Modèle de concours : CNC 2019 Physique I (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

° On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les [références des questions

abordées.

* Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve sont
relativement indépendantes entre elles.

Mission BepiColombo

De par sa position relativement basse par rapport à l'horizon, et bien que
visible, Mercure reste la plus mystérieuse des planètes telluriques. Son orbite
particulière et sa petite dimension rendent son observation difficile. Malgré deux
grandes missions déjà réalisées par Mariner 10 (dans les années 1970) et Messenger
(dans les années 2000), qui ont permis d'apporter de nombreuses observations sur
sa surface, certaines caractéristiques de Mercure demeurent encore inconnues.

La mission BepiColombo (figure 1),
appelée ainsi en hommage au mathématicien
italien G. COLOMBO qui calcula la trajectoire de
la sonde Mariner 10, est la cinquième pierre
angulaire du programme Cosmic Vision de
l’ESA (European Space Agency) en coopération
avec le JAXA (Japan Aerospace Exploration
Agency). Elle permettra l’étude de la planète
Mercure et de son environnement grâce à
deux sondes, MMO (Mercury Magnetospheric
Orbiter) et MPO (Mercury Polar Orbiter), mises
en orbite autour de la planète.

Figure 1 : Illustration d'artiste de la
sonde BepiColombo, propulsé par
deux moteurs ioniques.

Lancée le 19 octobre 2018 par le lanceur Européen Ariane 5, la sonde
arriverait autour de Mercure en 2025. La sonde MPO, sur une trajectoire circulaire,
étudiera la surface et l’intérieur de la planète ainsi que l’exosphère. La sonde MMO,
sur une trajectoire elliptique, sera dédiée à l’étude de la magnétosphère et de
l’exosphère.

Ce problème propose d’étudier de manière simplifiée quelques aspects relatifs
à la mission BepiColombo.

La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Epreuve de Physique 1 1/7

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Partie 1

Mouvement dans le champ gravitationnel d’une planète

On assimile une planète à une distribution de masse sphérique homogène de
centre O,, de rayon R, et de masse M, répartie uniformément en volume.

On se place dans le référentiel (R,), d’origine O, et en translation par rapport
au référentiel de Copernic. On suppose (N,) galiléen et on ne tiendra compte que de
l’attraction de la planète.

1. En justifiant soigneusement, montrer que le champ gravitationnel G(M) créé
par cette distribution en tout point M de l’espace repéré par ses coordonnées
sphériques (r,0,p) est donné par :

où G est la constante de gravitation universelle et M. (r) la masse qui se

trouve à l'intérieur de la sphère de centre O, et de rayon r. e, est un vecteur

unitaire de la base (er,e0,ey ) associée à ces coordonnées sphériques.

2. Achever la détermination de l'expression du champ gravitationnel G(M) créé

par la planète au point M de l’espace.
On affecte le point M , situé à la distance r (r›R,) du centre O,, d’une masse

m que l’on assimile à un point matériel.

3. Exprimer vectoriellement la force F exercée par la planète sur le point
matériel M .
4. La seule force F qui s’exerce sur M est une force dite centrale. Justifier

l’appellation. Quelle en est la conséquence sur la trajectoire du point M ?
Préciser la surface dans laquelle se fait le mouvement.

5. Montrer que la force F dérive d’une énergie potentielle gravitationnelle E,
dont on donnera l'expression en fonction de G, M,, m et r. On prendra
l'énergie potentielle gravitationnelle nulle quand le point matériel est
infiniment éloigné de la planète.

6. Etablir l’expression générale de l’énergie mécanique E, du point M en
fonction de G, M,, m et r et de la vitesse v de M dans (R,).

7. En déduire la vitesse de libération (ou vitesse d’ « évasion ») du point M à la

surface de la planète.
On considère que le point matériel M est en orbite circulaire de centre O,, de

rayon ‏ن7‎ et qu’il effectue un tour complet de la planète en une durée ٠

8. Montrer que le mouvement circulaire de M est nécessairement uniforme.
9. Établir l’expression littérale de la vitesse vy, de M en fonction de M,, 7 et G.

Retrouver la troisième loi de Kepler.
10. Exprimer l’énergie cinétique E, de M en fonction de G, M,,m etr,.

