Modèle de concours : CNC 2002 Mathématiques I (TSI) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2002, filière TSI, concours d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Problème d'analyse : transformation d'Abel, étude de la série Σ sin(nx)/n, majoration uniforme de ses sommes partielles et calcul de Σ b_n/n pour une fonction continue. Correction proposée :

I. Transformation d'Abel

1.(a)

B₀ = Σ_k=0⁰ b_k = b₀ et, pour n ≥ 1, B_n − B_n−1 = Σ_k=0ⁿ b_k − Σ_k=0ⁿ⁻¹ b_k = b_n.

1.(b)

Σ_k=0ⁿ a_kb_k = a₀B₀ + Σ_k=1ⁿ a_k(B_k − B_k−1) = Σ_k=0ⁿ a_kB_k − Σ_k=0ⁿ⁻¹ a_k+1B_k (changement d'indice dans la 2^e somme), d'où Σ_k=0ⁿ a_kb_k = a_nB_n + Σ_k=0ⁿ⁻¹ (a_k − a_k+1)B_k.

2.(a)

Si |B_n| ≤ M pour tout n, |a_nB_n| ≤ M|a_n| → 0 : a_nB_n → 0.

2.(b)

|(a_n − a_n+1)B_n| ≤ M|a_n − a_n+1|, terme d'une série convergente : Σ(a_n − a_n+1)B_n est absolument convergente, donc convergente. Dans 1.(b), a_nB_n → 0 et la somme partielle Σ_k<n(a_k − a_k+1)B_k converge : les sommes partielles de Σ a_nb_n convergent, la série Σ a_nb_n converge et Σ_n=0^∞ a_nb_n = Σ_n=0^∞ (a_n − a_n+1)B_n.

3.

Si (a_n) décroît vers 0, a_n − a_n+1 ≥ 0 et Σ_k=0ⁿ(a_k − a_k+1) = a₀ − a_n+1 → a₀ : la série Σ(a_n − a_n+1), à termes positifs, converge donc absolument. On conclut par 2.(b) : Σ a_nb_n converge.

4. Critère des séries alternées

Énoncé (critère spécial de Leibniz) : si (a_n) est une suite réelle décroissante de limite nulle, la série Σ(−1)ⁿa_n converge.

Preuve : on prend b_n = (−1)ⁿ ; alors B_n = 1 si n pair, 0 si n impair : (B_n) est bornée, et la question 3 s'applique.

💡 On peut ajouter la majoration classique du reste : |Σ_k≥n+1(−1)^ka_k| ≤ a_n+1 (suites adjacentes des sommes partielles paires et impaires).

II. Application à une série trigonométrique

1. Formules pour C_n et S_n

Pour x ∉ 2πℤ, e^ix ≠ 1 et C_n + iS_n = Σ_k=1ⁿ (e^ix)^k = e^ix(1 − e^inx)/(1 − e^ix) (somme géométrique).

Avec 1 − e^iα = −2i sin(α/2)e^iα/2 : C_n + iS_n = e^i(n+1)x/2 sin(nx/2)/sin(x/2). Partie imaginaire : S_n(x) = sin(nx/2) sin((n+1)x/2)/sin(x/2). Partie réelle : C_n = cos((n+1)x/2) sin(nx/2)/sin(x/2), et comme 2cos((n+1)x/2)sin(nx/2) = sin((n+½)x) − sin(x/2) :

½ + C_n(x) = sin((n+½)x)/(2 sin(x/2)).

2. Convergence de Σ sin(nx)/n

Pour x ∉ 2πℤ, |S_n(x)| ≤ 1/|sin(x/2)| : (S_n(x)) est bornée. On applique I.3 avec a_n = 1/n (décroissante, de limite nulle) et b_n = sin(nx) (sommes partielles S_n bornées) : la série converge. Pour x ∈ 2πℤ, tous les termes sont nuls. Donc Σ sin(nx)/n converge pour tout x réel.

3.(a)

Chaque terme sin(nx)/n est impair et 2π-périodique en x ; par passage à la limite, f est impaire et 2π-périodique.

