Modèle de concours : CNC 2012 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2012, filière MP, organisé pour l'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs (présidence : ENSIAS). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, énoncé de 5 pages. C'est un problème d'analyse en quatre parties intitulé « Fonctions de Bessel et équation de Kepler » : une intégrale à paramètre f_λ, la fonction Γ et la formule d'Euler (fonction Bêta), les fonctions de Bessel J_λ, puis l'équation de Kepler v = t + ε sin v (théorème des fonctions implicites, série entière en ε, série de Fourier en t). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les parties 1 et 2 sont indépendantes et très classiques (intégrales à paramètre, Γ, passage en polaires) : elles rapportent beaucoup de points et doivent être traitées vite et proprement. La partie 3 s'appuie sur trois outils : la relation −x f_λ+1 = (2λ+1) f'_λ, la formule (1) et Γ(1/2) = √π. La partie 4 n'utilise de la partie 3 que la formule J_n(x) = (1/π)∫₀^π cos(nθ − x sin θ) dθ : on peut l'aborder directement si l'on bloque.

1ère partie : une fonction définie par une intégrale (2λ > −1)

1.1. Intégrabilité

|e^{−ix cos θ} sin^2λθ| = sin^2λθ, fonction continue sur ]0, π[. En 0⁺, sin^2λθ ~ θ^2λ, intégrable car 2λ > −1 (Riemann) ; en π⁻, sin θ = sin(π − θ) ~ π − θ, même conclusion. La fonction est intégrable sur ]0, π[, et f_λ(x) est bien défini.

1.2. Forme réelle

On coupe en π/2 et on pose θ = π − u sur [π/2, π] : cos θ = −cos u, sin θ = sin u. D'où f_λ(x) = ∫₀^π/2 (e^{−ix cos θ} + e^{ix cos θ}) sin^2λθ dθ, soit f_λ(x) = 2∫₀^π/2 cos(x cos θ) sin^2λθ dθ : f_λ est à valeurs réelles.

1.3. Classe C^∞

h(x, θ) = e^{−ix cos θ} sin^2λθ est C^∞ en x, avec ∂^ph/∂x^p = (−i cos θ)^p e^{−ix cos θ} sin^2λθ, continue par morceaux en θ et dominée par sin^2λθ, intégrable et indépendante de x. Par le théorème de dérivation sous le signe intégrale (hypothèse de domination à tout ordre), f_λ ∈ C^∞(ℝ) et

f_λ^(p)(x) = ∫₀^π (−i cos θ)^p e^{−ix cos θ} sin^2λθ dθ.

1.4. Une équation différentielle

• 1.4.1. f''_λ(x) = −∫₀^π cos²θ e^{−ix cos θ} sin^2λθ dθ = −∫(1 − sin²θ) e^{−ix cos θ} sin^2λθ dθ, donc f''_λ = f_λ+1 − f_λ (λ+1 vérifie aussi 2(λ+1) > −1).
• 1.4.2. f'_λ(x) = −i∫₀^π cos θ sin^2λθ e^{−ix cos θ} dθ. Intégration par parties avec u = e^{−ix cos θ} (u' = ix sin θ e^{−ix cos θ}) et w = sin^2λ+1θ/(2λ+1) : le crochet est nul en 0 et π car 2λ+1 > 0. Donc ∫ cos θ sin^2λθ e^{−ix cos θ} dθ = −(ix/(2λ+1)) f_λ+1(x), puis f'_λ(x) = −i·(−ix/(2λ+1)) f_λ+1(x) = −x f_λ+1(x)/(2λ+1) : −x f_λ+1(x) = (2λ+1) f'_λ(x).
• 1.4.3. x f''_λ = x f_λ+1 − x f_λ = −(2λ+1) f'_λ − x f_λ, d'où x y'' + (2λ+1) y' + x y = 0 vérifiée par f_λ sur ℝ.

2ème partie : une formule d'Euler

2.1. Propriétés de Γ (p > 0)

• 2.1.1. IPP sur [ε, A] puis limites : Γ(p+1) = [−t^pe^−t]₀^+∞ + p∫₀^+∞ t^p−1e^−t dt, le crochet est nul (p > 0), donc Γ(p+1) = pΓ(p).
• 2.1.2. Γ(1) = ∫₀^+∞ e^−t dt = 1, et par récurrence Γ(n) = (n−1)!.
• 2.1.3. t ↦ t^p−1e^−t est continue, strictement positive sur ]0, +∞[ : son intégrale est > 0.
• 2.1.4. Changement de variable C¹ bijectif t = s², dt = 2s ds : Γ(p) = 2∫₀^+∞ s^2p−1e^−s² ds.

