Modèle de concours : CNC 2002 Mathématiques II (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs, concours TSI, session 2002 (durée 4 heures, 4 pages, calculatrice interdite). Thème : les matrices stochastiques (coefficients ≥ 0, somme de chaque ligne égale à 1), ensemble noté 𝒦_n : cas 2 × 2, convergence de (A^k) quand les coefficients sont > 0, localisation des valeurs propres. Voici une correction proposée.

💡 Deux outils reviennent sans cesse : (AY)_i est une moyenne pondérée des y_j (poids a_ij ≥ 0 de somme 1), et l'on travaille sur l'indice p où |x_p| est maximal.

1^ère partie — Un exemple et quelques résultats généraux

1. (a)

A ∈ 𝒦₂ ⇔ a ∈ [0, 1], b ∈ [0, 1], a₁₂ = 1 − a et a₂₂ = 1 − b, soit A = (a, 1 − a ; b, 1 − b).

1. (b)

A(1, 1)^t = (1, 1)^t : 1 est valeur propre. tr A = 1 + a − b, donc l'autre valeur propre est a − b (et det A = a − b). Comme a − b ≠ 1, les deux valeurs propres 1 et a − b sont distinctes : A est diagonalisable dans M₂(ℝ).

• E₁ = ℝ(1, 1) ;
• E_a−b : la 1^re ligne de A − (a − b)I donne bx + (1 − a)y = 0, d'où E_a−b = ℝ(1 − a, −b) (vecteur non nul, sinon a = 1, b = 0 et a − b = 1).

Avec P = (1, 1 − a ; 1, −b) (det P = a − b − 1 ≠ 0) : A = P·diag(1, a − b)·P⁻¹.

1. (c)

A^p = P·diag(1, (a − b)^p)·P⁻¹, avec a − b ∈ [−1, 1[.

• Si a − b = −1 (a = 0, b = 1) : A = (0, 1 ; 1, 0), A^p vaut alternativement I₂ et A : la suite diverge.
• Sinon |a − b| < 1, (a − b)^p → 0 et A^p → P·diag(1, 0)·P⁻¹. La 1^re ligne de P⁻¹ est (b, 1 − a)/(1 − a + b), d'où

lim A^p = (1/(1 − a + b))·(b, 1 − a ; b, 1 − a) (deux lignes égales, de somme 1).

2. (a)

(AB)_ij = Σ_k a_ikb_kj ≥ 0 et Σ_j(AB)_ij = Σ_k a_ikΣ_j b_kj = Σ_k a_ik = 1 : AB ∈ 𝒦_n.

2. (b)

Une limite de réels ≥ 0 est ≥ 0, et Σ_j b_ij = lim Σ_j a_ij^(k) = 1 (somme finie) : B ∈ 𝒦_n (𝒦_n est fermé).

2. (c)

• Chaque ligne d'une matrice orthogonale est unitaire : Σ_j a_ij² = 1 = Σ_j a_ij. Donc Σ_j a_ij(1 − a_ij) = 0, somme de termes ≥ 0 (0 ≤ a_ij ≤ 1) : chaque terme est nul, a_ij ∈ {0, 1}.

• Les coefficients d'une ligne valent 0 ou 1 et ont pour somme 1 : un seul est non nul, et il vaut 1.

• Si σ n'était pas injective, une colonne j ne contiendrait aucun 1 et serait nulle, ce qui est impossible pour une matrice inversible. σ est une injection de {1, …, n} dans lui-même, donc une bijection. Ainsi A = Σ_i E_i,σ(i) : la colonne j contient un 1 à la ligne σ⁻¹(j), c'est-à-dire que e_j = e_{σ(σ⁻¹(j))} est le σ⁻¹(j)-ième vecteur de la base (e_σ(1), …, e_σ(n)). Les colonnes de A sont donc les coordonnées des vecteurs de la base canonique dans cette base : A est la matrice de passage de (e_σ(1), …, e_σ(n)) à la base canonique (matrice de permutation).

2. (d)

r = 2. Si z₁ = 0 : z = z₂ (ou z = 1 si z₂ = 0), α₁ = 0, α₂ = 1. Si z₁ ≠ 0 : en élevant au carré, |z₁|² + |z₂|² + 2Re(z̄₁z₂) = |z₁|² + |z₂|² + 2|z̄₁z₂|, donc Re(z̄₁z₂) = |z̄₁z₂| : z̄₁z₂ = β′ ∈ ℝ₊, et z₂ = (β′/|z₁|²)z₁. On prend z = z₁, α₁ = 1, α₂ = β′/|z₁|² ≥ 0.

r → r + 1. Soit S = z₁ + … + z_r. Par l'inégalité triangulaire, |S + z_r+1| ≤ |S| + |z_r+1| ≤ Σ_j≤r+1|z_j| ; l'égalité aux extrémités impose |S| = Σ_j≤r|z_j| et |S + z_r+1| = |S| + |z_r+1|. Par hypothèse de récurrence, z_j = α_jz (j ≤ r), z ≠ 0, α_j ≥ 0.

