Modèle : Concours d'accès en 1ère année des ENSA - épreuve de Mathématiques — Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2023

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année des ENSA du Maroc, session de juillet 2023. QCM de 20 questions (Q1 à Q20), quatre propositions, une seule bonne réponse. La durée n'est pas imprimée sur ces pages. Voici une correction proposée avec, pour chaque question, le raisonnement qui permet de conclure vite.

💡 Méthode : ces QCM récompensent les réflexes (somme des racines, racines de l'unité, changement de variable x ↦ 1/x, puissance d'un point). Si un calcul s'annonce long, cherchez la propriété qui le court-circuite : c'est presque toujours l'intention du sujet.

Q1 — Réponse : C) 11

La suite alterne deux opérations dont le paramètre augmente : 6 −2 → 4, ×2 → 8, −3 → 5, ×3 → 15, puis −4 → 11.

Q2 — Réponse : A) 0

Un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. Déplacer le premier chiffre à la fin ne change pas la somme des chiffres : y est aussi divisible par 9, le reste est 0.

Q3 — Réponse : C) 8

150 = 2 × 3 × 5². Si a·b = 150 avec a et b premiers entre eux, chacun des facteurs 2, 3 et 5² va en entier dans a ou dans b : 2 choix pour chacun, soit 2³ = 8 couples ordonnés (a, b) d'entiers naturels : (1,150), (150,1), (2,75), (75,2), (3,50), (50,3), (6,25), (25,6).

Q4 — Réponse : D) n'admet pas de solution entière

Modulo 3 : 9x⁵ − 12x⁴ + 6x ≡ 0, donc le premier membre est ≡ −5 ≡ 1 (mod 3) pour tout entier x : il ne peut pas s'annuler. (Vérification : une racine entière diviserait 5 ; or P(1) = −2, P(−1) = −32, P(±5) ≠ 0.)

Q5 — Réponse : B) 1

n² ≤ n² + 2n < (n + 1)², donc [√(n² + 2n)] = n et u_n²+2n = √(n² + 2n) − n = 2n/(√(n² + 2n) + n) = 2/(√(1 + 2/n) + 1) → 1.

Q6 — Réponse : B) 1

On pose t = e^−x → 0⁺ : e^x sin(e^−x) = sin t / t → 1.

Q7 — Réponse : A) 0

|cos(x² + x − 1)/x| ≤ 1/x → 0 quand x → +∞ (fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers l'infini).

Q8 — Réponse : B) f est une constante

Si f prenait deux valeurs entières distinctes p < q, le théorème des valeurs intermédiaires lui ferait prendre toutes les valeurs entre p et q, en particulier des non-entiers : contradiction. f est donc constante.

Q9 — Réponse : A) f′(0)

Avec x = y = 0 : f(0)(1 − f(0)²) = 2f(0), soit f(0)(1 + f(0)²) = 0, donc f(0) = 0. On dérive l'identité par rapport à y puis on pose y = 0 : f′(x)(1 − f(x)f(0)) − f(x+0)·f(x)f′(0) = f′(0), c'est-à-dire f′(x) − f(x)²f′(0) = f′(0). D'où f′(x) = f′(0)(1 + f(x)²) et f′(x)/(1 + f(x)²) = f′(0). (C'est la formule d'addition de la tangente : f(x) = tan(kx) convient.)

Q10 — Réponse : C) 0

Changement de variable x = 1/t (dx = −dt/t²) : ln x = −ln t et 1 + x² = (1 + t²)/t², donc I = ∫_α^1/α (−ln t)·t²/(1 + t²)·(−dt/t²) = ∫_α^1/α ln t/(1 + t²) dt = −I. Donc I = 0.

Q11 — Réponse : D) π³/48 + π/8

I + J = ∫₀^π/2 x² dx = (π/2)³/3 = π³/24. J − I = ∫₀^π/2 x² cos 2x dx. Par deux intégrations par parties, une primitive de x² cos 2x est (x²/2) sin 2x + (x/2) cos 2x − (1/4) sin 2x ; entre 0 et π/2 on obtient (π/4)·cos π = −π/4. Donc 2I = π³/24 + π/4 et I = π³/48 + π/8.

Q12 — Réponse : C) 1/1446

(cos x)¹⁴⁴⁵ sin x = −u′u¹⁴⁴⁵ avec u = cos x ; primitive −cos¹⁴⁴⁶x/1446. Entre 0 et π/2 : 0 − (−1/1446) = 1/1446.

Q13 — Réponse : B) 4

Pour az² + bz + c = 0, z₁ + z₂ = −b/a = 4i. Donc Im(z₁) + Im(z₂) = Im(z₁ + z₂) = 4. (Inutile de résoudre : Δ = 16i, et les racines 2i ± √2(1 + i) ont bien des parties imaginaires de somme 4.)

Q14 — Réponse : C) 4⁵⁰⁰

(1 + i)² = 2i, donc (1 + i)²⁰⁰⁰ = (2i)¹⁰⁰⁰ = 2¹⁰⁰⁰·i¹⁰⁰⁰ = 2¹⁰⁰⁰ (car 1000 est multiple de 4) = 4⁵⁰⁰.

Q15 — Réponse : A) i

i(7 − 15i) = 7i + 15 = 15 + 7i, donc (7 − 15i)/(15 + 7i) = 1/i = −i. (−i)²⁰²³ = −i²⁰²³ ; 2023 = 4 × 505 + 3, donc i²⁰²³ = i³ = −i, et (−i)²⁰²³ = i.

Q16 — Réponse : A) 0

1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ avec ω = e^2iπ/5 est la somme des racines 5^e de l'unité : (ω⁵ − 1)/(ω − 1) = 0. Donc 0¹⁰⁰⁰ = 0.

Q17 — Réponse : C) e^4x − e^3x

Équation caractéristique r² − 7r + 12 = 0 : r = 3 ou r = 4. f(x) = Ae^4x + Be^3x ; f(0) = A + B = 0 et f′(0) = 4A + 3B = 1 donnent A = 1, B = −1 : f(x) = e^4x − e^3x.

Q18 — Réponse : A) 8/(3√7)

d_A = |2·1 + 0 + 2 + 4|/√(4 + 1 + 1) = 8/√6. d_B = |−3 + 10 − 4 − 5|/√(1 + 25 + 16) = 2/√42. d_Ad_B = 16/√252 = 16/(6√7) = 8/(3√7).

Q19 — Réponse : B) −1/3 + π/2

Intersections : 1/(1 + x²) = x²/2 ⇔ x⁴ + x² − 2 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1. Sur [−1, 1] la cloche est au-dessus : A = ∫₋₁¹ (1/(1 + x²) − x²/2) dx = [arctan x]₋₁¹ − [x³/6]₋₁¹ = π/2 − 1/3.

Q20 — Réponse : C) 3

Pour une tangente issue de A, AM² est la puissance de A par rapport au cercle, obtenue en remplaçant (x, y) par les coordonnées de A dans l'équation : 1 + 4 + 1 − 3·(−2) − 3 = 9. Donc AM = 3. (Vérification : centre Ω(−½, 3/2), R² = ¼ + 9/4 + 3 = 11/2 ; AΩ² = 9/4 + 49/4 = 29/2 ; AM² = AΩ² − R² = 9.)

Récapitulatif