Modèle de concours : CNC 2004 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2004), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mathématiques II
- Année
- 2004
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet officiel de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2004 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs et assimilés, pour les élèves des classes préparatoires (CPGE) de la filière MP. Ce modèle contient les 6 pages de l'énoncé original. Les autres épreuves et sessions du CNC sont aussi disponibles sur le site.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 —
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale Ministère de l'Enseignement
et de la Jeunesse Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2004
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1
Durée 4 heures
Concours MP
Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2004 — MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction
seront des éléments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le résultat
d'une question non résolue s’ils l‘indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les | références | des questions abordées.
Exemples d’utilisation du théorème de Courant-Fischer
Notations et rappels : Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou
égal à 2. Si p € N*, on note M,,p(R) l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels, à n lignes
et م colonnes ; si م = n, M,,p(R) est noté simplement M,(R), c’est l'algèbre des matrices carrées
d’ordre n à coefficients réels ; la matrice identité de M, (R) sera notée I.
Pour toute matrice A de M, p(R), ‘A désigne la matrice transposée de A ; si A € M, (R), Spr (A)
représente l’ensemble des valeurs propres réelles de A, Tr (A) sa trace et rg(A) son rang.
On munit M,,1(R) de son produit scalaire canonique défini par ‹X, Y›— 7
1°" Partie
A- Étude d’une matrice
Soit U un vecteur non nul de M,,1(R), de composantes uw, , un. On pose M = U'U.
1. Pour tout couple (;, 7) d'éléments de {1,... , n}, exprimer le coefficient m; ; de la matrice M à
l’aide des .ير Que vaut la trace de M ?
2. Exprimer les colonnes de M à l'aide de u1,...,un, et U.
3. Montrer alors que le rang de M est égal à 1.
4. Justifier que 0 est valeur propre de M et montrer que le sous-espace propre associé est égale à
{Y € Mn1(R), UY = 0}. Quelle est sa dimension ?
5. Calculer le produit MU et en déduire que ‘UU est une autre valeur propre de M. Déterminer
le sous-espace propre associé et donner sa dimension.
6. Montrer que la matrice M est orthogonalement semblable à la matrice diagonale D où
B- Théorème de Courant-Fischer
Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n ; on désigne par f l'endomorphisme de M,,1(R)
canoniquement associé à À.
1. Justifier qu’il existe une base orthonormée de l'espace euclidien (M,,1(R), ‹, ›) formée de
vecteurs propres de f.
Épreuve de Mathématiques II 1/5 Tournez la page S.V.P.
نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
— صفحة 3 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP
Dans la suite, on note ...بول بي , A, les valeurs propres de f rangées dans l’ordre croissant et
on désigne par (e1,..., en) une base orthonormée de vecteurs propres associés :
Pour tout k € {1,2,...,n}, on note V; le sous-espace vectoriel de M,,1(R) engendré par les
vecteurs e1,... , نمع Vp = Vect(e1,.. , ex), et Fr l'ensemble de tous les sous-espaces vectoriels
de M,,1(R) qui sont de dimension k.
Si v est un vecteur non nul de M,,1(R) on pose Ra(v) = - = Fe), ;
2. Calculer R4(e;.), pour tout k € {1,2,...,n}.
3. 50110 = ›, x;e; un élément de M,,1(R).
Exprimer les quantités ‹f(v), v› et ‹v, v› en fonction des 1, et A, 1 ‹k ‹n.
4. Montrer alorsque À; =minR4(v) et A, = max Ra(v).
وحن عدن
5. Soient k € {1,...,n} et w un vecteur non nul de V,. Montrer que Ra(w) › À; et conclure que
MA = max Ra(v).
vEVe\{0}
(a) Montrer que la dimension du sous-espace vectoriel F, N Vect(ez,...,en) est › 1.
(b) Soit w un vecteur non nul de F; N Vect(ez,. , en). Montrer que Ra(w) › Ar-
(c) Déduire de ce qui précède que À, = où ( ts Ra(v)). (Théorème de Courant-Fischer)
7. (a) Montrer que l'application زرب : v —‹Auv, v› est continue sur M,,1(R) et en déduire la
continuité de l'application R4 sur M,,1(R) \ {0}.
