Modèle de concours : CNC 2021 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2021, filière MP, commun aux écoles d'ingénieurs marocaines recrutant après les classes préparatoires (CPGE). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Le sujet comporte un exercice (4 points sur 20) sur les intégrales de Gauss I_n = ∫₀^+∞ xⁿe^−x2 dx, et un problème en quatre parties autour de la constante d'Euler γ : développement asymptotique de H_n, fonctions ζ et zêta alternée, calcul de ∫₀^+∞(−ln u)e^−udu = γ, puis loi de Gumbel. C'est une épreuve de type problème. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : tout le problème tourne autour d'un seul objet, γ = lim (H_n − ln n). Chaque partie réutilise la précédente : la Partie 2 retrouve γ comme φ(1), la Partie 3 l'exprime sous forme d'intégrale, la Partie 4 l'identifie à l'espérance de la loi de Gumbel. Traitez la Partie 1 soigneusement (sommation des équivalents pour les restes de séries à termes positifs), elle sert partout. Trois petites coquilles d'énoncé sont signalées plus bas : il faut les mentionner sur la copie, comme le demande le préambule.

Exercice : intégrales de Gauss

f_n(x) = 0 si x ≤ 0 et f_n(x) = xⁿe^−x2 si x > 0.

1. f_n(x) = o(1/x²) en +∞

x²f_n(x) = xⁿ⁺²e^−x2 → 0 par croissances comparées (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance). Donc f_n(x) = o(1/x²).

2. Convergence de ∫₀^+∞ f_n

x ↦ xⁿe^−x2 est continue sur [0, +∞[ (pour n = 0 elle se prolonge par 1 en 0), donc aucun problème en 0. En +∞, f_n ≥ 0 et f_n(x) = o(1/x²) avec ∫₁^+∞ dx/x² convergente (Riemann, α = 2 > 1). Par comparaison, l'intégrale converge.

3.a) I₁

I₁ = ∫₀^+∞ x e^−x2 dx = [−e^−x2/2]₀^+∞ = 1/2.

3.b) Relation de récurrence

On écrit xⁿ⁺²e^−x2 = xⁿ⁺¹ · x e^−x2 et on intègre par parties sur [0, A] avec u = xⁿ⁺¹, v = −e^−x2/2 :
∫₀^A xⁿ⁺²e^−x2dx = [−xⁿ⁺¹e^−x2/2]₀^A + ((n+1)/2) ∫₀^A xⁿe^−x2dx.
Le crochet vaut 0 en 0 (n+1 ≥ 1) et tend vers 0 quand A → +∞. D'où I_n+2 = ((n+1)/2) I_n.

3.c) I_2k+1 = k!/2

Récurrence sur k : I₁ = 1/2 = 0!/2. Si I_2k+1 = k!/2, alors I_2k+3 = ((2k+2)/2) I_2k+1 = (k+1)·k!/2 = (k+1)!/2.

3.d) Indices pairs

Coquille d'énoncé : la formule demandée concerne I_2k (et non I_2k+1, déjà calculé en c). On montre I_2k = (2k)! √π / (2^2k+1 k!).
Pour k = 0 : I₀ = √π/2 ✓. Hérédité : I_2k+2 = ((2k+1)/2) I_2k = (2k+1)! √π / (2^2k+2 k!). On multiplie numérateur et dénominateur par 2k+2 = 2(k+1) : I_2k+2 = (2k+2)! √π / (2^2k+3 (k+1)!), c'est la formule au rang k+1.

Problème, Partie 1 : développement asymptotique de H_n

H_n = Σ_k=1ⁿ 1/k et u_n = H_n − ln n.

1.a) u_n − u_n+1 ~ 1/(2n²)

u_n − u_n+1 = ln(1 + 1/n) − 1/(n+1). Or ln(1+1/n) = 1/n − 1/(2n²) + O(1/n³) et 1/(n+1) = 1/n − 1/n² + O(1/n³). Donc u_n − u_n+1 = 1/(2n²) + O(1/n³), soit u_n − u_n+1 ~ 1/(2n²).

1.b) et 1.c) Convergence de (u_n)

Les termes sont positifs à partir d'un certain rang et équivalents à 1/(2n²), terme d'une série de Riemann convergente : Σ(u_n − u_n+1) converge. Comme Σ_k=1ⁿ⁻¹(u_k − u_k+1) = u₁ − u_n (télescopage), la suite (u_n) converge ; on note γ sa limite.

