Modèle de concours : CNC 2003 Physique I (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère Chargé de l’Enseignement Ministère de l'Enseignement
Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2003

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Énoncé de l’épreuve CNC physique I MP session 2003

Autour d’exo-planètes

Depuis la découverte en 1995 par M. MAYOR et D. QUELOZ de la première exo-planète ou planète
extra-solaire, le nombre de celles-ci n’a cessé d’augmenter pour dépasser actuellement la centaine. Au
delà du rêve qu’apporterait la découverte d’une autre ” terre ”, la recherche d’exo-planète nécessite
la mise à contribution de différentes avancées scientifiques et technologiques. Elle permettra certai-
nement une évolution des idées actuelles sur la structure de l'Univers. Ce problème aborde quelques
aspects relatifs. aux propriétés orbitales d’un système composé d’une étoile et d’une planète, puis
les conditions de visibilité d’une exo-planète. 11 passe aussi en revue les méthodes indirectes de leur
détection avant d’aborder les techniques qui pourraient servir pour leur observation directe et qui
sont encore à l’étude.

Données utiles et notations

— constante de PLANCK : h = —6,63 10-45

— constante de BOLTZMAN : ‏وم‎ = 1,38 10-5J.K — 1
— célérité la lumière dans le vide : co = 3 108m.s7"

- constante de gravitation universelle : G = 6,67 107‘ kg7}.m*.s7?
— unité astronomique : 1 UA = 1,5 10

- année lumière : 1 AL = 9,5 0

- température de surface du Soleil : Te = 6 76

- rayon du Soleil : Re = 7,0 10$m

- rayon de la Terre : R7 = 6,4 0

— distance Terre - Soleil : TS = 4

- rayon de Jupiter : R, = 7,1 10/m

- la fonction sinus cardinal , sinc , est définie par sinc(x) = *2=

2
- valeurs approchées M; des premiers maxima de f(x) = sinc*(rx) ainsi que leurs abscisses 7; :

x; | O0 | 143 | 246 | 347 | 448 |

sinc?(xæ)

— valeurs approchées M; des premiers maxima de g(x) = 1-2

ainsi que leurs abscisses r; :

x; | 0 | 236 | 341 | 443 | 544

- cosûx = 2cos2x — 1

187 partie :
Quelques caractéristiques orbitales

La détection d’une exo-planète P en orbite autour d’une étoile E passe souvent par la mise
en évidence de la perturbation du mouvement de l'étoile due à la présence de la planète P.
Pour simplifier, on considère que le système {F, P} constitué de l’étoile E,de masse mx, et

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de la planète P, de masse mp, est isolé. Le problème est ainsi ramené à l’étude classique d’un
problème à deux corps.

On définit alors un mobile fictif F par GF = EP , © étant le centre d'inertie du système {F,P}
, et on lui affecte la masse réduite u = de {F, P} donnée par ‏بر‎ = 222.

On rappelle que, dans ce cas, les grandeurs cinétiques (énergie cinétique et moment cinétique)
du système {F, P} se confondent avec celles du mobile fictif F. D'autre part, tout se passe
comme si le mobile fictif F était soumis dans le référentiel barycentrique *R de {F, P} à une
force égale à celle exercée sur la planète P de la part de l’étoile E.

1.1 Quel est le nombre de planètes composant le système solaire ? Citer les noms de trois d’entre
elles.

1.2 En appliquant un théorème adéquat de la mécanique, montrer que le mouvement de F est plan
1.3 On suppose que, dans *R, la trajectoire du mobile fictif F est circulaire de rayon R.
1.3.1 Montrer que l’étoile E et la planète P ont elles aussi des trajectoires circulaires.

1.3.2 En appliquant le théorème de la résultante cinétique, exprimer le rayon R de la trajectoire de
F en fonction de G,mz , Mp et de la période T du mouvement circulaire.

1.3.3 En déduire les expressions des rayons GE et GP des trajectoires respectives de E et P.

1.4 On considère toujours le cas des trajectoires circulaires.

1.4.1 Etablir la relation entre le module vz de la vitesse de l’étoile et le module vp de la vitesse de
la planète par rapport au référentiel *R.

1.4.2 Exprimer ces deux vitesses en fonction de G ,mz , Mp ainsi que la période T du mouvement.
Que deviennent ces expressions lorsque l’on tient compte du fait que mp ‹ mg?