(b) Montrer que l’ensemble M,,1(R) \ {0} est connexe par arcs et conclure que l'image de
l'application Rest un intervalle.
(c) Montrer alors que {Ra(v), v € Mn,1(R) \ {0} } = [A1, An]
2ème Partie
On rappelle qu’une matrice B, symétrique réelle d'ordre n, est dite définie positive si pour tout
vecteur non nul X de M,,1(R), on ait
XBX ›0.
1. Soit B une matrice symétrique réelle d'ordre n. Montrer que B est définie positive si et
seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
2. Soit A = (
; une matrice symétrique réelle d'ordre 2.
(a) On suppose que A est définie positive ; montrer alors que a › 0 et ac — b? › 0.
(b) Soit X € M»,1(R) un vecteur de composantes 2 et y ; exprimer ‘X AX en fonction de
a, b, c, x et y et montrer que si a › 0 et ac — b? › 0 alors A est définie positive.
Le but de la suite de cette partie est d'étendre le résultat de cette question à n quelconque.
Épreuve de Mathématiques II 275 ب
نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
— صفحة 4 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP
3. Soit A une matrice symétrique réelle d’ordre n; on désigne par f l'endomorphisme de
Mn,1(R) canoniquement associé à À et on note My ‹ À › ... ‹ An les valeurs propres
de f. Soient H un hyperplan de M,,1(R) et p la projection orthogonale sur H ; on note و
l’'endomorphisme induit par م o f sur H.
(a) Montrer que و est un endomorphisme autoadjoint de H.
Soient alors مر › . .. ‹ مر les valeurs propres de g.
(b) Montrer que pour tout k € {1,...,n — 1}, Ar › سر
i. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel F, de M,,1(R), de dimension k + 1, le
sous-espace vectoriel F N H est de dimension = k.
ii. Soit F comme à la question précédente et soit donc G un sous-espace vectoriel de
F n H, de dimension k. Comparer ‹g(v), v› et ‹f(v), v›, pour v € G, et en déduire
que max splehux ‹ max «flux fs
iii. Conclure que 4, › An +1-
4. On reprend les hypothèses de la question précédente et on écrit A = au ل , avec
(a) Que représente la matrice A,_1 ? Justifier qu'elle est symétrique.
(b) On note مر › ... › نا les valeurs propres de la matrice ماك Montrer que
A ‹ 4 ك .5 وا ك An—1 € Hn—1 ك An-
(c) Conclure que si la matrice À est définie positive, il en est de même de la matrice مك
5. Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n; on note A = (a;;)i‹i,j‹n et, pour tout
(a) Montrer que si A est définie positive alors les déterminants des matrices A, sont tous
strictement positifs.
(b) En utilisant le résultat de la question 4. précédente, montrer par récurrence sur n, que la
réciproque de (a) est vraie.
6. Un exemple d’utilisation : On considère la matrice M(t) = (dis ) dE t e [0,1].
اتج لاك
(a) Montrer que, pour tout + € ]0, 1], ها matrice M(t) est symétrique définie positive.
(b) En déduire que la matrice M, = ( am ) est symétrique définie positive.
1ر117 jen
(On remarquera que M, = f M(t) dt).
3ème Partie
A- Une deuxième application
1. Soient À et A’ deux matrices symétriques réelles d’ordre n. On note À; › Ag › ... › An (resp.
زد › À ›. ‹ À) les valeurs propres de À (resp. A”); on note aussi 11 › l2 › ... › in les
valeurs propres de la matrice EF = A’ — À.
Épreuve de Mathématiques II 3/5 Tournez la page S.V.P.
نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
— صفحة 5 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP
(a) Montrer que, pour tout k € {1,2,...,n},
An + M1 › A € Ar + Hn-
Mn(R), subordonnée à la norme euclidienne de M,,1(R).
2. En déduire que l’ensemble آي des matrices symétriques réelles d’ordre n et définies positives
est un ouvert de l’espace vectoriel ري des matrices symétriques réelles d'ordre n.
B- Une dernière application
Soient A une matrice symétrique réelle d'ordre n et U un vecteur non nul de M,,1(R) ; on note
M ‹ وا ‹ ... › An les valeurs propres de À et A, › زا ›... › À, celles de la matrice ع4 = A +
avec M =U Uete ER.