Epreuve de Physique 1 2/7

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11.  Déduire une relation entre l’énergie potentielle de gravitation E, et ‏رط‎ et une

de M et E,. Commenter le signe de E

autre entre l’énergie mécanique E ‏و‎

Partie 2

Mission BepiColombo

1. Caractéristiques d’une trajectoire elliptique
On considère que le point matériel M de masse m est en orbite elliptique dont

la planète de centre O, est un foyer et qu’il effectue un tour complet de la planète en

une durée 7. L’équation de la trajectoire elliptique du point matériel soumis à la
seule force de gravitation exercée par la planète est donnée dans le cas général par :
1+ecos(6)

Le centre O, est l’origine des coordonnées polaires adoptées pour décrire le
mouvement de M ; p et e sont respectivement le paramètre et l’excentricité de
l’ellipse.

1.1. Réaliser un schéma de la trajectoire de M autour de la planète et y faire
figurer r, 0, le centre O,, le péricentre P, et l’apocentre A,. Préciser, sur ce
schéma, le demi-grand axe de l’ellipse noté a, les vecteurs vitesses v», et
va de M respectivement en P, et A, ainsi que les positions respectives
r, et r, de M par rapport à O,.

1.2. Établir une relation entre les grandeurs Vas Vas À, CH +

1.3. Déterminer r,, et ‏يوم‎ en fonction de ‏م‎ et e.

1.4. En considérant l'expression de l’énergie mécanique de M en P, et A, montrer

= GmM,

me 2a

1.5. Déduire de ce qui précède les vitesses ‏م‎ et v, du point matériel

respectivement au péricentre et à l’apocentre de la trajectoire elliptique.
2. Voyage interplanétaire de BepiColombo

On se propose de faire l’étude de l’envoi du vaisseau BepiColombo sur
Mercure. Afin de simplifier les calculs, on fait les hypothèses suivantes :

- On assimile le vaisseau à un point matériel de masse 71 ;

—- On considère que Mercure et la Terre décrivent autour du Soleil des
trajectoires circulaires respectivement de rayon r, =46.10°km et de rayon
Fr, =152.10°km.

- Pour étudier simplement une trajectoire entre deux planètes, on admet
qu’il existe autour de chaque planète (ici la Terre puis Mercure) une zone
d'influence gravitationnelle où la seule attraction gravitationnelle à prendre
en compte est celle de la planète. Lorsque le vaisseau quitte la zone
d'influence d’une planète, on suppose qu’il subit uniquement l’attraction
gravitationnelle du Soleil.

Epreuve de Physique 1 3/7

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Pour aller de la Terre à Mercure, la solution la plus économique (en termes de
carburant) est donnée par l’orbite de HOHMANN. Cette ellipse de transfert, dont le
Soleil est un foyer, est tangente en son aphélie A à l’orbite de la Terre et en son
périhélie P à l’orbite de Mercure. On la considère coplanaire aux trajectoires
circulaires de la Terre et de Mercure autour du Soleil. Cette solution implique deux
impulsions instantanées ou presque (grâce à des moteurs qui fournissent une

grande poussée très rapidement) qui se traduisent en des variations de vitesse Av,
et Av, pour d’abord quitter l’orbite terrestre et ensuite injecter le vaisseau dans
l’orbite mercurienne.

Pour l’étude de l’ellipse de transfert, on considère le vaisseau sur une orbite
d’attente circulaire basse au voisinage de la Terre. On se place dans le référentiel
héliocentrique (N,) supposé galiléen et on ne tient compte que de l’attraction
gravitationnelle du Soleil.

2.1. Définir le référentiel héliocentrique. À quelle(s) condition(s) peut-on le
considérer galiléen ?

2.2. Réaliser un schéma de la trajectoire du vaisseau autour du Soleil et y faire
figurer les trajectoires de la Terre et de Mercure autour du Soleil.

2.3. Exprimer la vitesse v(r) du vaisseau spatial placé sur une orbite de demi-
grand axe a autour du Soleil en fonction de sa distance r au centre du Soleil.

2.4. Expliquer en quelques mots pourquoi il est plus économique de choisir une
orbite de HOHMANN plutôt qu’une orbite de transfert sécante à l’orbite de

Mercure.

2.5. À quelles distances du Soleil, notées d, , et d, ,, se trouvent respectivement le

périhélie et l’aphélie de l’orbite de transfert de HOHMANN entre la Terre et
Mercure ? Calculer le demi-grand axe a, , ainsi que l’excentricité e, de l’ellipse
de HOHMANN.