3.(b)

Pour t ∈ [x, π] ⊂ ]0, 2π[, C_n(t) = sin((n+½)t)/(2 sin(t/2)) − ½. Or ∫_x^π cos(kt)dt = [sin(kt)/k]_x^π = −sin(kx)/k, donc

Σ_k=1ⁿ sin(kx)/k = −∫_x^π C_n(t)dt = ∫_x^π ½dt − ½∫_x^π sin((n+½)t)/sin(t/2)dt = (π − x)/2 − ½∫_x^π sin((n+½)t)/sin(t/2) dt.

4.(a)

Pour t ∈ [x, π], t/2 ∈ [x/2, π/2] et sin(t/2) ≥ sin(x/2) > 0 : h est C¹ (quotient), h′(t) = −cos(t/2)/(2sin²(t/2)) et |h′(t)| ≤ 1/(2sin²(x/2)) : h′ est bornée.

4.(b)

Une primitive de sin((n+½)t) est −2cos((n+½)t)/(2n+1). Par parties :

∫_x^π h(t)sin((n+½)t)dt = [−2h(t)cos((n+½)t)/(2n+1)]_x^π + (2/(2n+1))∫_x^π h′(t)cos((n+½)t)dt.

Comme cos((n+½)π) = 0, le crochet vaut 2cos((n+½)x)/((2n+1)sin(x/2)), d'où la formule demandée.

4.(c)

|∫_x^π h(t)sin((n+½)t)dt| ≤ (2/(2n+1)) [1/sin(x/2) + (π − x)/(2sin²(x/2))] ≤ (2/(2n+1)) [1/sin(x/2) + π/(2sin²(x/2))], majorant qui tend vers 0 : l'intégrale tend vers 0 quand n → +∞.

4.(d) f(x) = (π − x)/2 sur ]0, 2π[

• x ∈ ]0, π[ : en passant à la limite dans 3.(b) avec 4.(c), f(x) = (π − x)/2.
• x = π : f(π) = Σ sin(nπ)/n = 0 = (π − π)/2.
• x ∈ ]π, 2π[ : 2π − x ∈ ]0, π[ et, par imparité et périodicité, f(x) = −f(2π − x) = −(π − (2π − x))/2 = (π − x)/2.

Donc f(x) = (π − x)/2 pour tout x ∈ ]0, 2π[ (et f(0) = 0).

III. Majoration uniforme des sommes partielles

1.(a)

Pour m + 1 ≤ p ≤ n, sin(px) = S_p(x) − S_p−1(x) (I.1.(a)). Donc

Σ_p=m+1ⁿ sin(px)/p = Σ_p=m+1ⁿ S_p/p − Σ_p=mⁿ⁻¹ S_p/(p+1) = S_n(x)/n + Σ_p=m+1ⁿ⁻¹ S_p(x)(1/p − 1/(p+1)) − S_m(x)/(m+1).

1.(b)

Pour x ∈ ]0, 2π[, sin(x/2) > 0 et |S_p(x)| ≤ 1/sin(x/2) (II.1). Comme 1/p − 1/(p+1) > 0, la somme télescopique donne

|Σ_p=m+1ⁿ sin(px)/p| ≤ (1/sin(x/2)) [1/n + (1/(m+1) − 1/n) + 1/(m+1)] = 2/((m+1)sin(x/2)).

La série converge (II.2) : en faisant n → +∞, |Σ_p=m+1^+∞ sin(px)/p| ≤ 2/((m+1)sin(x/2)).

2.(a)

Pour 1 ≤ p ≤ k, 0 < px ≤ kx ≤ π (car k ≤ π/x), donc sin(px) ≥ 0 ; et sin(px) ≤ px. D'où 0 ≤ Σ_p=1^k sin(px)/p ≤ Σ_p=1^k x = kx ≤ π.

2.(b)

φ(θ) = sin θ − 2θ/π est concave sur [0, π/2] (φ″ = −sin θ ≤ 0) et φ(0) = φ(π/2) = 0 : une fonction concave est au-dessus de sa corde, donc φ ≥ 0, soit sin θ ≥ 2θ/π.