D’après la section A- de la première partie, il existe une matrice orthogonale R telle que
71 0
RMR = ( 0 0
On décompose alors la matrice RAR par blocs comme pour la matrice RM R et on obtient
t _ (a a
RAR=(3 414)
aveca € R, a € M(n—1),1(R) et مك € Mn_—1(R). La matrice رما est évidement symétrique réelle,
il existe donc une matrice orthogonale S, d'ordre n — 1, et des réels وه ...روه tels que
ISA, 18 = diag(a2,… , On).
; 1 0
On pose enfinQ = R 0 4 1
1. Montrer que la matrice Q est orthogonale.
2. Montrer, en effectuant des produits par blocs, que
t 1 t
1 _ (ae as 1 _ f(a+eUU و
QAQ = 8 0 ل ) et ‘QA:Q = ( 0 ER
avec Dn—1 = diag(a2,... , On)-
3. On suppose que € › 0. Montrer en utilisant par exemple la question (A-1.) de cette partie que,
كيزا M › تآ راع + ييا
4. On suppose ici que € est quelconque et on note 01... , من les colonnes de la matrice Q.
(a) Vérifier que (C1, , C,) est une base orthonormée de M,,1(R).
(b) Soit X € M,1(R); on désigne par y1,...,yn les composantes de X dans la base
(C1, , Ch). Montrer alors que
XAX - ج + أيه auf + 2 رج Bu,
42 12
où F2, , Bn sont les composantes du vecteur 5 a de M (n-1),1(R).
Épreuve de Mathématiques II 4/5 ب
نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
— صفحة 6 —
Concours National Commun - Session 2004 - MP
(c) Écrire une relation analogue à la précédente et concernant la matrice Ag, puis en déduire,
lorsque X est non nul, que
0728
(d) En choisissant convenablement le X, montrer que ود › \;. On utilisera les formules
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II 5/5 FIN
نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) 2004 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines, filière MP (classes préparatoires). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'algèbre bilinéaire en trois parties intitulé « Exemples d'utilisation du théorème de Courant-Fischer » : étude de la matrice de rang 1 M = UtU, démonstration du théorème min-max de Courant-Fischer, entrelacement des valeurs propres, critère de Sylvester (mineurs principaux), puis perturbations d'une matrice symétrique. Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : tout le problème repose sur un seul outil : le quotient de Rayleigh RA(v) = <Av,v>/<v,v> écrit dans une base orthonormée de vecteurs propres, où il vaut Σλixi2 / Σxi2. Retenez aussi la formule de Grassmann dim(F∩G) ≥ dim F + dim G − n : elle sert à chaque fois qu'il faut « trouver un vecteur commun » à deux sous-espaces. Les parties 2 et 3 utilisent les résultats de la partie 1 : citez-les précisément (référence de question).
1re Partie — A. Étude de la matrice M = UtU
- 1. mi,j = uiuj, donc Tr(M) = Σ uk2 = tUU = ‖U‖2 > 0.
- 2. La j-ième colonne de M est Cj = ujU.
- 3. Toutes les colonnes sont colinéaires à U, donc rg(M) ≤ 1 ; comme U ≠ 0, il existe j avec uj ≠ 0 et Cj = ujU ≠ 0. Donc rg(M) = 1.
- 4. rg(M) = 1 < n (n ≥ 2) : M n'est pas inversible, donc 0 ∈ Sp(M). Pour Y ∈ Mn,1(ℝ), MY = U(tUY) = (tUY)U (le produit tUY est un réel). Comme U ≠ 0, MY = 0 ⇔ tUY = 0. Le sous-espace propre est donc Ker M = {Y ; tUY = 0} = U⊥, hyperplan de dimension n − 1 (théorème du rang).
- 5. MU = U(tUU) = (tUU)U avec U ≠ 0 : tUU = ‖U‖2 > 0 est valeur propre, distincte de 0. Son sous-espace propre contient Vect(U) et est en somme directe avec Ker M (dimension n − 1), donc sa dimension vaut au plus 1 : E = Vect(U), dimension 1.