2.6. Deux impulsions sont nécessaires pour effectuer le transfert d’orbites. Une
première impulsion au point A engendre une variation de vitesse

-v,. Ceci permet au vaisseau de passer de sa trajectoire circulaire

Av, = VHA

initiale à l’ellipse de HOHMANN. Une seconde impulsion, associée à une
0 0

variation de vitesse Av, ‏ريرح‎ —v,, au point P permet au vaisseau de passer de

l’orbite de HOHMANN vers l’orbite de Mercure. v, , ‏نو ديرلا‎ €t ‏من‎ sont les
vitesse respectivement sur l’orbite de la Terre, l’orbite de Mercure, à l’aphélie

et au périhélie de l’orbite de HOHMANN.
Montrer que les expressions de Av, et de Av, sont données par :

١ Fr a 17 a

2.7. Exprimer et calculer la durée théorique (en jours) du transfert Ar de la

Terre à Mercure (entre A et P). On pourra utiliser la troisième loi de Kepler.

2.8. La croisière BepiColombo est longue (6 ans) car elle s'effectuera à l'aide de
l'assistance gravitationnelle autour de la Terre, de Vénus et de Mercure.
Expliquer en quelques mots ce qu'est l’assistance gravitationnelle et dire quel
est son intérêt.

Epreuve de Physique 1 4/7

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3. Motorisation de la sonde BepiColombo

Afin d'optimiser au mieux la taille et le poids de la sonde BepiColombo, il a
été décidé d'utiliser un moteur ionique (figure 2) fonctionnant grâce à l’ionisation du
xénon gazeux par bombardement électronique dans la chambre du propulseur
ionique. Les ions Xe" du xénon de charge q, et de masse m, pénètrent dans la
chambre d’accélération en x=0, avec une vitesse que l’on considèrera nulle. Ils sont
ensuite accélérés entre une grille intérieure RE ; pe ‏الات‎
‎(G;) chargée positivement de potentiel

Canon à

V,= 0 et une grille extérieure (G,) chargée (Cathode) 1
négativement de potentiel V-=-U,‹0 |

Reservoir
(figure 3). Les deux grilles distantes de d ‏اا‎
‎sont planes de surface S. Les ions sont

caractérisés par la densité volumique n,(x),
le potentiel électrique V(x) et la vitesse
u;(x) en x. La force d'accélération des ions

à très haute vitesse est convertie en une
force de poussée du vaisseau spatial

donnée par: F=-D,u, . u, est la vitesse

d’éjection des ions en x=d par rapport à la j Figure 2 : Schéma du moteur ionique
sonde et D, est le débit massique de Craie) 24

matière éjectée à travers la section S. 45 #

On se place dans le cadre de la à 5
mécanique non relativiste et on travaille 0 pe
dans un référentiel galiléen. mu À et ‏ته‎
‎3.1. Vérifier l’homogénéité de | ‏مسا‎ À des ions ; des ions

l’expression de la force de poussée. ‏ال ا ا‎

Figure 3 : Principe du moteur ionique
3.2. Etablir l’expression de la vitesse u,(x) des ions à l’abscisse x.

3.3. Exprimer le débit massique D, en fonction de u, (x), n,(x), m, et S.
dx” 7

3.4. Justifier que

On souhaite déterminer des ordres de grandeurs des caractéristiques du
moteur ionique. Pour cela, on suppose que le potentiel vérifie l’hypothèse :

dé Ua ‏أ‎
‎3.5. En déduire l’expression du débit massique D, en fonction de &, ‏ونا‎ q,, M,, d
et S.
3.6. Exprimer F= 7 en fonction de ‏ء‎ U,, d et ٠

3.7. En négligeant la force de pesanteur et la force de frottement due à
l’atmosphère, montrer que la puissance électrique minimale que doit fournir le
générateur est donnée par :

Epreuve de Physique I 5/7

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x E,SUS* 24,
8 d’ m,

3.8. Le césium ou du sodium, qui étaient également des carburants potentiels pour
les moteurs ioniques, n’ont plus cet avantage. Ils ont été remplacés par le
xénon. Expliquer pourquoi.

3.9. À la sortie de la chambre d’accélération, un canon à électrons extérieur appelé
neutraliseur, transforme les ions xénon en atomes de xénon. Expliquer
pourquoi le gaz éjecté doit être électriquement neutre.

4 Sonde MPO

4.1. Trajectoire
La sonde MPO (figure 4), assimilée à un point

matériel de masse mMypp=400kg et soumise

uniquement à l'attraction de Mercure, décrit une
trajectoire circulaire de rayon r, =3,4.10*km. Son
mouvement est étudié dans le référentiel

« mercurocentrique » que l’on suppose galiléen. On

suppose que la planète Mercure est à répartition

sphérique homogène de masse M, , de centre O, .