2.2. Formule (1)

• 2.2.1. Sur le pavé compact [0, a]², la fonction (x, y) ↦ x^2p−1e^−x²·y^2q−1e^−y² est continue (2p−1 ≥ 0, 2q−1 ≥ 0) et à variables séparées : Fubini donne I_p(a)I_q(a) = ∬_[0,a]² x^2p−1y^2q−1e^−x²−y² dx dy.
• 2.2.2. Coordonnées polaires x = r cos θ, y = r sin θ, (r, θ) ∈ [0, a] × [0, π/2], dx dy = r dr dθ. L'intégrande devient r^2p+2q−2 cos^2p−1θ sin^2q−1θ e^−r²·r, et Fubini sépare : ∬_D(a) … = I_p+q(a)·∫₀^π/2 cos^2p−1θ sin^2q−1θ dθ.
• 2.2.3. Notons K = ∫₀^π/2 cos^2p−1θ sin^2q−1θ dθ. Comme D(a) ⊂ [0, a]² ⊂ D(a√2) et l'intégrande est positive : K·I_p+q(a) ≤ I_p(a)I_q(a) ≤ K·I_p+q(a√2). D'après 2.1.4, I_p(a) → Γ(p)/2 quand a → +∞. Par encadrement : Γ(p)Γ(q)/4 = KΓ(p+q)/2, soit Γ(p)Γ(q) = 2Γ(p+q)∫₀^π/2 cos^2p−1θ sin^2q−1θ dθ.

2.3. Γ(1/2) et Γ(n + 1/2)

Avec p = q = 1/2 dans (1) : Γ(1/2)² = 2Γ(1)·π/2 = π et Γ(1/2) > 0, donc Γ(1/2) = √π.

Récurrence : vrai pour n = 0. Si Γ(n + 1/2) = (2n)!√π/(2²ⁿn!), alors Γ(n + 3/2) = (n + 1/2)Γ(n + 1/2) = (2n+1)(2n)!√π/(2·2²ⁿn!) ; en multipliant numérateur et dénominateur par 2n+2 = 2(n+1) : Γ(n + 3/2) = (2n+2)!√π/(2²ⁿ⁺²(n+1)!), ce qui conclut.

3ème partie : fonctions de Bessel

Rappel : J_λ(x) = C_λ(x/2)^λ f_λ(x) avec C_λ = 1/(Γ(1/2)Γ(λ + 1/2)) = 1/(√π Γ(λ + 1/2)).

3.1. J_1/2

f_1/2(x) = ∫₀^π e^{−ix cos θ} sin θ dθ ; avec u = cos θ : ∫₋₁¹ e^−ixu du = 2 sin x / x. Comme Γ(1/2) = √π et Γ(1) = 1 : J_1/2(x) = (√x/√2)·2 sin x/(x√π), soit J_1/2(x) = √(2/π)·sin x/√x. Comme sin x ~ x en 0 : J_1/2(x) ~ √(2/π)·√x quand x → 0⁺.

3.2. Relation de récurrence

D'après 1.4.2, f_λ+1 = −(2λ+1)f'_λ/x, et Γ(λ + 3/2) = (λ + 1/2)Γ(λ + 1/2). Donc J_λ+1(x) = (x/2)^λ+1·(−(2λ+1)f'_λ(x)/x)/(√π(λ + 1/2)Γ(λ + 1/2)) = −C_λ(x/2)^λf'_λ(x).

Or J'_λ(x) = (λ/x)J_λ(x) + C_λ(x/2)^λf'_λ(x). En éliminant : J_λ+1(x) = (λ/x)J_λ(x) − J'_λ(x).

3.3. Formule de J_n+1/2

Par définition Hⁿ(f) = H(Hⁿ⁻¹(f)) = (1/x)[Hⁿ⁻¹(f)]', d'où immédiatement [Hⁿ⁻¹(f)]'(x) = x Hⁿ(f)(x).