2.(c)

On applique 1.(b) avec m = k (1 ≤ k < n) : |Σ_p=k+1ⁿ| ≤ 2/((k+1)sin(x/2)). Or x/2 ∈ ]0, π/2], donc sin(x/2) ≥ x/π (2.(b)), et k + 1 > π/x (définition de la partie entière), donc (k+1)sin(x/2) ≥ (k+1)x/π > 1. D'où |Σ_p=k+1ⁿ sin(px)/p| ≤ 2.

3. Majoration uniforme par 2 + π

T_n(x) = Σ_p=1ⁿ sin(px)/p est impaire et 2π-périodique : il suffit de traiter x ∈ [0, π]. Pour x = 0, T_n = 0. Pour x ∈ ]0, π] : si n ≤ k, les termes sont positifs et 0 ≤ T_n(x) ≤ T_k(x) ≤ π (2.(a)) ; si n ≥ k + 1, |T_n(x)| ≤ |T_k(x)| + |Σ_p=k+1ⁿ| ≤ π + 2. Donc |T_n(x)| ≤ 2 + π pour tout x réel et tout n ≥ 1.

IV. Calcul de la somme d'une série

1. Convergence de Σ b_n²

g est continue et 2π-périodique ; par l'inégalité de Bessel (ou l'égalité de Parseval), a₀²/2 + Σ_n≥1(a_n² + b_n²) ≤ (1/π)∫₀^2π g(t)²dt : la série à termes positifs Σ b_n² converge.

2. Convergence absolue de Σ b_n/n

|b_n/n| ≤ ½(b_n² + 1/n²) (car 2|uv| ≤ u² + v²), terme d'une série convergente : Σ b_n/n converge absolument.

3.(a)

Σ_p=1ⁿ b_p/p = Σ_p=1ⁿ (1/π)∫₀^2π g(t)sin(pt)/p dt = (1/π)∫₀^2π g(t)(Σ_p=1ⁿ sin(pt)/p)dt (linéarité de l'intégrale, somme finie).

3.(b)

f est bornée et continue par morceaux sur [0, 2π] (f(t) = (π − t)/2 sur ]0, 2π[, f(0) = f(2π) = 0), donc fg est intégrable. En soustrayant 3.(a) à (1/π)∫₀^2π fg, par linéarité : (1/π)∫₀^2π f g − Σ_p=1ⁿ b_p/p = (1/π)∫₀^2π (f(t) − Σ_p=1ⁿ sin(pt)/p) g(t)dt.

4.(a) Les deux bords

Sur [0, 2π], |f(t)| ≤ π/2 et, par III.3, |Σ_p≤n sin(pt)/p| ≤ 2 + π ; |g| ≤ M. L'intégrande est donc majoré par (2 + π + π/2)M, et

(1/π)|∫₀^δ …| ≤ (2 + π + π/2)δM/π < ε/3 ; de même sur [2π − δ, 2π].

4.(b) La partie centrale

Pour t ∈ [δ, 2π − δ] ⊂ ]0, 2π[, f(t) − Σ_p=1ⁿ sin(pt)/p = Σ_p=n+1^+∞ sin(pt)/p (II.4.(d)), de module ≤ 2/((n+1)sin(t/2)) (III.1.(b) avec m = n). Or t/2 ∈ [δ/2, π − δ/2], donc sin(t/2) ≥ sin(δ/2). Avec |g| ≤ M et une longueur d'intervalle ≤ 2π :

(1/π)|∫_δ^2π−δ …| ≤ (1/π) · 2π · 2M/((n+1)sin(δ/2)) = 4M/((n+1)sin(δ/2)).

4.(c) Conclusion

Soit ε > 0 et δ choisi comme en 4. Il existe n₀ tel que 4M/((n+1)sin(δ/2)) < ε/3 pour n ≥ n₀. Par 3.(b), 4.(a) et 4.(b) (relation de Chasles sur les trois intervalles), |(1/π)∫₀^2π fg − Σ_p=1ⁿ b_p/p| < ε pour n ≥ n₀. Donc

Σ_n=1^+∞ b_n/n = (1/π)∫₀^2π f(t)g(t)dt = (1/2π)∫₀^2π (π − t)g(t)dt.