1.4.3 Application numérique : l'étoile HD19994 possède une planète © beaucoup moins massive
en orbite circulaire de rayon EP = 1,3 UA qu’elle parcourt en 454,2 jours. Quelle est la masse
de l’étoile HD19994 ?

1.5 En réalité les mesures ne sont sensibles qu’à la composante V;/(t) de la la vitesse de l'étoile EF
parallèlement à l’axe de visée. Soit 0 l’angle entre la normale au plan de la trajectoire de E et
l’axe de visée (figure 1).

AXC dE visée …

Fig 1 : Axe de visée

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1.5.1 Exprimer la vitesse #=(t) de ‏علتماة!ا‎ E sur sa trajectoire circulaire à l’instant t en fonction
de vz , t et T et en déduire V;;(t) ; l’origine des temps sera choisie à un moment où ÿz est
colinéaire avec Ü,.

1.5.2 Exprimer la masse mp de la planète en fonction de la valeur maximale ‏ىم ا‎ de V;/(t), de la
période T, de 0, © et mr.

1.5.3 Commenter cette expression en discutant notamment des meilleures conditions de visée pour
pouvoir détecter des planètes de masse relativement faible.

2ème partie :
Visibilité de la planète

L’un des problèmes majeurs rencontrés lors de la détection des exo-planètes est lié à leur visibi-
lité. En effet, l’exo-planète est toujours très peu lumineuse devant son étoile. On se propose dans
cette partie d'aborder ce problème dans le but de déterminer le domaine spectral adéquat pour
une meilleure détection. Les températures ‏م71‎ de l’étoile et ‏م7‎ de la planète seront supposées
uniformes. On considère que l’étoile E se comporte comme un corps noir de température Tr.
On se limitera aussi à des mouvements circulaires. Les rayonnements seront en plus supposés
isotropes.
2.1 Caractéristiques générales

Considérons un corps noir en équilibre thermodynamique à la température T. La puissance
rayonnée par unité de surface et par unité de longueur d’onde, ou flux hémisphérique spectral,
est donnée par la loi de PLANCK :

dp _ 2xhG 1 0)
0 5 ep 6
10 ‏كد‎ exp sl

2.1.1 Représenter graphiquement l’allure de ‏ب‎ en fonction de À pour une température T fixée.
2.1.2 Montrer que la longueur d’onde A, correspondant au maximum du flux est donnée par la loi
de déplacement de WIEN :

5

où y est la solution numérique d’une équation que l’on précisera. Par la suite on prendra
2.1.3 Calculer numériquement la longueur d’onde ‏ول‎ correspondant au maximum du spectre solaire.
À quelle radiation correspond-elle ? Ceci est-il en accord avec l’observation quotidienne ?

2.1.4 Exprimer le flux hémisphérique surfacique total émis par le corps noir et montrer qu’il obéit
à la loi de STEFAN, Donner l’expression de la constante ‏ه‎ de STEFAN. On donne :

o ‏قي‎ 74
o expx—l 15

2.2 Température d’équilibre de la planète

L’exo-planète © de rayon Rp est supposée en orbite circulaire de rayon EP autour de l’étoile
E. On suppose que la température ‏م7‎ de la planète est uniforme en tout point de sa surface.

2.2.1 Exprimer le flux de rayonnement ®p reçu par la planète en fonction du flux radiatif ®z émis
par l’étoile ainsi que de Rp et EP.

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2.2.2 Exprimer de même les flux réfléchi ®, et absorbé ®, par la planète en fonction du flux ‏وي‎
‎émis par l’étoile ainsi que l’albédo À de la planète défini comme étant la fraction réfléchie du
rayonnement stellaire ® 5.

2.2.3 Exprimer le flux ® émis par la planète supposée à l’équilibre thermodynamique en fonction
de sa température Tp et de son rayon Rp. On supposera pour cela que la planète se comporte
comme un corps noir de température Tp.

2.2.4 Quelle relation simple existe-t-il entre © et ®, à l’équilibre ? En déduire que la température
de la planète est reliée à la température 75 de l’étoile par la relation :

2.2.5 Application numérique

2.2.5.1 Déterminer la température moyenne de la Terre prévue par ce modèle et commenter la valeur
ainsi obtenue. La valeur communément admise pour l’albédo terrestre est À = 0,34.

2.2.5.2 Déterminer la température de la planète HD19994b qui orbite autour de l’étoile HD19994
sachant que EP = 1,3 UA et que cette étoile a des caractéristiques proches de celles du Soleil.
On prendra pour valeur de l’albédo À = 0,5. Commenter.