La relation 3.2 s'écrit J_λ+1 = −x^λ(x^−λJ_λ)' (dériver le produit pour le vérifier). En posant g_λ = x^−λJ_λ : g_λ+1 = −(1/x)g'_λ = −H(g_λ). Par récurrence g_n+1/2 = (−1)ⁿHⁿ(g_1/2), avec g_1/2(x) = √(2/π)·sin x/x (3.1). Donc

J_n+1/2(x) = (−1)ⁿ√(2/π)·x^n+1/2·((1/x)d/dx)ⁿ(sin x/x).

3.4. Équation de Bessel (E_λ)

Il suffit de traiter y = x^λf_λ (constante près). y' = λx^λ−1f + x^λf', y'' = λ(λ−1)x^λ−2f + 2λx^λ−1f' + x^λf''. Alors

x²y'' + xy' + (x² − λ²)y = x^λ[x²f'' + (2λ+1)x f' + x²f + (λ² − λ + λ − λ²)f] = x^λ+1[x f'' + (2λ+1)f' + x f] = 0 par (F_λ). J_λ est solution de (E_λ).

3.5. Développement en série

Par 1.2 et le DSE de cos : f_λ(x) = 2Σ_k≥0 ((−1)^kx^2k/(2k)!)∫₀^π/2 cos^2kθ sin^2λθ dθ. L'interversion somme/intégrale est justifiée car Σ ∫ |terme| ≤ ch(x)·∫₀^π/2 sin^2λθ dθ < +∞.

La formule (1) avec p = k + 1/2 et q = λ + 1/2 (tous deux > 0) donne ∫₀^π/2 cos^2kθ sin^2λθ dθ = Γ(k + 1/2)Γ(λ + 1/2)/(2Γ(λ + k + 1)). Avec 2.3, Γ(k + 1/2)/(2k)! = √π/(2^2kk!). D'où f_λ(x) = √π Γ(λ + 1/2) Σ (−1)^k(x/2)^2k/(k! Γ(λ + k + 1)), et en multipliant par C_λ(x/2)^λ :

J_λ(x) = (x/2)^λ Σ_k=0^+∞ (−1)^k/(k! Γ(λ + k + 1))·(x/2)^2k.

3.6. Comportement en 0⁺

f_λ est continue en 0 : lim f_λ = f_λ(0) = ∫₀^π sin^2λθ dθ = 2∫₀^π/2 sin^2λθ dθ = √π Γ(λ + 1/2)/Γ(λ + 1) (formule (1), p = 1/2, q = λ + 1/2). Ce réel est non nul, donc J_λ(x) ~ C_λ(x/2)^λf_λ(0), soit J_λ(x) ~ (1/Γ(λ+1))(x/2)^λ en 0⁺ (c'est aussi le terme k = 0 de 3.5).

3.7. Autre expression intégrale de J_n, n ∈ ℕ

• 3.7.1. Binôme : (e^iθ − e^−iθ)^n+2me^−inθ = Σ_j C(n+2m, j)(−1)^n+2m−je^{i(2j−2n−2m)θ}. Comme (1/2π)∫_−π^π e^ikθdθ vaut 1 si k = 0 et 0 sinon, seul j = n + m reste : (−1)^mC(n+2m, n+m) = (−1)^mC(n+2m, m).
• 3.7.2. ix sin α = (x/2)(e^iα − e^−iα), et la série exponentielle donne e^{ix sin α} = Σ_k≥0 (1/k!)(x/2)^k(e^iα − e^−iα)^k. On multiplie par e^−inα et on intègre terme à terme sur [−π, π] : convergence normale car |terme| ≤ x^k/k!. Le calcul de 3.7.1 (exposant 2j − k − n) montre que l'intégrale d'indice k est nulle sauf si k = n + 2m, m ∈ ℕ. Donc (1/2π)∫_−π^π e^{ix sin θ − inθ} dθ = Σ_m (−1)^mC(n+2m, m)(x/2)^n+2m/(n+2m)! = Σ_m (−1)^m(x/2)^n+2m/(m!(n+m)!), qui est J_n(x) d'après 3.5 (Γ(n+m+1) = (n+m)!). J_n(x) = (1/2π)∫_−π^π e^{ix sin θ − inθ} dθ.
• 3.7.3. J_n(x) est réel : on prend la partie réelle. θ ↦ cos(nθ − x sin θ) est paire et θ ↦ sin(x sin θ − nθ) est impaire, d'où J_n(x) = (1/π)∫₀^π cos(nθ − x sin θ) dθ. Le calcul de 3.7.2 n'utilise pas x > 0 : la formule vaut pour tout x réel, J_n étant prolongée à ℝ par sa série entière (rayon infini). Conséquence utile : |J_n(x)| ≤ 1.

