Modèle de concours : CNC 2006 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2006, filière MP des classes préparatoires, pour l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : EMI). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. C'est un problème d'analyse en quatre parties autour de l'opérateur de moyenne de Cesàro (opérateur de Hardy) ψ(f)(x) = (1/x)∫₀^x f(t) dt : intégrales de Frullani et série de ln(1+t)/t, propriétés et valeurs propres de ψ sur E, inégalité de Hardy dans E₂ (‖ψ(f)‖ ≤ 2‖f‖), puis étude de l'ensemble des quotients ‖ψ(f)‖/‖f‖. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les parties s'enchaînent : la Partie I fournit deux intégrales (ln 2 via Frullani, π²/12) réutilisées en Partie IV ; la Partie II donne les valeurs propres ]0,1] qui servent en III-4 ; la formule (1) de III-2 est la clé de tout le reste (III-3, IV). Si vous bloquez, admettez le résultat en le citant et avancez. Soignez les justifications d'intégrabilité (prolongement par continuité en 0, comparaison en +∞) : elles rapportent des points faciles.

Première partie : deux intégrales classiques

1-1. Intégrabilité de (e^−at − e^−bt)/t

La fonction est continue sur ]0,+∞[. En 0 : e^−at − e^−bt = (b − a)t + o(t), donc elle tend vers b − a : prolongeable par continuité, intégrable sur ]0,1]. Pour t ≥ 1 : |…| ≤ e^−at + e^−bt, intégrable. Donc intégrable sur ]0,+∞[.

1-2.

I(a,b) = −I(b,a) est immédiat (on échange les deux termes). Le changement de variable u = at (C¹, bijectif croissant) donne I(a,b) = ∫₀^+∞ (e^−u − e^−(b/a)u)/u du = I(1, b/a).

1-3. φ(x) = I(1,x), x ≥ 1

• 1-3-1. Continuité. h(x,t) = (e^−t − e^−xt)/t est croissante en x et positive pour x ≥ 1. Sur [1,B] : 0 ≤ h(x,t) ≤ h(B,t), intégrable (1-1). Théorème de continuité sous le signe ∫ (domination locale) : φ est continue sur [1,+∞[.
• 1-3-2. Classe C¹. ∂h/∂x (x,t) = e^−xt, continue, et |e^−xt| ≤ e^−t intégrable pour x ≥ 1. Par dérivation sous ∫ : φ est C¹ et φ'(x) = ∫₀^+∞ e^−xt dt = 1/x.
• 1-3-3. φ(1) = 0, donc φ(x) = ln x.

1-4. Valeur de I(a,b)

Si b ≥ a : I(a,b) = φ(b/a) = ln(b/a). Si b < a : I(a,b) = −I(b,a) = −φ(a/b) = −ln(a/b) = ln(b/a). Dans tous les cas I(a,b) = ln(b/a) (formule de Frullani).

2-1.

ln(1+t)/t est continue sur ]0,1] et tend vers 1 en 0 : prolongeable par continuité, donc intégrable sur ]0,1].

2-2. Série Σ(−1)ⁿ xⁿ/(n+1)

Règle de d'Alembert : |a_n+1/a_n| = (n+1)/(n+2) → 1, donc R = 1. Pour 0 < |x| < 1 : Σ(−1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+1) = ln(1+x), donc la somme vaut S(x) = ln(1+x)/x, et S(0) = 1.

2-3. Convergence uniforme sur [0,1]

Pour x ∈ [0,1], la suite xⁿ/(n+1) est décroissante et tend vers 0 : critère des séries alternées, le reste vérifie |R_n(x)| ≤ xⁿ⁺¹/(n+2) ≤ 1/(n+2). Cette majoration est indépendante de x : convergence uniforme sur [0,1] (et la somme vaut ln(1+x)/x aussi en x = 1 par continuité).

2-4.