2.2.5.3 Calculer numériquement la longueur d’onde ‏ما‎ correspondant au maximum du spectre de
la planète HD19994b. Commenter.

2.3 Condition photométrique d’observation

Un observateur terrestre pointe un télescope en direction du couple {F, P}. On se propose à
présent de déterminer le domaine spectral qui favorise l’observation de l’exo-planète.

2.3.1 Exprimer le rapport o des puissances émises par la planète et par l’étoile en fonction de la
longueur d'onde À, des longueurs d’onde ‏ورا‎ et Ap correspondant respectivement au maximum
de l’émission de E et de P ainsi que du rapport des rayons de P et E.

2.3.2 Représenter graphiquement o(XÀ) et déterminer la limite ‏رم‎ de o(À) pour les grandes longueurs
d’onde en fonction de Rz, Rp, Tr et Tp. Calculer numériquement og pour un couple du type
{Soleil, Terre} et commenter.

2.3.3 Quel est, du point de vue photométrique, le domaine favorable à l’observation de la planète

3ème partie :
Détection par la méthode indirecte des transits

La recherche d’exo-planètes autour d’étoiles autres que le Soleil peut se faire grâce à des ‏عم‎
‎sures photométriques précises. Le principe repose sur la possibilité de mettre en évidence l’af-
faiblissement de luminosité observée lors du passage de la planète à détecter entre l’étoile et
l’observateur. Pour cela, il faut pouvoir réaliser des mesures de haute précision du flux lumineux
comme ce sera le cas sur le satellite COROT dont le lancement est prévu pour 2005-2006.

3.1 La figure 2 représente la variation relative Æ du flux total détecté au cours du temps lors
du passage d’une planète devant son étoile parente. Commenter cette figure en indiquant les
positions de la planète correspondant aux différents domaines du graphique. On représentera

ces différentes positions relatives du couple {étoile,planète} dans le plan de la trajectoire.

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› temps

Fig 2 : Effet de l’occultation de l’étoile par le passage d’une planète.

3.2 On note ®z le flux hémisphérique total émis par l’étoile de rayon Rz et ®p celui émis par la
planète de rayon Rp.

3.2.1 Exprimer la variation de flux = (figure 2) en fonction de Rz et Rp. On supposera pour
simplifier que l’axe de visée est perpendiculaire à la normale au plan de la trajectoire de la
planète.

3.2.2 Calculer 2 pour une planète du type Jovienne (comparable à Jupiter) ainsi que pour une
planète du type tellurique (comparable à la Terre) en orbite autour d’une étoile du même type
que le Soleil. Commenter.

3.2.3 L’exo-planète OGLE-TR-56b annoncée le 30 janvier 2003 a été détectée par la méthode des
transits. La variation relative de flux enregistrée est de 1/1000°. En déduire le rapport des
rayons de la planète et de son étoile parente.

1576 partie :
Observation directe

4.1 Coronographe de Lyot

Dans cette partie du problème, on s’intéresse à l'observation d’un système {Æ, P} à l’aide d’un
télescope au sol ou dans l’espace. Le télescope en question est un télescope du type CASSE-
GRAIN constitué d’un miroir primaire parabolique de diamètre D et d’un miroir secondaire
hyperbolique. Nous admettrons dans toute la suite qu’un tel système de miroirs est formel-
lement équivalent à une seule lentille mince convergente L, de grande dimension munie d’un
diaphragme circulaire D de même diamètre D que le miroir primaire et de distance focale image
fa- La figure 3 montre la lentille L, ainsi que la lentille La qui schématise l’oculaire. Ces lentilles
sont disposées de sorte que le système {Ly, La } soit afocal. Le foyer image F, de ‏را‎ sera appelé
foyer du télescope et le plan de front passant par 71 est le plan focal du télescope. Pour les
applications numériques, on prendra D = 15 m.

Pour simplifier les calculs, on considère un modèle unidimensionnel de la pupille d’entrée du
télescope. Dans le cadre de ce modèle, le diaphragme circulaire D de diamètre D est remplacé
par une fente F de largeur D selon l'axe Ox et allongée selon Oy (figure 3).

Ce modèle, malgré sa simplicité, permettra de rendre compte des propriétés fondamentales du
On s’intéresse plus particulièrement au couple composé de l’étoile HD19994 et de sa planète
HD19994b. Pour ce couple, la distance entre l’étoile E et la planète P est EP = 1,3 UA ; il se

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trouve à une distance ‏عل‎ la Terre TE = 72 AL. On supposera que le plan de la trajectoire est
perpendiculaire à l’axe de visée.