4ème partie : l'équation de Kepler v = t + ε sin v

4.1. Existence et unicité de v

• 4.1.1. φ_ε est C^∞ et φ'_ε(x) = 1 − ε cos x ≥ 1 − |ε| > 0 : φ_ε est strictement croissante ; |φ_ε(x) − x| ≤ 1 donne les limites ±∞ en ±∞. C'est donc une bijection de ℝ sur ℝ, et comme φ'_ε ne s'annule pas, sa réciproque est C^∞ : φ_ε est un C^∞-difféomorphisme de ℝ.
• 4.1.2. v(t, ε) = t + ε sin v(t, ε) ⇔ φ_ε(v(t, ε)) = t ⇔ v(t, ε) = φ_ε⁻¹(t), ce qui définit v de façon unique.

4.2. Premières propriétés

• 4.2.1. φ_ε(0) = 0 et φ_ε(π) = π, donc v(0, ε) = 0 et v(π, ε) = π.
• 4.2.2. φ_ε est impaire : φ_ε(−v(t, ε)) = −t, donc v(−t, ε) = −v(t, ε).
• 4.2.3. φ_ε(x + 2π) = φ_ε(x) + 2π, donc φ_ε(v(t, ε) + 2π) = t + 2π, soit v(t + 2π, ε) = v(t, ε) + 2π. Alors v(t + 2π, ε) − (t + 2π) = v(t, ε) − t : t ↦ v(t, ε) − t est 2π-périodique.

4.3. Régularité

• 4.3.1. g est C^∞ sur 𝒰 (sommes et produits de fonctions C^∞) et ∂g/∂x = 1 − ε cos x ≥ 1 − |ε| > 0 : elle ne s'annule jamais sur 𝒰.
• 4.3.2. Soit (t₀, ε₀) et x₀ = v(t₀, ε₀) : g(t₀, ε₀, x₀) = 0 et ∂g/∂x ≠ 0. Le théorème des fonctions implicites fournit un voisinage V de (t₀, ε₀) et ψ ∈ C^∞(V) avec g(t, ε, ψ(t, ε)) = 0. Pour (t, ε) ∈ V, ψ(t, ε) est donc solution de φ_ε(x) = t, et par unicité (4.1.2) ψ = v sur V. v est C^∞ au voisinage de tout point, donc sur ℝ × ]−1, 1[.

4.4. Série entière en ε

• 4.4.1. On dérive v = t + ε sin v : ∂v/∂t = 1/(1 − ε cos v) et ∂v/∂ε = sin v/(1 − ε cos v), d'où ∂v/∂ε = (∂v/∂t)·sin v.
• 4.4.2. ∂/∂ε((∂v/∂t) sinⁿv) = (∂²v/∂ε∂t) sinⁿv + n sinⁿ⁻¹v cos v·(∂v/∂t)(∂v/∂ε), et ∂/∂t((∂v/∂ε) sinⁿv) = (∂²v/∂t∂ε) sinⁿv + n sinⁿ⁻¹v cos v·(∂v/∂ε)(∂v/∂t). Égalité par le théorème de Schwarz (v de classe C²).
• 4.4.3. Récurrence. n = 1 : c'est 4.4.1. Si ∂ⁿv/∂εⁿ = ∂ⁿ⁻¹/∂tⁿ⁻¹((∂v/∂t) sinⁿv), alors, en permutant les dérivations (Schwarz) puis avec 4.4.2 et 4.4.1 : ∂ⁿ⁺¹v/∂εⁿ⁺¹ = ∂ⁿ⁻¹_t∂_ε(v_t sinⁿv) = ∂ⁿ⁻¹_t∂_t(v_ε sinⁿv) = ∂ⁿ/∂tⁿ((∂v/∂t) sinⁿ⁺¹v). En ε = 0 (v(t, 0) = t) : ∂ⁿv/∂εⁿ(t, 0) = dⁿ⁻¹/dtⁿ⁻¹(sinⁿt), ce qui explique la série de Taylor en ε annoncée.
• 4.4.4. sinⁿ⁺¹t = (2i)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾Σ_j=0ⁿ⁺¹ C(n+1, j)(−1)^n+1−je^{i(2j−n−1)t}. Dériver n fois multiplie chaque terme par (i(2j−n−1))ⁿ, de module ≤ (n+1)ⁿ. D'où |dⁿ/dtⁿ(sinⁿ⁺¹t)| ≤ 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾·2ⁿ⁺¹(n+1)ⁿ = (n+1)ⁿ.
  Le coefficient de zⁿ dans la série étudiée est donc majoré en module par nⁿ⁻¹/n!. Pour Σ nⁿ⁻¹zⁿ/n!, le rapport des coefficients vaut (1 + 1/n)ⁿ⁻¹ → e (d'Alembert) : rayon 1/e. Par comparaison, le rayon de convergence est ≥ 1/e, indépendamment de t.