Intégration terme à terme sur le segment [0,1] (convergence uniforme) : ∫₀¹ ln(1+t)/t dt = Σ_n≥0 (−1)ⁿ/(n+1)² = Σ_n≥1 (−1)ⁿ⁻¹/n². Or Σ(−1)ⁿ⁻¹/n² = Σ1/n² − 2Σ1/(2n)² = (1 − 1/2)π²/6. Donc ∫₀¹ ln(1+t)/t dt = π²/12.

Deuxième partie : l'endomorphisme ψ de E

1-1.

f continue ⇒ g est la primitive de f nulle en 0 : g est C¹, g' = f. Pour x > 0, ψ(f)(x) = g(x)/x est continue ; en 0, g(x)/x → g'(0) = f(0) = ψ(f)(0). Donc ψ(f) ∈ E.

1-2. Limite finie λ (lemme de Cesàro)

Soit ε > 0 et A tel que |f(t) − λ| ≤ ε pour t ≥ A. Pour x > A : |ψ(f)(x) − λ| ≤ (1/x)|∫₀^A(f − λ)| + ε(x − A)/x. Le premier terme tend vers 0, donc |ψ(f)(x) − λ| ≤ 2ε pour x grand : ψ(f) → λ.
Réciproque fausse : f(x) = cos x donne ψ(f)(x) = sin x / x → 0, alors que cos n'a pas de limite.

1-3. Limite +∞

Pour M > 0, soit A avec f ≥ M sur [A,+∞[ : ψ(f)(x) ≥ (1/x)∫₀^A f + M(x − A)/x → M, donc ψ(f)(x) ≥ M/2 pour x grand : ψ(f) → +∞. Réciproque fausse : f(x) = x(1 + cos x) ne tend pas vers +∞ (f((2k+1)π) = 0), mais ψ(f)(x) = x/2 + sin x + (cos x − 1)/x → +∞.

1-4. h(x) = x f(x)

• 1-4-1. Pour x > 0, par IPP : ∫₀^x t f(t) dt = [t g(t)]₀^x − ∫₀^x g = x g(x) − ∫₀^x g. En divisant par x : ψ(h)(x) = g(x) − ψ(g)(x). En 0 : ψ(h)(0) = h(0) = 0 et g(0) − ψ(g)(0) = 0 − g(0) = 0.
• 1-4-2. Si ∫₀^+∞ f converge vers L, alors g → L, donc ψ(g) → L (1-2), d'où ψ(h) = g − ψ(g) → 0. Réciproque fausse : f(t) = 1/((1+t) ln(2+t)) n'est pas intégrable (Bertrand), mais h(t) = t f(t) → 0 donc ψ(h) → 0 d'après 1-2.

1-5. Inégalité 0 ≤ ψ(√f) ≤ √ψ(f)

Positivité évidente. Pour x > 0, Cauchy-Schwarz : (∫₀^x √f · 1)² ≤ x ∫₀^x f, soit ψ(√f)(x)² ≤ ψ(f)(x). En 0 il y a égalité (√f(0)). Égalité en x > 0 si et seulement si √f et 1 sont colinéaires sur [0,x], c'est-à-dire f constante sur [0,x] ; égalité partout ⇔ f constante.

2. Propriétés de ψ

• 2-1. ψ est linéaire (linéarité de l'intégrale) et ψ(E) ⊂ E (1-1) : endomorphisme de E.
• 2-2. ψ(f) = 0 ⇒ g(x) = 0 pour tout x > 0 ⇒ f = g' = 0 : ψ injectif.
• 2-3. Si F = ψ(f), alors x F(x) = g(x) est C¹, donc F est C¹ sur ]0,+∞[. La fonction x ↦ |x − 1| est dans E mais n'est pas dérivable en 1 : ψ n'est pas surjectif.

3. Équation λx f'(x) + (λ − 1) f(x) = 0

• 3-1. Équation linéaire du 1^er ordre : f' = (1/λ − 1) f/x, donc f(x) = C x^{1/λ − 1}, C ∈ ℝ.
• 3-2. Pour C ≠ 0, une limite finie en 0⁺ exige 1/λ − 1 ≥ 0, i.e. (1 − λ)/λ ≥ 0 : λ ∈ ]0,1] (pour λ < 0 l'exposant est < −1, pour λ > 1 il est dans ]−1,0[ : limite infinie). La fonction nulle est toujours prolongeable.