Un filtre très sélectif permet de sélectionner une longueur d’onde de travail À dans le domaine
de l’infrarouge pour laquelle le rapport des intensités I} de la planète et IF de l’étoile vaut
5108

On prendra pour les applications numériques À = 1,5 um.

Fig 3 : Système de lentilles minces convergentes équivalent
au télescope muni de son oculaire.

4.1.1 Citer le nom d’un télescope installé dans l’espace.

4.1.2 Dans le cadre de l’approximation de l'optique géométrique, représenter l’image du système
{E,P} dans le plan focal du télescope lorsque l’axe du télescope est dirigé vers l’étoile E.

4.1.3 Énoncer clairement le principe de HUYGHENS-FRESNEL.

4.1.4 Le télescope est tout d’abord éclairé par une onde plane monochromatique provenant d’une
source unique éloignée située dans la direction faisant un angle ‏مه‎ avec l’axe principal du
télescope dans le plan y = 0.

4.1.4.1 Calculer la répartition de l'intensité lumineuse I(x) dans le plan focal du télescope.

4.1.4.2 Représenter graphiquement l’allure de I(x) en précisant les abscisses des points où l'intensité
est nulle ainsi que la largeur de la tache centrale de diffraction.

4.1.5 L’axe principal du télescope est maintenant dirigé dans la direction de l’étoile HD19994 au-
tour de laquelle orbite la planète HD19994b. Le problème central de l’observation directe est
d’atténuer considérablement la tache centrale de diffraction de l’étoile pour ne pas éblouir
l’image géométrique de la planète et permettre ainsi son observation.

4.1.5.1 Exprimer l’intensité résultante dans le plan focal du télescope.

4.1.5.2 Montrer que l’on peut disposer un cache opaque de largeur adéquate ‏و4‎ dans le plan focal
du télescope pour arrêter la lumière du lobe central ainsi que celle,des deux lobes latéraux (un
de chaque coté) sans affecter la tache centrale de la planète. Exprimer € en fonction de À, D

4.1.5.3 Montrer que le pic central de la figure de diffraction de la planète reste noyé dans la lumière
provenant de l'étoile. On pourra s’aider des données numériques du début de l'énoncé.

4.2 Étude d’une pupille apodisée
L’étude précédente montre que même si on occulte la tache centrale de diffraction de l’étoile,
la lumière en provenance de la planète reste noyée dans celles des maxima secondaires. Pour
tenter de résoudre cette difficulté, certains chercheurs proposent de faire appel à la technique
d’apodisation.

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Cette technique consiste à utiliser une pupille diffractante dont la transmittance pupillaire t
ou coefficient complexe de transmission en amplitude, n’est pas uniforme. On s'intéresse par la
suite à une transmittance en cos? telle que, dans le plan de la fente F on a :

cos*(72) pour || ›

0 ailleurs

2
2

4.2.1 Calculer la répartition d'intensité I(x) dans le plan focal du télescope lorsque celui-ci est éclairé
par une onde plane monochromatique de longueur d’onde À provenant d’une source lointaine
dans la direction faisant un angle ao avec l’axe principal du télescope dans le plan zOx.

4.2.2 Représenter graphiquement l'allure de I(x) et déterminer les abscisses des points où l'intensité
est nulle.

4.2.3 Quelle est la largeur de la tache centrale de diffraction ? Commenter en dégageant les effets
du masque (4) sur la figure de diffraction.

4.2.4 On s'intéresse au couple constitue de l’étoile HD19994 et de sa planète HD19994b. Le télescope
est ainsi orienté dans la direction de HD19994. On suppose dans cette question qu’un cache
opaque de largeur € calculée à la question 4.1.5.2. est interposé dans le plan focal du télescope.

4.2.4.1 Montrer que le cache opaque permet cette fois d'arrêter la lumière de la tache centrale de
diffraction de l’étoile.

4.2.4.2 Calculer le rapport de l'intensité du maximum central provenant de la planète à celle du
premier maximum non caché provenant de l’étoile. Comparer au cas sans apodisation.

4.2.4.3 L'utilisation du cache opaque et du masque d’apodisation (4) permet-elle d'isoler la lumière
provenant de la planète ?