4.5. Série de Fourier en t

• 4.5.1. v_ε est impaire, donc a_n = 0 pour tout n ∈ ℕ (intégrale d'une fonction impaire, v_ε(t)cos(nt), sur [−π, π]).
• 4.5.2. b_n = (1/π)∫_−π^π v_ε(t) sin(nt) dt = (2/π)∫₀^π (v(t, ε) − t) sin(nt) dt. IPP : le crochet −(v − t)cos(nt)/n est nul en 0 et π (4.2.1), donc b_n = (2/(nπ))∫₀^π (∂v/∂t − 1) cos(nt) dt = (2/(nπ))∫₀^π (∂v/∂t) cos(nt) dt (car ∫₀^π cos(nt) dt = 0). Changement de variable u = v(t, ε), bijection C¹ croissante de [0, π] sur [0, π], avec t = u − ε sin u et (∂v/∂t)dt = du : b_n = (2/(nπ))∫₀^π cos(nu − nε sin u) du, soit par 3.7.3 b_n = (2/n)J_n(nε).
• 4.5.3. v_ε est 2π-périodique et C¹ : sa série de Fourier converge normalement vers v_ε sur ℝ (théorème de Dirichlet). Avec a_n = 0 : v(t, ε) = t + 2Σ_n≥1 (J_n(nε)/n) sin(nt).
• 4.5.4. Convergence : |J_n(nε)| ≤ 1 (3.7.3), donc le terme général est ≤ 1/n². Somme : Parseval donne Σ b_n² = (1/π)∫_−π^π v_ε² = (2/π)∫₀^π (v − t)² dt. Avec u = v(t, ε) : v − t = ε sin u et dt = (1 − ε cos u) du, donc ∫₀^π ε²sin²u(1 − ε cos u) du = ε²(π/2 − ε[sin³u/3]₀^π) = πε²/2. Ainsi Σ b_n² = ε², et comme b_n² = 4J_n(nε)²/n² : Σ_n≥1 (J_n(nε))²/n² = ε²/4. Contrôle : pour ε petit, J₁(ε) ≈ ε/2 donne bien ε²/4 au premier ordre.

💡 Résultats clés à retenir : f''_λ = f_λ+1 − f_λ ; −x f_λ+1 = (2λ+1)f'_λ ; Γ(p)Γ(q) = 2Γ(p+q)∫₀^π/2cos^2p−1sin^2q−1 ; Γ(1/2) = √π ; J_1/2 = √(2/π) sin x/√x ; J_λ+1 = (λ/x)J_λ − J'_λ ; J_n(x) = (1/π)∫₀^πcos(nθ − x sin θ)dθ ; v(t, ε) = t + 2Σ J_n(nε) sin(nt)/n ; Σ J_n(nε)²/n² = ε²/4. À réviser pour le CNC MP : intégrales à paramètre (continuité, dérivation, domination), fonction Γ et intégrales doubles (Fubini, polaires, encadrement par des quarts de disque), séries entières (rayon par d'Alembert, interversion série/intégrale), difféomorphismes et théorème des fonctions implicites, théorème de Schwarz, séries de Fourier (Dirichlet, Parseval) et changements de variable dans les intégrales. Soignez la rédaction : l'énoncé rappelle que les références des questions et la précision des justifications comptent dans la note.