θ0). Comme 3 + cos2θ = 2 + 2cos2θ :
8R cos2θ θ̇2 = 2g(cos2θ − cos2θ0) ⇒
θ̇2 = ω02(1 − (cosθ0/cosθ)2) avec ω02 = g/(4R) = g/l.
14.7. dt = cosθ dθ / (ω0√(cos2θ − cos2θ0)) ; quatre quarts de période : T'(θ0) = (4/ω0) ∫0θ0 cosθ dθ / √(cos2θ − cos2θ0).
14.8. cos2θ − cos2θ0 = sin2θ0 − sin2θ. Avec sinθ = u sinθ0 : cosθ dθ = sinθ0 du et
√(sin2θ0(1 − u2)) = sinθ0√(1 − u2) ; u va de 0 à 1 :
T' = (4/ω0) ∫01 du/√(1 − u2) = (4/ω0)(π/2) = 2π/ω0 ⇒ T'(θ0) = T0.
La période ne dépend plus de l'amplitude : le pendule cycloïdal (Huygens) est rigoureusement isochrone, quelle que soit l'amplitude (θ0 ≤ π/2).
Problème II — Spectrogoniomètre à réseau
I. Goniomètre
1. Le goniomètre sert à mesurer avec précision des angles (positions de la lunette, donc déviations des rayons) ; avec le vernier (30 divisions pour 0,5°), la lecture est à 1' près.
2. Une lentille achromatique a une distance focale (pratiquement) indépendante de la longueur d'onde : pas d'aberration chromatique. Dans un spectromètre on observe des radiations de λ différentes : il faut que toutes donnent une image nette dans le même plan (fente à l'infini pour toutes les couleurs, réglages à l'infini valables pour tout λ), sinon on devrait refaire la mise au point pour chaque raie et les mesures d'angle seraient faussées.
3.1. Objectif : lentille tournée vers l'objet, qui en forme l'image intermédiaire. Oculaire : lentille placée près de l'œil, qui sert de loupe pour regarder cette image.
3.2. Lunette afocale : F'1 = F2 ; un objet à l'infini donne une image à l'infini, qu'un œil emmétrope observe sans accommoder,
donc sans fatigue. Étapes : (1) régler l'oculaire sur le réticule : on le déplace jusqu'à voir les fils nets, œil au repos (réticule dans le plan focal objet de
l'oculaire) ; (2) viser un objet très éloigné (ou procéder par auto-collimation avec un miroir plan) et déplacer l'ensemble réticule + oculaire par rapport à l'objectif
jusqu'à voir l'image nette, sans parallaxe avec le réticule.
f'2 = 1/V2 = 1/25 = 40 mm ; O1O2 = f'1 + f'2 = 130 + 40 = 170 mm.
3.3. Schéma : rayons parallèles inclinés de θ, convergeant en un point B1 du plan focal commun F'1 = F2, puis ressortant parallèles,
inclinés de θ'. Avec A1B1 la taille de l'image intermédiaire : θ = A1B1/f'1 et θ' = −A1B1/f'2 (angles orientés) :
G = θ'/θ = −f'1/f'2 = −130/40 = −3,25 (image renversée ; |G| = 3,25).
3.4. Formule de Newton pour l'objectif : F'1A' = f'12/|F1A|, avec |F1A| ≈ D − f'1 pour un objet à la distance D :
- D = 10 m : F'1A' = 0,1302/9,87 ≈ 1,71 mm ;
- D = 100 m : F'1A' ≈ 0,169 mm ;
- D infinie : F'1A' = 0.
Pour que l'œil reste au repos, F2 doit rester sur A' : l'oculaire se déplace comme l'image. De 10 m à 100 m : ≈ 1,54 mm vers l'objectif ; de 100 m à l'infini : ≈ 0,17 mm vers l'objectif.
4. Collimateur
4.1. Le collimateur fournit un faisceau de lumière parallèle (fente au foyer objet de son objectif), donc une direction d'incidence unique et bien définie sur le réseau (la fente, image à l'infini, sert d'objet « ponctuel » dans une direction).
4.2. On place la lunette réglée à l'infini face au collimateur, dans son axe ; on éclaire la fente ; on agit sur le tambour du collimateur (distance fente–objectif) jusqu'à voir l'image de la fente nette et sans parallaxe avec le réticule ; on affine ensuite la largeur de la fente (fine, mais assez lumineuse) et on la rend parallèle aux traits du réseau.
II. Réseau par transmission
5.1. Diffraction par chaque fente et interférences entre les N ondes diffractées (interférences à ondes multiples).
5.2. Schéma : la fente au foyer de l'objectif du collimateur donne un faisceau parallèle incliné de i sur le réseau ; à la sortie, un faisceau parallèle direct (ordre 0, i' = i) et des faisceaux parallèles diffractés dans les directions i'p ; la lunette, réglée à l'infini et orientée selon i'p, fait converger le faisceau choisi en un point de son plan focal (image de la fente sur le réticule).