4. Valeurs propres de ψ

• 4-1. ψ est injectif : 0 n'est pas valeur propre.
• 4-2. Si ψ(f) = μf, alors μ ≠ 0 et f = ψ(f)/μ ; or ψ(f)(x) = g(x)/x est dérivable sur ]0,+∞[ : f dérivable sur ]0,+∞[.
• 4-3. ψ(f) = μf s'écrit g(x) = μ x f(x). En dérivant : f = μf + μx f', soit μx f' + (μ − 1) f = 0 : f(x) = C x^{1/μ − 1} sur ]0,+∞[, et f ∈ E impose (3-2) μ ∈ ]0,1]. Réciproquement, pour α = 1/μ − 1 ≥ 0, f(x) = x^α vérifie ψ(f)(x) = x^α/(α + 1) = μ x^α (et en 0 : 0 = 0, ou f constante si μ = 1). Sp(ψ) = ]0,1], et E_μ = Vect(x ↦ x^{1/μ − 1}) (droite ; les constantes pour μ = 1).

Troisième partie : ψ sur E₂ (inégalité de Hardy)

1. Structure de E₂

• 1-1. |fg| ≤ (f² + g²)/2, intégrable : fg intégrable sur ℝ⁺.
• 1-2. 0 ∈ E₂ et (f + λg)² = f² + 2λfg + λ²g² est intégrable : sous-espace vectoriel.
• 1-3. Forme bien définie (1-1), bilinéaire, symétrique, positive ; définie : ∫f² = 0 avec f² continue positive ⇒ f = 0. C'est un produit scalaire.

2-1.

g(t) ~ f(0) t en 0 (g' = f continue), donc g²(t)/t → 0 (si f(0) = 0, g(t) = o(t) et la conclusion subsiste). Limite 0.

2-2. Formule (1)

Pour t > 0, g²(t)/t² = ψ(f)(t)², qui tend vers f(0)² en 0 : intégrable sur ]0,b]. IPP sur [ε,b] avec (−1/t)' = 1/t² et (g²)' = 2fg :
∫_ε^b g²/t² dt = −g(b)²/b + g(ε)²/ε + 2∫_ε^b f(t) g(t)/t dt.
Quand ε → 0, g(ε)²/ε → 0 (2-1), et g(b)²/b = b ψ(f)(b)², g/t = ψ(f) : ∫₀^b ψ(f)² = −bψ(f)(b)² + 2∫₀^b f ψ(f).

2-3.

−bψ(f)(b)² ≤ 0, puis Cauchy-Schwarz sur [0,b] : ∫₀^b ψ(f)² ≤ 2∫₀^b fψ(f) ≤ 2(∫₀^b f²)^1/2(∫₀^b ψ(f)²)^1/2.

2-4.

Si ∫₀^b ψ(f)² > 0, on divise : (∫₀^b ψ(f)²)^1/2 ≤ 2(∫₀^b f²)^1/2 ≤ 2‖f‖ (vrai aussi sinon). La fonction b ↦ ∫₀^b ψ(f)² est croissante et majorée par 4‖f‖² : ψ(f) ∈ E₂ et ‖ψ(f)‖ ≤ 2‖f‖ (inégalité de Hardy).

2-5.

ψ₂ est linéaire et vérifie ‖ψ₂(f)‖ ≤ 2‖f‖ : ψ₂ est un endomorphisme continu de (E₂, ‖.‖), de norme subordonnée ≤ 2 (on verra en IV-5 qu'elle vaut exactement 2).