1.d) Encadrement de ln n

t ↦ 1/t est décroissante, donc pour k ≥ 2 : 1/k ≤ ∫_k−1^k dt/t ≤ 1/(k−1). En sommant pour k = 2, …, n (Chasles) : Σ_k=2ⁿ 1/k ≤ ln n ≤ Σ_k=1ⁿ⁻¹ 1/k.

1.e) 0 ≤ γ ≤ 1

L'inégalité de gauche donne H_n − 1 ≤ ln n, soit u_n ≤ 1. Celle de droite donne ln n ≤ H_n − 1/n, soit u_n ≥ 1/n ≥ 0. Par passage à la limite : 0 ≤ γ ≤ 1.

2.a) Expression de γ

u₁ = 1 et, pour k ≥ 2, u_k − u_k−1 = 1/k − ln(k/(k−1)). Donc u_n = 1 + Σ_k=2ⁿ(1/k − ln(k/(k−1))). Quand n → +∞ : γ = 1 + Σ_n≥2(1/n − ln(n/(n−1))) (la série converge puisque (u_n) converge).

2.b) Reste v_n

v_n = u_n − γ = −Σ_k=n+1^+∞(1/k − ln(k/(k−1))), c'est-à-dire v_n = Σ_k≥n+1(ln(k/(k−1)) − 1/k).

2.c) H_n = ln n + γ + 1/(2n) + o(1/n)

a_k = ln(k/(k−1)) − 1/k = −ln(1 − 1/k) − 1/k = 1/(2k²) + O(1/k³) ~ 1/(2k²) > 0. Pour des séries à termes positifs convergentes, les restes de termes équivalents sont équivalents : v_n ~ Σ_k>n 1/(2k²). Par comparaison série/intégrale, Σ_k>n 1/k² ~ 1/n (encadrement 1/(n+1) ≤ Σ_k>n1/k² ≤ 1/n). Donc v_n ~ 1/(2n), et H_n = ln n + γ + 1/(2n) + o(1/n).

3.a) Équivalent de w_n+1 − w_n

w_n = u_n − γ − 1/(2n). On a u_n+1 − u_n = 1/(n+1) − ln(1 + 1/n) = −1/(2n²) + 2/(3n³) + O(1/n⁴) et 1/(2n) − 1/(2(n+1)) = 1/(2n(n+1)) = 1/(2n²) − 1/(2n³) + O(1/n⁴). En additionnant : w_n+1 − w_n = (2/3 − 1/2)/n³ + O(1/n⁴), donc w_n+1 − w_n ~ 1/(6n³).

3.b) Deux équivalents

1/n² − 1/(n+1)² = (2n+1)/(n²(n+1)²) ~ 2/n³. Ainsi 1/k³ ~ ½(1/k² − 1/(k+1)²), termes positifs de séries convergentes : les restes sont équivalents, et le reste de droite est télescopique : Σ_k≥n 1/k³ ~ ½ · 1/n² = 1/(2n²).

3.c) Développement à l'ordre 2

w_n → 0, donc w_n = −Σ_k≥n(w_k+1 − w_k). Les termes sont positifs à partir d'un rang et ~ 1/(6k³), donc w_n ~ −(1/6)·1/(2n²) = −1/(12n²). D'où H_n = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) + o(1/n²).

4. Étude de m_n = min{k ∈ ℕ* | H_k ≥ n}

On écrit H_k = ln k + γ + ε_k avec ε_k = 1/(2k) + o(1/k) → 0.

• a) H_k ≥ ln k (car u_k ≥ 0) donc H_k → +∞ : l'ensemble {k | H_k ≥ n} est une partie non vide de ℕ*, elle admet un plus petit élément. m_n existe.
• b) H_mn ≥ n s'écrit ln m_n + γ + ε_mn ≥ n, soit m_n ≥ exp(n − γ − ε_mn). Pour n ≥ 2, H₁ = 1 < n donc m_n ≥ 2 et, par minimalité, H_mn−1 < n : ln(m_n − 1) < n − γ − ε_mn−1, soit m_n < 1 + exp(n − γ − ε_mn−1). (Précision : il faut n ≥ 2 pour que ε_mn−1 ait un sens.)
• c) H_mn ≥ n → +∞ impose m_n → +∞, donc ε_mn et ε_mn−1 → 0. En divisant l'encadrement par e^n−γ : e^−ε_mn ≤ m_ne^γ−n < e^γ−n + e^−ε_mn−1, les deux bornes tendent vers 1. m_n ~ e^n−γ.
• d) m_n+1/m_n ~ e^n+1−γ/e^n−γ = e, donc lim m_n+1/m_n = e.