5.3. Deux rayons passant par deux fentes consécutives distantes de a : différence de marche avant le réseau a sin i, après a sin i'. D'où δ = a(sin i' − sin i) et φ = 2πa(sin i' − sin i)/λ. Elle est conservée après l'objectif : d'après le théorème de Malus et le stigmatisme de la lentille, les chemins optiques entre un plan d'onde et son point image sont égaux ; la lentille n'ajoute aucune différence de marche entre les rayons qui convergent au même point du plan focal.
5.4. Interférences constructives : φ = 2πp, p entier : sin i'p − sin i = pλ/a = p n' λ (formule des réseaux). Seuls les ordres |sin i + pλ/a| ≤ 1 existent ; les directions sont très précises car les N ondes doivent être toutes en phase. Pour p ≠ 0, i'p dépend de λ : les radiations de longueurs d'onde différentes sortent dans des directions différentes, le réseau est dispersif (plus λ est grand, plus la déviation est grande).
5.5. p = 0 : i'0 = i pour toutes les longueurs d'onde : c'est la lumière transmise sans déviation (direction de l'optique géométrique) ; l'ordre 0 n'est pas dispersif (en lumière blanche, il est blanc).
5.6. I ∝ [sin(Nφ/2)/sin(φ/2)]2 : des pics très fins et intenses (largeur angulaire ≈ λ/(Na) = λ/L) aux positions sin i' − sin i = pλ/a, séparés de zones quasi obscures (maxima secondaires négligeables pour N grand). Les ordres n'ont pas la même intensité : chaque fente a une largeur finie b et diffracte avec une enveloppe en sinc2(πb(sin i' − sin i)/λ), qui pondère les pics ; l'intensité décroît quand |p| augmente (et certains ordres peuvent manquer s'ils tombent sur un zéro de l'enveloppe).
6. Minimum de déviation
6.1. D = i'p − i, avec sin i'p = sin i + pλ/a.
6.2. En différentiant la formule des réseaux à λ fixé : cos i' di' = cos i di. dD/di = di'/di − 1 = cos i/cos i' − 1 = 0 ⇒ cos i' = cos i ⇒ i' = −i (i' = i correspondrait à p = 0). Au minimum, i'pm = −im, Dm = 2 i'pm, et la formule devient 2 sin i'pm = pλ/a, soit sin(Dm/2) = pλ/(2a).
6.3. Schéma : au minimum de déviation, rayons incident et émergent sont symétriques par rapport au plan du réseau (la normale au réseau est bissectrice de l'angle formé par la direction incidente prolongée et la direction émergente).
7. Mesure du pas du réseau et d'une longueur d'onde
7.1. On vise la raie dans la lunette, puis on fait tourner lentement la platine (le réseau) dans un sens en suivant l'image avec la lunette : la raie se déplace, s'arrête puis rebrousse chemin. La position de rebroussement est le minimum de déviation ; on y bloque la lunette et on lit l'angle. On mesure de même la position symétrique (ou la direction du faisceau direct) : l'écart vaut 2Dm (ou Dm).
7.2. p = 2 : sin(Dm/2) = λ/a ⇒ a = λi/sin(Dmi/2) = 435,8 nm / sin(15°09,5') = 435,8/0,2615 ≈ 1,667 µm ⇒ n' = 1/a ≈ 600 fentes/mm.
7.3. λv = a sin(Dmv/2) = 1667 nm × sin(19°18') ≈ 1667 × 0,3305 ≈ 551 nm (raie verte du mercure ; la valeur tabulée est 546,1 nm, l'écart de 1 % provient de la précision des données).
8. Recouvrement des ordres
Incidence normale : sin i'p = pλ/a, a = 1/600 mm = 1667 nm. Un ordre est complètement visible si pλmax ≤ a : p ≤ 1667/623,4 = 2,67 ⇒
ordres 1 et 2 complets (l'ordre 3 n'est visible que pour λ < 556 nm).
Recouvrement entre les ordres p et p + 1 si pλmax > (p + 1)λmin : ordre 1 : 623,4 < 2 × 407,8 = 815,6 : pas de recouvrement ;
ordre 2 : 2 × 623,4 = 1246,8 > 3 × 407,8 = 1223,4 : recouvrement à partir de l'ordre 2 (fin rouge de l'ordre 2 et début violet de l'ordre 3).
9. Pouvoir dispersif
9.1. Différentielle de sin((Dm + A)/2) = n sin(A/2) : (1/2)cos((Dm + A)/2) dDm = sin(A/2) dn, avec
dn/dλ = −2C2/λ3 et cos((Dm+A)/2) = √(1 − n2sin2(A/2)) :
PP = 4C2 sin(A/2) / (λ3 √(1 − np2 sin2(A/2))).