3. f ∈ E₂

• 3-1. D'après (1) : bψ(f)(b)² = 2∫₀^b fψ(f) − ∫₀^b ψ(f)². Les deux intégrales convergent quand b → +∞ (fψ(f) intégrable par III-1-1, ψ(f) ∈ E₂), donc xψ(f)(x)² a une limite ℓ ≥ 0. Si ℓ > 0, ψ(f)(x)² ~ ℓ/x, non intégrable en +∞ : contradiction. Donc xψ(f)²(x) → 0.
• 3-2. En faisant b → +∞ dans (1) : ‖ψ(f)‖² = 2(f | ψ(f)).

4. Cas ‖ψ(f)‖ = 2‖f‖

‖ψ(f) − 2f‖² = ‖ψ(f)‖² − 4(f|ψ(f)) + 4‖f‖² = ‖ψ(f)‖² − 2‖ψ(f)‖² + 4‖f‖² = 4‖f‖² − ‖ψ(f)‖² = 0. Donc ψ(f) = 2f ; comme 2 ∉ ]0,1] = Sp(ψ) (II-4-3), f = 0.

Quatrième partie : l'ensemble {‖ψ(f)‖/‖f‖}

1. f_a(x) = e^−ax

• 1-1. f_a² = e^−2ax intégrable : ‖f_a‖² = 1/(2a).
• 1-2. ψ(f_a)(x) = (1 − e^−ax)/(ax) pour x > 0, et 1 en 0. Puis (f_a|ψ(f_a)) = (1/a)∫₀^+∞ (e^−ax − e^−2ax)/x dx = (1/a) I(a,2a) = ln 2 / a. Par III-3-2, ‖ψ(f_a)‖² = 2 ln 2 / a, d'où ‖ψ(f_a)‖/‖f_a‖ = 2√(ln 2) (≈ 1,665, indépendant de a).

2. f(x) = 1/(x+1)

• 2-1. ψ(f)(x) = ln(1+x)/x pour x > 0, ψ(f)(0) = 1.
• 2-2. ‖f‖² = ∫₀^+∞ dx/(1+x)² = 1, donc f ∈ E₂. (f|ψ(f)) = ∫₀^+∞ ln(1+t)/(t(1+t)) dt. Sur [1,+∞[, poser t = 1/u : ln(1+1/u) = ln(1+u) − ln u et dt/(t(1+t)) = −du/(1+u), ce qui donne ∫₀¹ (ln(1+u) − ln u)/(1+u) du. Comme ln(1+t)/(t(1+t)) + ln(1+t)/(1+t) = ln(1+t)/t, on obtient (f|ψ(f)) = ∫₀¹ (ln(1+t)/t − ln t/(1+t)) dt.
• 2-3. (ln t · ln(1+t))' = ln(1+t)/t + ln t/(1+t) : une primitive est t ↦ ln t · ln(1+t). Comme ln t · ln(1+t) ~ t ln t → 0 en 0, ∫₀¹ ln t/(1+t) dt = 0 − ∫₀¹ ln(1+t)/t dt = −π²/12. D'où (f|ψ(f)) = π²/12 + π²/12 = π²/6, ‖ψ(f)‖² = π²/3 et ‖ψ(f)‖/‖f‖ = π/√3 (≈ 1,814).

3. f positive, décroissante, non nulle

f décroissante ⇒ ψ(f)(x) = (1/x)∫₀^x f ≥ f(x), et f ≥ 0 ⇒ (f|ψ(f)) ≥ ‖f‖², donc ‖ψ(f)‖² = 2(f|ψ(f)) ≥ 2‖f‖². Inégalité stricte : en cas d'égalité, la fonction continue positive f(ψ(f) − f) serait nulle ; sur l'intervalle [0,c[ où f > 0 (f(0) > 0 car f décroissante non nulle) on aurait ∫₀^x f = x f(x) avec f décroissante, donc f constante égale à f(0) sur [0,c[. Si c = +∞, f constante non nulle n'est pas dans E₂ ; si c < +∞, la continuité donne f(c) = f(0) > 0, contradiction. Donc ‖ψ(f)‖/‖f‖ > √2.