4.2.4.4 Comment peut-on accentuer l'effet de l’apodisation ?

4.3 Apodisation à l’aide de l’interféromètre de Michelson
Dans l'impossibilité de pouvoir disposer de masque d’apodisation d'aussi grande dimension.
que les pupilles d'entrée des grands télescopes, certains chercheurs ont proposé un montage
interférométrique pour réaliser l’apodisation. Le montage que l’on se propose d'étudier est
construit autour d’un interféromètre de MICHELSON. La figure 4 représente le banc d'essai
en laboratoire d’un tel montage.

Fig 4 : Banc d’essai d’un montage interférométrique d’apodisation.

La fente F schématise la pupille d’entrée du télescope et la lentille convergente L; représente
la lentille équivalente aux miroirs du télescope. La lentille convergente ‏ونا‎ permet d’éclairer

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l’interféromètre en lumière parallèle et forme l’image de la pupille d’entrée du télescope sur le
miroir de l’interféromètre. La lentille ‏ونا‎ permet de conjuguer le miroir et l’écran d’observation

4.3.1 L'interféromètre de MICHELSON est constitué ‏عل‎

— un miroir plan M, mobile en translation le long de l’axe Oz et en rotation autour des axes
O,x et O1y;

— un miroir plan Ms mobile en rotation autour des axes Ogx et 0:

— une lame séparatrice S en verre d'épaisseur uniforme rendue semi-réfléchissante ; elle transmet
50% du flux incident et en réfléchit 50% :

— une lame compensatrice C en verre de même épaisseur que la lame séparatrice.

Un réglage préliminaire permet de rendre la lame compensatrice C parallèle à la lame séparatrice

5. Dès lors on peut considérer un modèle idéal d’interféromètre de MICHELSON dans lequel la

lame séparatrice est remplacée par une séparatrice S, d'épaisseur nulle (figure 4), fournissant

deux ondes de même intensité et n’introduisant pas de déphasage, supplémentaire entre les deux

ondes qui interfèrent.

4.3.1.1 Par quel procédé technologique, parvient-on augmenter le pouvoir de réflexion d’une lame
de verre pour la rendre semi-réfléchissante ?

4.3.1.2 Quel est le rôle de la lame compensatrice C ?

4.3.1.3 Comment parvient-on dans la pratique à disposer la lame compensatrice C parallèlement à
la lame séparatrice S ?

4.3.1.4 Décrire un protocole expérimental permettant d'approcher au mieux ” le contact optique ” :
M, et M» perpendiculaires entre eux et à égale distance de la séparatrice ‏.وى‎

4.3.2 À partir du réglage précèdent (contact optique), on fait tourner le miroir M, d’un angle +
positif autour de l’axe O,r et le miroir M, du même angle +$ positif autour de l'axe 02
Dans la pratique ‏نه‎ est très petit ‏ه)‎ ‹ 1).

4.3.2.1 Montrer à l’aide d’un schéma, que le dispositif interférentiel ainsi obtenu est équivalent à un
coin d'air symétrique dont on déterminera l’angle. Par la suite on s’intéressera aux interférences
localisées au voisinage du coin d'air.

4.3.2.2 Montrer que l’éclairement résultant peut se mettre sous la forme :
1 = I cos? 8z (5)

et donner l’expression de 8 en fonction de à et À.
4.3.2.3 En déduire une expression possible de l’amplitude réelle de l’onde lumineuse correspondante.

4.3.2.4 En déduire que tout se passe comme si l’image de la fente F donnée par L, et ‏ري‎ sur M,
avait une transmission non uniforme décrite par le coefficient de transmission en amplitude t
donné par :

t(z) = cos 27 (6)

4.3.2.5 Quelle valeur particulière ‏مه‎ faut-il donner à l’angle ‏ه‎ pour que t(z) s’annule pour la première
fois aux bords du faisceau de largeur D’ éclairant le miroir M3 ? On exprimera ap en fonction
de À, D et des distances focales images f,, de L, et f,, de La.

4.3.2.6 Où se trouve l’image géométrique du foyer du télescope donnée par le système composé de
l’interféromètre ‏عل‎ MICHELSON et de la lentille Ls ?

4.3.3 Les questions suivantes demandent des réponses qualitatives sans aucun calcul.

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4.3.3.1 Dans la réalité, la pupille d’entrée du télescope est circulaire. Il est donc nécessaire de
procéder à une apodisation à deux dimensions. Comment doit-on modifier le montage in-
terférométrique précédent pour pouvoir réaliser une telle apodisation ?

4.3.3.2 Comment faut-il procéder pour réaliser une apodisation à l’aide d’une transmittance en cos”,

en cosŸ ?

fin de l’énoncé

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