A.N. : np(0,5893 µm) = 1,652 + 0,0150/0,3473 ≈ 1,695 ; avec A = 60° : PP = (2C2/λ3)/√(1 − n2/4)
= 0,1466 µm−1/0,531 ≈ 0,276 rad·µm−1 ≈ 2,8·10−4 rad·nm−1.
n décroît quand λ augmente : la lumière la plus déviée par le prisme est le bleu-violet (λ ≈ 400 nm).
9.2. sin(Dm/2) = pn'λ/2 ⇒ (1/2)cos(Dm/2) dDm = (pn'/2) dλ :
PR = p n' / cos(Dm/2) = p n' / √(1 − (p n' λ/2)2), croissant avec n' et avec p (≈ pn', proportionnel aux deux).
A.N. : p = 1, n' = 600 mm−1 = 6·10−4 nm−1, pn'λ/2 = 0,177 : PR = 6·10−4/0,984 ≈ 6,1·10−4 rad·nm−1.
Le réseau dévie davantage les grandes longueurs d'onde : la lumière la plus déviée est le rouge.
9.3. Le réseau est ≈ 2,2 fois plus dispersif que le prisme dès l'ordre 1 (et davantage aux ordres supérieurs ou avec plus de traits/mm) ; sa dispersion est presque indépendante de λ (spectre quasi linéaire, étalonnage simple), alors que celle du prisme varie en 1/λ3 (rouge très resserré). En contrepartie, le réseau partage la lumière entre plusieurs ordres (moins lumineux) et ses ordres se recouvrent ; le prisme donne un spectre unique et lumineux.
10. Source bichromatique
10.1. Les deux positions symétriques de minimum de déviation sont de part et d'autre du faisceau direct : α = 2Dm ⇒ Dm = 41°23,5'. p = 2 : sin(Dm/2) = λ1/a ⇒ λ1 = a sin(α/4) = 1666,7 nm × sin(20°41,75') ≈ 1666,7 × 0,3534 ≈ 589,0 nm (raie D du sodium).
10.2. Schéma : source au sodium → fente → collimateur → réseau sur la platine, tourné au minimum de déviation → lunette visant l'ordre 2 ; on relève la position de la lunette d'un côté, puis on fait tourner le réseau pour obtenir le minimum symétrique de l'autre côté du faisceau direct ; l'angle entre les deux positions de la lunette est α.
10.3. La trace de λ2 est déviée de ΔD ≈ PRΔλ ; dans le plan focal de l'objectif de la lunette :
d = f'1 ΔD = f'1 · 2n'Δλ / cos(Dm/2).
Δλ = d cos(Dm/2)/(2n'f'1) = 0,10 × 0,9355 / (2 × 600 × 130) mm ≈ 6,0·10−7 mm ⇒ Δλ ≈ 0,60 nm et
λ2 ≈ 589,6 nm : le doublet jaune du sodium.
10.4. On retire l'oculaire et on place la plaque photographique ou la barrette CCD dans le plan focal image de l'objectif de la lunette (ou d'une lentille de focalisation), réseau fixe, éclairé en faisceau parallèle par le collimateur ; chaque radiation donne une raie à une position x liée à sa direction ; la barrette, reliée à un ordinateur, enregistre l'intensité en fonction de x. Étalonnage avec une lampe de raies connues (mercure).
11. Spectre d'une source inconnue
11.1. Comme en 10.1 : λexp = a sin(α'/4), a = 1666,7 nm :
| Radiation | α' | α'/4 | λexp |
|---|---|---|---|
| Rouge | 92°45' | 23°11,25' | ≈ 656 nm |
| Bleu-vert | 67°50' | 16°57,5' | ≈ 486 nm |
| Violet | 60°22' | 15°05,5' | ≈ 434 nm |
| Violet | 56°59' | 14°14,75' | ≈ 410 nm |
11.2. n est le nombre quantique principal : il numérote les niveaux d'énergie (quantifiés) de l'atome d'hydrogène, n = 1 étant l'état fondamental.
11.3. Série de Balmer : transitions n → 2 (n ≥ 3), photon d'énergie hc/λ = En − E2 : 1/λ = RH(1/22 − 1/n2), soit λ = 4n2/(RH(n2 − 4)).
11.4. λ est maximale pour n = 3 : λ = 36/(5RH) ≈ 656 nm ; minimale pour n → ∞ : λ∞ = 4/RH ≈ 364 nm. Les raies se resserrent vers cette limite : les premières sont dans le visible, la limite de série est dans le proche ultraviolet.
11.5. Avec RH = 1,0980·107 m−1 :
| Transition | λth |
|---|---|
| 3 → 2 (Hα) | ≈ 656 nm |
| 4 → 2 (Hβ) | ≈ 486 nm |
| 5 → 2 (Hγ) | ≈ 434 nm |
| 6 → 2 (Hδ) | ≈ 410 nm |
11.6. Les quatre longueurs d'onde mesurées coïncident avec les quatre premières raies de Balmer à mieux que 0,1 % : la lampe étudiée est une lampe spectrale à hydrogène.
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