- 6. M est symétrique réelle. Posons ε1 = U/‖U‖ et complétons par une base orthonormée (ε2, …, εn) de U⊥ = Ker M. La matrice R de colonnes ε1, …, εn est orthogonale et tRMR = R−1MR = diag(tUU, 0, …, 0) = D : M est orthogonalement semblable à D.
1re Partie — B. Théorème de Courant-Fischer
- 1. A symétrique ⇒ f est autoadjoint pour le produit scalaire canonique (<f(X),Y> = tXtAY = tXAY = <X,f(Y)>). Par le théorème spectral, il existe une base orthonormée de vecteurs propres de f.
- 2. ‖ek‖ = 1 et f(ek) = λkek donc RA(ek) = λk.
- 3. f(v) = Σλixiei ; la base étant orthonormée : <f(v),v> = Σ λkxk2 et <v,v> = Σ xk2.
- 4. Comme λ1 ≤ λk ≤ λn : λ1Σxk2 ≤ Σλkxk2 ≤ λnΣxk2, donc λ1 ≤ RA(v) ≤ λn pour v ≠ 0, avec égalité en e1 et en (question 2). D'où λ1 = min RA, λn = max RA.
- 5. w ∈ Vk \ {0} s'écrit Σi≤k xiei, donc Σi≤kλixi2 ≤ λkΣi≤kxi2 : RA(w) ≤ λk, avec égalité pour w = ek ∈ Vk. Donc λk = maxv∈Vk\{0} RA(v).
- 6(a). Grassmann : dim(F1 ∩ W) ≥ dim F1 + dim W − n = k + (n − k + 1) − n = 1, avec W = Vect(ek, …, en).
- 6(b). w = Σi≥kxiei ≠ 0 donne Σi≥kλixi2 ≥ λkΣi≥kxi2, soit RA(w) ≥ λk.
- 6(c). Le max de RA sur F \ {0} existe (RA(tv) = RA(v), donc c'est le max d'une fonction continue sur la sphère unité de F, compacte). Pour tout F ∈ Fk, maxF RA ≥ RA(w) ≥ λk ; et pour F = Vk ∈ Fk, le max vaut λk (question 5). Donc λk = minF∈Fk maxv∈F\{0} RA(v), et le min est atteint.
- 7(a). ψA(v) = Σ aijvivj est polynomiale en les coordonnées : continue. De même v ↦ <v,v>, qui ne s'annule pas sur Mn,1(ℝ) \ {0} : le quotient RA est continu.
- 7(b). Soient u, v non nuls. Si 0 n'est pas sur le segment [u,v], ce segment est un chemin dans Mn,1(ℝ) \ {0}. Sinon u et v sont colinéaires ; comme n ≥ 2, on choisit w ∉ Vect(u) et on passe par [u,w] puis [w,v], qui évitent 0. L'ensemble est connexe par arcs. L'image d'un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs ; dans ℝ, c'est un intervalle.
- 7(c). Cet intervalle est inclus dans [λ1, λn] (question 4) et contient λ1 = RA(e1) et λn = RA(en) : c'est [λ1, λn].
2e Partie — Matrices définies positives et mineurs principaux
1. Caractérisation spectrale
Soit P orthogonale avec tPBP = diag(λ1, …, λn). Pour X = PY : tXBX = Σλiyi2, et X ≠ 0 ⇔ Y ≠ 0. Si tous les λi > 0, la somme est > 0. Réciproquement, avec X = ei vecteur propre unitaire : teiBei = λi > 0. B définie positive ⇔ Sp(B) ⊂ ]0, +∞[.
2. Cas n = 2
- (a) Avec X = t(1,0) : tXAX = a > 0. Et ac − b2 = det A = λ1λ2 > 0 (question 1). a > 0 et ac − b2 > 0.
- (b) tXAX = ax2 + 2bxy + cy2 = a(x + by/a)2 + (ac − b2)y2/a. Si a > 0 et ac − b2 > 0, c'est une somme de deux termes ≥ 0, nulle seulement si y = 0 puis x = 0 : A est définie positive.
3. Compression sur un hyperplan
- (a) Pour x, y ∈ H : <g(x),y> = <p(f(x)),y> = <f(x),p(y)> (p projecteur orthogonal donc autoadjoint) = <f(x),y> = <x,f(y)> = <p(x),f(y)> = <x,g(y)>. g est autoadjoint. Point clé retenu : <g(x),x> = <f(x),x> pour x ∈ H.