4. Continuité et image

• 4-1. ψ₂ est linéaire continue (III-2-5), la norme est continue, et ‖f‖ ≠ 0 sur E₂∖{0} : le quotient est continu.
• 4-2. E₂∖{0} est connexe par arcs (dimension infinie : deux vecteurs non colinéaires se joignent par le segment, qui évite 0 ; si g = λf avec λ < 0, on passe par un troisième vecteur non colinéaire). L'image d'un connexe par arcs par une application continue à valeurs réelles est un intervalle. Il est dans ]0,2[ : > 0 car ψ injectif, ≤ 2 par III-2-4, ≠ 2 par III-4.

5. L'ensemble est exactement ]0,2[

5-1. f_s(t) = t sur [0,1] (affine, f_s(0) = 0, f_s(1) = 1), t^s pour t ≥ 1, avec s ∈ ]−1,−1/2[.

• 5-1-1. 2s < −1 donc t^2s intégrable en +∞ : ‖f_s‖² = 1/3 − 1/(2s+1) ~ −1/(2s+1) quand s → −1/2 (2s + 1 → 0⁻).
• 5-1-2. ψ(f_s)(x) = x/2 sur ]0,1] ; pour x ≥ 1, ψ(f_s)(x) = x^s/(s+1) + c/x avec c = (s − 1)/(2(s + 1)). Avec III-3-2 : (f_s|ψ(f_s)) = 1/6 − 1/((s+1)(2s+1)) − c/s, d'où
  ‖ψ(f_s)‖² = 1/3 − 2/((s+1)(2s+1)) − (s−1)/(s(s+1)) ~ −4/(2s+1) quand s → −1/2 (s + 1 → 1/2). (Formule vérifiée par calcul direct de ∫ψ(f_s)².)
• 5-1-3. ‖ψ(f_s)‖²/‖f_s‖² → 4, donc le quotient tend vers 2 ; comme l'ensemble est majoré par 2, sa borne supérieure vaut 2.

5-2. f(t) = t^α sur [0,1], t^−α−1 sur [1,+∞[ (continue en 1), α > 0.

• 5-2-1. ‖f‖² = 1/(2α+1) + 1/(2α+1) = 2/(2α+1).
• 5-2-2. ψ(f)(x) = x^α/(α+1) sur ]0,1] ; pour x ≥ 1, ψ(f)(x) = K/x − x^−α−1/α avec K = 1/α + 1/(α+1) = (2α+1)/(α(α+1)). Alors (f|ψ(f)) = (2α+1)/(α(α+1)²) − 1/(α(α+1)(2α+1)) et
  ‖ψ(f)‖² = 2(2α+1)/(α(α+1)²) − 2/(α(α+1)(2α+1)) ~ 4/α² en +∞.
• 5-2-3. ‖ψ(f)‖²/‖f‖² ~ (4/α²)·(2α/2) = 4/α → 0 : la borne inférieure est 0.

Conclusion : l'ensemble est un intervalle inclus dans ]0,2[, de bornes 0 et 2 non atteintes, donc {‖ψ(f)‖/‖f‖ ; f ∈ E₂∖{0}} = ]0,2[, et la norme de ψ₂ vaut 2.

💡 Résultats clés à retenir : I(a,b) = ln(b/a) ; ∫₀¹ ln(1+t)/t = π²/12 ; Sp(ψ) = ]0,1] avec E_μ = Vect(x^1/μ−1) ; ‖ψ(f)‖ ≤ 2‖f‖ et ‖ψ(f)‖² = 2(f|ψ(f)) ; quotients 2√(ln 2), π/√3, et image ]0,2[. À réviser pour le CNC MP : intégrales à paramètre (continuité, dérivation, domination locale), intégrabilité et comparaison, séries entières et interversion série-intégrale, séries alternées, lemme de Cesàro, équations différentielles linéaires du 1^er ordre, espaces préhilbertiens (Cauchy-Schwarz, cas d'égalité), endomorphismes continus et norme subordonnée, connexité par arcs et images continues.