Partie 2 : deux séries de fonctions

ζ(x) = Σ_n≥1 1/n^x sur ]1, +∞[ ; φ_n(x) = 1/n^x − ∫_nⁿ⁺¹ dt/t^x et ψ_n(x) = 1/n^x − 1/(n+1)^x. (L'énoncé définit φ_n, ψ_n sur ]1, +∞[ mais les étudie sur ]0, +∞[ : les formules ont un sens pour tout x > 0, on travaille donc sur ]0, +∞[.)

2.a) 0 ≤ φ_n(x) ≤ ψ_n(x)

Pour x > 0, t ↦ t^−x est décroissante sur [n, n+1] : 1/(n+1)^x ≤ ∫_nⁿ⁺¹ dt/t^x ≤ 1/n^x. En retranchant de 1/n^x : 0 ≤ φ_n(x) ≤ ψ_n(x).

2.b) Convergence simple

Σψ_n(x) est télescopique : Σ_n=1^N ψ_n(x) = 1 − 1/(N+1)^x → 1. Par comparaison de séries à termes positifs, Σφ_n(x) converge pour tout x > 0.

2.c) Continuité de φ

Chaque φ_n est continue (pour x ≠ 1, ∫_nⁿ⁺¹t^−xdt = (n^1−x − (n+1)^1−x)/(x−1), et pour x = 1 c'est ln(1+1/n), avec raccord continu ; ou théorème de continuité des intégrales à paramètre sur un segment). Soit a > 0 ; pour x ≥ a, le reste vérifie 0 ≤ Σ_k>N φ_k(x) ≤ Σ_k>N ψ_k(x) = 1/(N+1)^x ≤ 1/(N+1)^a → 0. La convergence est uniforme sur tout [a, +∞[, donc φ est continue sur ]0, +∞[.

2.d) K(x) = ζ(x) + 1/(1−x)

• i) Pour x > 1 : Σ_n=1^N φ_n(x) = Σ_n=1^N 1/n^x − ∫₁^N+1 dt/t^x = Σ_n=1^N 1/n^x − (1 − (N+1)^1−x)/(x−1). Quand N → +∞ : φ(x) = ζ(x) − 1/(x−1), soit K(x) = φ(x).
• ii) φ est continue en 1, donc K(x) → φ(1) quand x → 1⁺. De plus φ(1) = Σ(1/n − ln((n+1)/n)) = lim (H_N − ln(N+1)) = γ. La limite est finie et vaut γ.
• iii) ζ(x) = 1/(x−1) + K(x) = 1/(x−1) + γ + o(1), donc (x−1)ζ(x) → 1 : ζ(x) ~ 1/(x−1) en 1⁺.

3. La série alternée f_n(x) = (−1)ⁿ/n^x

• a) Pour x > 0, (1/n^x) décroît vers 0 : critère spécial des séries alternées, Σf_n converge simplement sur ]0, +∞[.
• b) Non. Si la convergence était uniforme, f_n = S_n − S_n−1 tendrait uniformément vers 0. Or sup_x>0 |f_n(x)| = 1 (limite de n^−x quand x → 0⁺), qui ne tend pas vers 0.
• c) f_n'(x) = (−1)ⁿ⁻¹ ln n / n^x. Soit a > 0 et x ≥ a. La fonction t ↦ ln t / t^x est décroissante sur [e^1/x, +∞[ ⊃ [e^1/a, +∞[. Pour n ≥ N₀ = ⌈e^1/a⌉, la série est alternée à termes décroissant vers 0, et le CSSA donne |R_n(x)| ≤ ln(n+1)/(n+1)^x ≤ ln(n+1)/(n+1)^a → 0, borne indépendante de x. Σf_n' converge uniformément sur [a, +∞[.
• d) Les f_n sont C¹, Σf_n converge simplement et Σf_n' converge uniformément sur tout [a, +∞[ : par le théorème de dérivation terme à terme, f est C¹ sur ]0, +∞[ et f'(x) = Σ_n≥1(−1)ⁿ⁻¹ ln n / n^x.