- (b) Courant-Fischer pour g (dans H, de dimension n − 1) : μk = min sur les F ⊂ H de dimension k de maxF Rg. Pour un tel F, Rg = Rf sur F et F ∈ Fk, donc maxF Rf ≥ λk (partie 1, B-6c). D'où λk ≤ μk.
- (c) i. dim(F ∩ H) ≥ (k + 1) + (n − 1) − n = k.
- (c) ii. Pour v ∈ G ⊂ H, <g(v),v> = <f(v),v>, et G ⊂ F : maxG Rg = maxG Rf ≤ maxF Rf.
- (c) iii. Par Courant-Fischer pour g, μk ≤ maxG Rg ≤ maxF Rf pour tout F de dimension k + 1 ; en prenant F = Vk+1 (ou le min sur F) : μk ≤ λk+1.
4. Entrelacement (théorème de Cauchy)
- (a) Prenons H = Vect(E1, …, En−1) (vecteurs de dernière composante nulle), de base orthonormée canonique. p annule la n-ième coordonnée, donc An−1 est la matrice de g dans cette base. Elle est symétrique (bloc extrait de A symétrique, ou matrice d'un autoadjoint en base orthonormée).
- (b) Les μ'k sont les μk de la question 3 ; 3(b) et 3(c)iii donnent λ1 ≤ μ'1 ≤ λ2 ≤ … ≤ λn−1 ≤ μ'n−1 ≤ λn.
- (c) A définie positive ⇒ λ1 > 0 ⇒ μ'k ≥ λk ≥ λ1 > 0 ⇒ An−1 définie positive (question 1).
5. Critère de Sylvester
- (a) En itérant 4(c) (Ak est le bloc supérieur gauche de Ak+1), toutes les Ak sont définies positives, donc det Ak = produit de valeurs propres > 0.
- (b) Récurrence sur n. Pour n = 1 : a11 > 0. Supposons le résultat à l'ordre n − 1 et det Ak > 0 pour tout k ≤ n. Par hypothèse de récurrence An−1 est définie positive, donc μ'1 > 0. L'entrelacement donne λk ≥ μ'k−1 > 0 pour k ≥ 2. Enfin det A = λ1λ2…λn > 0 avec λ2, …, λn > 0 impose λ1 > 0 : A est définie positive.
6. Exemple : M(t) = (t|i−j|)
- (a) M(t) est symétrique et ses sous-matrices principales Mk(t) sont du même type à l'ordre k. Sur Mk(t), remplaçons, de bas en haut, la ligne Li par Li − tLi−1 (i = k, …, 2) : pour j < i, ti−j − t·ti−1−j = 0 ; pour j ≥ i, tj−i − t·tj−i+1 = tj−i(1 − t2). La matrice devient triangulaire supérieure de diagonale 1, 1 − t2, …, 1 − t2, d'où det Mk(t) = (1 − t2)k−1 > 0 pour t ∈ [0,1[ (convention 00 = 1, M(0) = In). Par 5(b), M(t) est symétrique définie positive.
- (b) ∫01 t|i−j| dt = 1/(1 + |i − j|), donc M1 = ∫01 M(t) dt, symétrique. Pour X ≠ 0, tXM1X = ∫01 tXM(t)X dt ; l'intégrande est continue (polynôme en t), > 0 sur [0,1[, donc l'intégrale est > 0 : M1 est définie positive.
3e Partie — A. Perturbation : inégalités de Weyl
- 1(a). RA'(v) = RA(v) + RE(v) et μ1 ≤ RE(v) ≤ μn (partie 1, B-4). Donc RA(v) + μ1 ≤ RA'(v) ≤ RA(v) + μn. On prend le max sur F \ {0} puis le min sur F ∈ Fk (Courant-Fischer, les deux opérations conservent les inégalités) : λk + μ1 ≤ λ'k ≤ λk + μn.
- 1(b). Si Ex = μx avec x ≠ 0, |μ|‖x‖ = ‖Ex‖ ≤ ‖E‖‖x‖, donc |μi| ≤ ‖E‖. Ainsi −‖E‖ ≤ μ1 et μn ≤ ‖E‖, et 1(a) donne |λ'k − λk| ≤ ‖A' − A‖.