• Si Σα_j > 0 : S = (Σα_j)z ≠ 0 et le cas r = 2 appliqué à (S, z_r+1) donne z_r+1 = βS = β(Σα_j)z avec β ≥ 0.
• Si tous les α_j sont nuls : z₁ = … = z_r = 0 ; on prend z = z_r+1 (ou 1 s'il est nul), α_r+1 = 1, les autres nuls.

D'où le résultat : il existe z ≠ 0 et des α_j ≥ 0 avec z_j = α_jz (les z_j sont « positivement colinéaires »).

2^ème partie — Étude d'une suite d'éléments de 𝒦_n (a_ij > 0)

Remarque utile : la ligne 1 contient n ≥ 2 coefficients ≥ w de somme 1, donc 0 < w ≤ 1/n ≤ 1/2.

1. (a)

(AY)_i = Σ_j a_ijy_j est une moyenne pondérée des y_j (poids ≥ 0 de somme 1) : m(Y) ≤ (AY)_i ≤ M(Y) pour tout i. En passant au min et au max : m(Y) ≤ m(AY) ≤ M(AY) ≤ M(Y).

1. (b)

En appliquant 1.a à A^kY : M(A^k+1Y) ≤ M(A^kY) et m(A^k+1Y) ≥ m(A^kY) : (M(A^kY)) est décroissante, (m(A^kY)) est croissante.

2. (a)

Soit j₀ tel que y_j0 = m(Y). Comme Σ_j a_ij = 1 : M(Y) − Σ_j a_ijy_j = Σ_j a_ij(M(Y) − y_j) ≥ a_ij0(M(Y) − m(Y)) ≥ w[M(Y) − m(Y)] (tous les termes sont ≥ 0). Donc (AY)_i ≤ M(Y) − w(M(Y) − m(Y)) pour tout i, soit M(AY) ≤ w m(Y) + (1 − w)M(Y).

2. (b)

Symétriquement, avec j₁ tel que y_j1 = M(Y) : Σ_j a_ijy_j − m(Y) = Σ_j a_ij(y_j − m(Y)) ≥ w(M(Y) − m(Y)), d'où m(AY) ≥ wM(Y) + (1 − w)m(Y).

2. (c)

En retranchant : M(AY) − m(AY) ≤ (1 − 2w)(M(Y) − m(Y)), et M(AY) − m(AY) ≥ 0 par définition : 0 ≤ M(AY) − m(AY) ≤ (1 − 2w)(M(Y) − m(Y)).

Par récurrence, 0 ≤ M(A^kY) − m(A^kY) ≤ (1 − 2w)^k(M(Y) − m(Y)) → 0, car 0 ≤ 1 − 2w < 1. Avec 1.b, les deux suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite ℓ(Y). Comme toutes les composantes de A^kY sont comprises entre m(A^kY) et M(A^kY), on en déduit que A^kY → ℓ(Y)·(1, …, 1)^t : toutes les composantes ont la même limite.

3. (a)

A^kℰ_j est la j-ième colonne de A^k : ses composantes sont a_1j^(k), …, a_nj^(k).

3. (b)

m(A^kℰ_j) ≤ a_ij^(k) ≤ M(A^kℰ_j) et les deux bornes tendent vers ℓ_j : par encadrement, a_ij^(k) → ℓ_j pour tout i.

3. (c)

Donc A^k converge vers la matrice L dont toutes les lignes sont égales à (ℓ₁, ℓ₂, …, ℓ_n) (L_ij = ℓ_j). Par 1^ère partie 2.a, A^k ∈ 𝒦_n pour tout k, et par 2.b, L ∈ 𝒦_n : ℓ_j ≥ 0 et ℓ₁ + … + ℓ_n = 1.

3^ème partie — Propriétés des matrices de 𝒦_n

A — 1.

La somme de chaque ligne vaut 1, donc Ae = e : 1 est valeur propre de u, de vecteur propre e = (1, …, 1).

A — 2.

u(x) = λx s'écrit λx_i = Σ_j a_ijx_j pour tout i. Pour i = p : |λ||x_p| ≤ Σ_j a_pj|x_j| ≤ |x_p|Σ_j a_pj = |x_p|. Comme x ≠ 0, |x_p| > 0, d'où |λ| ≤ 1.