Figure 4 Sonde MPO, vu

d’artiste
4.1.1. En faisant l’analogie avec le référentiel géocentrique, définir le référentiel
« mercurocentrique ».
4.1.2. Calculer la période de révolution ‏من‎ (en heure) de la sonde MPO

autour de Mercure.

4.1.3. La sonde MPO est mise sur une orbite polaire, c'est-à-dire sur une orbite
dont le plan contient l'axe polaire de Mercure. Quel est l'intérêt de cette
situation pour cette sonde ?

4.1.4. Pourquoi à chaque révolution de la sonde, la zone de la surface de
Mercure observée n’est pas la même ?

4.2. Télescope de Schmidt-Cassegrain, prise d’image
On étudie la prise de photographies numériques sur un capteur électronique

photosensible par le télescope Schmidt-Cassegrain depuis la sonde. On se place

dans le cadre de l’optique géométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace
entre Mercure et la sonde sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons

lumineux.
4.2.1. Expliquer ce qu’est l’approximation de l’optique géométrique.
4.2.2. Quelles sont les conditions qui permettent de réaliser l’approximation de

Gauss 2 Citer les conséquences de cette approximation sur le stigmatisme et
l’aplanétisme.

4.2.3. Le télescope Schmidt-Cassegrain est un dispositif optique de type
catadioptrique, composé de deux miroirs l’un sphérique, l’autre hyperbolique
et d'une lentille, appelée lame de Schmidt, de correction des aberrations
engendrées par le miroir primaire. On modélise le télescope Schmidt-
Cassegrain embarqué dans la sonde par une lentille sphérique mince
convergente )# ( de distance focale image f'=50mm. La sonde à une orbite
circulaire d’altitude moyenne A,po =950km . L’atmosphère de Mercure, quasi

inexistante, sera négligée pour la suite du problème.

Epreuve de Physique 1 6/7

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Parmi les nombreux instruments qui ‏لكي‎ Ligne de pixels
équiperont la sonde spatiale, on trouve un ›")
imageur spectrale dans l’infrarouge thermique
fonctionnant en mode « push broom » (Figure S).

Les images réalisées par la sonde sont recueillies

sur un capteur constitué d’une seule ligne de › Télescope
N, =120 pixels carrés, de taille 6=35um (Figure 6). /
détecteur 84 \ ;
\ ›‹, \ Déplacement de la
ES È 7 y = sonde sur son orbite

› Pa . À B
Figure 6 PU dé

4.2.3.1. De conception proche du télescope de ‏الفا‎ A. imagée

type Cassegrain, le télescope Schmidt- NX

Cassegrain présente toutefois quelques
particularités notables. En citer deux.

4.2.3.2. Où doit-on placer le capteur ? Figure 5 : Principe de l'imagerie

par sonde « Push-broom »

4.2.3.3. Dessiner le schéma des rayons lumineux donnant l’image de la ligne
imagée à la surface de Mercure par le télescope.

4.2.3.4. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les dimensions / et
L= AB de la ligne imagée rectangulaire à la surface de Mercure par la ligne de
pixel.

4.2.3.5. Déterminer la résolution spatiale du télescope, définie par la dimension
du plus petit objet sur Mercure détectable.

4.2.4. La surface de mercure est considérée comme un corps à la température
T =440K pour une longueur d’onde centrale de détection À =10um.

4.2.4.1. Le rayonnement émis par la planète Mercure vérifie-t-il la loi de Wien 2

4.2.4.2. Sachant que le mouvement de la sonde BepiColombo sur son orbite
entraîne un déplacement de la ligne de vue à une vitesse v=2,6km.s", calculer
le temps T durant lequel est vue une zone donnée de la surface par un pixel.

4.2.4.3. On estime que la puissance © reçu par un pixel au centre du
détecteur observant la surface de Mercure dans la bande spectrale du
détecteur est © =510pW . Calculer le nombre N de photons reçus par un

photon

pixel provenant d’une zone donnée de la surface de Mercure.

Données :
—- Masse de la planète Mercure : M, =3,30.10”kg.
— Rayon de la planète Mercure : R, =2,44.10*km.
- Masse de la planète Terre : M, =6,0.10*kg.
— Rayon de la planète Terre : R, =6,4.10*km.
- Masse du Soleil : M, =1,9.10"kg.
—- Constante de gravitation universelle : G=6,7.10"'S/.
— Vitesse de la lumière dans le vide : c =3.10* ms”.
- Constante de Planck : h=6,63.10* ‏فل‎

Epreuve de Physique 1 7/7

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