- 2. Soit A ∈ Sn+ (au sens défini positif de l'énoncé), λ1 > 0. Si A' ∈ Sn et ‖A' − A‖ < λ1, alors λ'1 ≥ λ1 − ‖A' − A‖ > 0, donc A' ∈ Sn+. La boule ouverte de centre A et de rayon λ1 (pour la norme subordonnée, toutes les normes étant équivalentes en dimension finie) est incluse dans Sn+ : Sn+ est un ouvert de Sn.
3e Partie — B. Perturbation de rang 1 : Aε = A + εUtU
- 1. diag(1, S) est orthogonale : tdiag(1,S)·diag(1,S) = diag(1, tSS) = In. Q est produit de deux matrices orthogonales : Q est orthogonale.
- 2. tQAQ = diag(1, tS)(tRAR)diag(1, S) ; par blocs : coin α, bloc ta S, bloc tS a et tSAn−1S = Dn−1. De même tQMQ = diag(1,tS)·diag(tUU, 0)·diag(1,S) = diag(tUU, 0, …, 0). Par linéarité, tQAεQ est tQAQ avec α + εtUU dans le coin.
- 3. Avec A' = Aε, E = εM a pour valeurs propres 0 (n − 1 fois) et εtUU ≥ 0 (partie 1, A-4 et A-5), donc μ1 = 0 et μn = εtUU. La question A-1 donne λk ≤ λ'k ≤ λk + εtUU.
- 4(a). Q orthogonale ⇔ tQQ = In ⇔ <Ci,Cj> = δij : (C1, …, Cn) est une base orthonormée.
- 4(b). X = QY avec Y = t(y1, …, yn), donc tXAX = tY(tQAQ)Y. En notant β = tS a (donc ta S = tβ) et en développant par blocs : tXAX = αy12 + Σi≥2αiyi2 + 2Σj≥2βjy1yj.
- 4(c). De même tXAεX = (α + εtUU)y12 + Σαiyi2 + 2Σβjy1yj = tXAX + εtUU y12. En divisant par <X,X> (non nul) : RAε(X) = RA(X) + εtUU y12/<X,X>.
- 4(d). Soit F ∈ F2. L'hyperplan C1⊥ = {X ; y1 = 0} vérifie dim(F ∩ C1⊥) ≥ 2 + (n − 1) − n = 1 : on choisit X ≠ 0 dans F avec y1 = 0. Alors RAε(X) = RA(X) ≥ λ1, donc maxF RAε ≥ λ1 pour tout F ∈ F2, et en prenant le min : λ'2 ≥ λ1, quel que soit le signe de ε.
💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : théorème spectral et réduction des matrices symétriques réelles ; quotient de Rayleigh et théorème de Courant-Fischer (min-max) ; formule de Grassmann ; entrelacement de Cauchy (valeurs propres d'une sous-matrice principale) ; critère de Sylvester par les mineurs principaux ; inégalités de Weyl et continuité des valeurs propres (|λ'k − λk| ≤ ‖A' − A‖) ; norme subordonnée d'une matrice symétrique = max |λi| ; connexité par arcs et image continue d'un connexe. Rédaction : citez à chaque étape la question utilisée (B-4, B-6c…), comme l'exige l'énoncé.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (6 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE. Il concerne le grade : Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2004. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page Accès aux écoles et instituts supérieurs : /fr/modeles-concours/ecoles-instituts-superieurs. Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
Vous préparez ce concours ?
Modèles similaires
Modèle de concours : CNC 2025 Chimie (MP) — Concours National Commun
📅 2025
Modèle de concours : CNC 2025 Chimie (TSI) — Concours National Commun
📅 2025
Modèle de concours : CNC 2025 Physique I (MP) — Concours National Commun
📅 2025
Modèle de concours : CNC 2025 Physique I (TSI) — Concours National Commun
📅 2025
Modèle de concours : CNC 2025 Physique II (MP) — Concours National Commun
📅 2025
Modèle de concours : CNC 2025 Physique II (PSI) — Concours National Commun
📅 2025
Voir tous les modèles →
Source : concours d'accès aux écoles et instituts supérieurs — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
}