A — 3. (a)

Ligne p : (λ − a_pp)x_p = Σ_j≠p a_pjx_j, donc |λ − a_pp||x_p| ≤ (Σ_j≠p a_pj)|x_p| = (1 − a_pp)|x_p|, soit |λ − a_pp| ≤ 1 − a_pp. Puis, comme a_pp ≥ m : |λ − m| ≤ |λ − a_pp| + (a_pp − m) ≤ 1 − a_pp + a_pp − m = 1 − m.

A — 3. (b)

Figure attendue : le cercle 𝒞(0, 1) et, à l'intérieur, le disque fermé D̄(m, 1 − m), de centre le réel m ∈ [0, 1] sur l'axe réel. Ce disque est contenu dans le disque unité (|z| ≤ |z − m| + m ≤ 1) et tangent intérieurement au cercle au seul point 1 ; son point le plus à gauche est 2m − 1. Toutes les valeurs propres de A sont dans ce disque.

A — 4.

Si |λ| = 1 : 1 = |λ| ≤ |λ − m| + m ≤ (1 − m) + m = 1, donc égalité dans l'inégalité triangulaire : λ − m et m (réel > 0) sont positivement colinéaires, λ − m = tm avec t ≥ 0. Ainsi λ = (1 + t)m est un réel > 0 de module 1 : λ = 1.

A — 5.

|0 − m| = m > 1 − m lorsque m > 1/2 : 0 ∉ D̄(m, 1 − m). Toute valeur propre étant dans ce disque (3.a), 0 n'est pas valeur propre : A est inversible.

B — 1. (a)

Les termes d'indice j ∉ I₀ sont nuls, donc Σ_j∈I0 a_i0jx_j = Σ_j a_i0jx_j = λx_i0. Or |λx_i0| = |x_i0| > 0 (x ≠ 0) : la somme est non nulle, donc I₀ ≠ ∅.

B — 1. (b)

|x_i0| = |Σ_I0 a_i0jx_j| ≤ Σ_I0 a_i0j|x_j| ≤ |x_i0|Σ_I0 a_i0j ≤ |x_i0|Σ_j a_i0j = |x_i0|. Toutes ces inégalités sont des égalités ; en divisant par |x_i0| > 0 : Σ_j∈I0 a_i0j = 1.

B — 1. (c)

La même chaîne d'égalités donne |Σ_I0 a_i0jx_j| = Σ_I0 |a_i0jx_j| = |x_i0|.

• L'égalité Σ_I0 a_i0j|x_j| = |x_i0|Σ_I0 a_i0j s'écrit Σ_I0 a_i0j(|x_i0| − |x_j|) = 0 : termes ≥ 0 et a_i0j > 0 sur I₀, donc |x_j| = |x_i0| pour j ∈ I₀.

• Les complexes z_j = a_i0jx_j (j ∈ I₀) vérifient |Σz_j| = Σ|z_j| : par la 1^ère partie 2.d (évident si I₀ a un seul élément), il existe z ∈ ℂ* et des α_j ≥ 0 tels que a_i0jx_j = α_jz.

B — 1. (d)

Pour j ∈ I₀, a_i0jx_j ≠ 0 donc α_j > 0 et x_j = (α_j/a_i0j)z : tous les x_j (j ∈ I₀) ont le même argument que z, et le même module |x_i0| (1.c). Donc x_j = x_k pour tous j, k ∈ I₀. Soit i₁ ∈ I₀ ; par 1.a et 1.b : λx_i0 = (Σ_I0 a_i0j)x_i1, soit λx_i0 = x_i1, avec de plus |x_i1| = max|x_i|.

B — 2. (a)

On pose j₀ = i₀. Si j_k−1 est construit avec |x_jk−1| = max|x_i|, on applique 1 en remplaçant i₀ par j_k−1 (seule la propriété de maximalité a servi) : on obtient j_k avec λx_jk−1 = x_jk et |x_jk| = max|x_i|. Par récurrence, on construit (j₀, …, j_n).

B — 2. (b)

Les n + 1 indices j₀, …, j_n sont dans un ensemble à n éléments : il existe s < t avec j_s = j_t (principe des tiroirs). Par 2.a, x_jt = λ^t−sx_js, et x_js ≠ 0 : λ^t−s = 1. q = t − s ∈ {1, …, n} convient : toute valeur propre de module 1 est une racine q-ième de l'unité.

B — 3.

Soit x un vecteur propre associé à λ = 1 (|λ| = 1). Comme tous les a_i0j sont > 0, I₀ = {j ; x_j ≠ 0}. Par 1.b, Σ_j∈I0 a_i0j = 1 = Σ_j a_i0j, donc Σ_j∉I0 a_i0j = 0, ce qui impose (coefficients > 0) I₀ = {1, …, n}. Par 1.d, toutes les composantes de x sont égales : x ∈ ℂe. Réciproquement e est vecteur propre (A.1). Donc l'espace propre associé à 1 est ℂ·e (valeur propre de multiplicité géométrique 1).