4. Lien entre f et ζ

• a) On sépare les indices pairs k = 2j et impairs k = 2j−1 (j = 1, …, n) : Σ_k=1²ⁿ 1/k^x = Σ_j=1ⁿ 1/(2j)^x + Σ_j=1ⁿ 1/(2j−1)^x = 2^−xΣ_j=1ⁿ 1/j^x + Σ_j=1ⁿ 1/(2j−1)^x.
• b) Même découpage : les pairs ont le signe +, les impairs le signe −, d'où Σ_k=1²ⁿ(−1)^k/k^x = 2^−xΣ_j=1ⁿ1/j^x − Σ_j=1ⁿ1/(2j−1)^x.
• c) Notons S_n(x) = Σ_k=1ⁿ1/k^x. Par a), la somme des impairs vaut S_2n − 2^−xS_n, donc b) devient Σ_k=1²ⁿ(−1)^k/k^x = 2^1−xS_n(x) − S_2n(x). Pour x > 1, n → +∞ (la suite extraite des sommes partielles paires converge vers f(x)) : f(x) = (2^1−x − 1) ζ(x).

5. Valeurs de deux séries

• a) Avec h = x − 1 → 0⁺ : 2^1−x − 1 = e^{−h ln 2} − 1 = −(ln 2)h + ((ln 2)²/2)h² + o(h²).
• b) D'après 2.d), ζ(x) = 1/h + γ + o(1). Produit : f(x) = (−(ln 2)h + ((ln 2)²/2)h² + o(h²))(1/h + γ + o(1)), soit f(x) = −ln 2 + ((ln 2)²/2 − γ ln 2)(x − 1) + o(x − 1).
• c) f est continue en 1 : Σ(−1)ⁿ/n = f(1) = lim_x→1⁺ f(x) = −ln 2. f est dérivable en 1, et par unicité du développement limité (à droite), f'(1) est le coefficient de (x−1) : Σ_n≥1(−1)ⁿ⁻¹ ln n / n = (ln 2)²/2 − γ ln 2 = ln 2 (ln 2 / 2 − γ).

Partie 3 : calcul de ∫₀^+∞(−ln u)e^−udu

I_n,k = ∫₀ⁿ ln(u)(1 − u/n)^k du (convergente en 0 car ln est intégrable en 0) et I_n = I_n,n.

1. Première relation

(1 − u/n)^k = (1 − u/n)^k−1 − (u/n)(1 − u/n)^k−1. En multipliant par ln u et en intégrant : I_n,k = I_n,k−1 + ∫₀ⁿ(−1/n) u ln u (1 − u/n)^k−1du.

2. Relation de récurrence (pour k ≥ 1)

Intégration par parties avec U = u ln u (U' = ln u + 1) et V = −(n/k)(1 − u/n)^k (V' = (1 − u/n)^k−1). Le crochet est nul : en n, (1 − u/n)^k = 0 ; en 0, u ln u → 0. Donc
∫₀ⁿ u ln u (1 − u/n)^k−1du = (n/k)∫₀ⁿ(ln u + 1)(1 − u/n)^kdu = (n/k)(I_n,k + n/(k+1)),
car ∫₀ⁿ(1 − u/n)^kdu = n/(k+1). En reportant dans 1 : I_n,k = I_n,k−1 − I_n,k/k − n/(k(k+1)), soit ((k+1)/k) I_n,k = I_n,k−1 − n/(k(k+1)). (L'énoncé écrit « tout entier naturel k » : il faut k ≥ 1.)

3. Calcul de I_n

• a) En multipliant par k : (k+1)I_n,k = k I_n,k−1 − n/(k+1), soit J_n,k = J_n,k−1 − n/(k+1).
• b) J_n,0 = I_n,0 = ∫₀ⁿ ln u du = n ln n − n. En sommant : J_n,n = n ln n − n − n Σ_k=1ⁿ 1/(k+1) = n ln n − n − n(H_n+1 − 1) = n(ln n − H_n+1). Comme H_n+1 = H_n + 1/(n+1), ln n − H_n+1 = −u_n − 1/(n+1). D'où I_n = J_n,n/(n+1) = −(n/(n+1))(u_n + 1/(n+1)).

4. Passage à la limite

• a) Pour u ∈ [0, n[, ln(1 − u/n) ≤ −u/n (concavité : ln(1+t) ≤ t), donc (1 − u/n)ⁿ = exp(n ln(1 − u/n)) ≤ e^−u ; pour u = n, 0 ≤ e⁻ⁿ. (1 − u/n)ⁿ ≤ e^−u.
• b) Convergence dominée : h_n(u) = (−ln u)(1 − u/n)ⁿ·1_[0,n](u) converge simplement vers (−ln u)e^−u sur ]0, +∞[ (car n ln(1 − u/n) → −u), et |h_n(u)| ≤ |ln u| e^−u, intégrable sur ]0, +∞[ (intégrable en 0 comme ln, et o(1/u²) en +∞). Donc lim ∫₀ⁿ(−ln u)(1 − u/n)ⁿdu = ∫₀^+∞(−ln u)e^−udu.
• c) Le membre de gauche vaut −I_n = (n/(n+1))(u_n + 1/(n+1)) → γ. Donc ∫₀^+∞(−ln u)e^−udu = γ (autrement dit Γ'(1) = −γ).

Partie 4 : loi de Gumbel

g(t) = exp(−t − e^−t) sur ℝ.

1. g est une densité

• a) G(t) = exp(−e^−t) a pour dérivée G'(t) = e^−texp(−e^−t) = g(t). Or G(t) → 0 en −∞ (e^−t → +∞) et G(t) → 1 en +∞. Donc ∫_−∞^+∞ g(t)dt converge et vaut 1.
• b) g est continue, positive, d'intégrale 1 sur ℝ : c'est une densité de probabilité.
• c) F_X(x) = ∫_−∞^x g = exp(−e^−x) pour tout réel x.

2. Espérance

Changement de variable C¹ bijectif u = e^−t (t = −ln u, dt = −du/u) : t g(t)dt devient (−ln u)·u e^−u·du/u, et t : −∞ → +∞ correspond à u : +∞ → 0. Donc ∫_−∞^+∞ |t| g(t)dt = ∫₀^+∞|ln u| e^−udu < +∞ (Partie 3), X admet une espérance, et E(X) = ∫₀^+∞(−ln u)e^−udu = γ.

3. Maximum de lois exponentielles

• a) F_X1(x) = 0 si x < 0 et 1 − e^−x si x ≥ 0.
• b) Par indépendance, P(M_n ≤ x) = P(X₁ ≤ x, …, X_n ≤ x) = Π P(X_i ≤ x) : F_Mn(x) = (1 − e^−x)ⁿ si x ≥ 0, 0 sinon. Puis F_Gn(x) = P(M_n ≤ x + ln n) : F_Gn(x) = (1 − e^−x/n)ⁿ si x ≥ −ln n, 0 sinon.

4. Convergence en loi

Fixons x réel. Pour n assez grand, x ≥ −ln n, et F_Gn(x) = exp(n ln(1 − e^−x/n)) → exp(−e^−x) = F_X(x), car n ln(1 − c/n) → −c. La convergence a lieu en tout réel (F_X est continue partout), donc (M_n − ln n) converge en loi vers X, de loi de Gumbel.

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP (Maths I) : intégrales généralisées (comparaison, intégration par parties avec crochet à justifier), intégrales de Gauss et de Wallis ; sommation des relations de comparaison (restes et sommes partielles de séries à termes positifs équivalents), comparaison série/intégrale, développement asymptotique de H_n jusqu'à l'ordre 1/n² ; critère spécial des séries alternées et majoration du reste ; convergence uniforme sur [a, +∞[ et théorème de dérivation terme à terme ; fonction ζ au voisinage de 1 et zêta alternée ; convergence dominée ; fonctions de répartition, maximum de variables indépendantes et convergence en loi. Coquilles de l'énoncé à signaler sur la copie : Exercice 3.d concerne I_2k ; Partie 1, 4.b suppose n ≥ 2 ; Partie 3, question 2 suppose k ≥ 1.