Modèle concours d'accès — ENSAM Casablanca-Meknès (concours commun) 2016 — Physique — Sciences mathématiques A et B

Ce modèle est l'épreuve de physique du concours d'entrée en 1^ère année des années préparatoires de l'ENSAM Casablanca-Meknès, séries Sciences Mathématiques A/B, 1^er août 2016, durée 2 h, notée sur 68 points. Elle comprend quatre parties indépendantes : deux parties rédigées (mécanique sur 20 points, électricité sur 24 points) et deux QCM (12 points chacun ; réponse juste +2, réponse fausse −1). Voici une correction proposée.

💡 Stratégie : dans les QCM une réponse fausse coûte un point : ne cochez que si vous avez éliminé les autres propositions par un calcul ou par une vérification d'homogénéité.

Physique I (Mécanique) — Exercice 1

Partie 1 : tige horizontale

La longueur du ressort est l = AM = √(x² + h²).

1.1. La force de rappel est dirigée suivant MA et vaut, en notant u le vecteur unitaire de A vers M : T = −k(√(x² + h²) − l₀)·u. Sa composante le long de la tige (seule utile au mouvement, cos de l'angle = x/l) est :

T_x = −k·x·(1 − l₀/√(x² + h²)).

1.2. Le poids ne travaille pas (tige horizontale), seule l'énergie élastique compte : E_p = ½k(l − l₀)² + cste. Avec E_p(0) = 0 :

E_p(x) = ½k(√(x² + h²) − l₀)² − ½k(h − l₀)².

1.3. Équilibre : dE_p/dx = k·x·(1 − l₀/√(x² + h²)) = 0, d'où :

• x = 0, dans tous les cas ;
• si l₀ > h : x = ±√(l₀² − h²) (positions où le ressort a sa longueur à vide).

1.4. On calcule d²E_p/dx² = k(1 − l₀/l) + k·l₀·x²/l³, et la pulsation des petites oscillations est ω = √(E_p''/m) là où E_p'' > 0 :

• en x = 0 : E_p'' = k(1 − l₀/h). Position stable si h > l₀, avec ω = √(k(h − l₀)/(m·h)) ; instable si h < l₀ ;
• en x = ±√(l₀² − h²) (cas l₀ > h) : E_p'' = k(l₀² − h²)/l₀² > 0, positions stables, avec ω = √(k(l₀² − h²)/(m·l₀²)).

Partie 2 : tige inclinée en rotation

On lit la figure ainsi : la tige part de A, situé sur l'axe vertical, descend vers M en faisant l'angle θ₀ avec l'axe, et tourne à la vitesse angulaire constante ω. On repère M par r = AM et on se place dans le référentiel tournant.

1.5. Forces projetées sur la tige (sens de A vers M) : rappel −k(r − l₀), poids +m·g·cos θ₀, force d'inertie centrifuge m·ω²·(r·sin θ₀)·sin θ₀. La réaction de la tige (sans frottement) et la force de Coriolis sont perpendiculaires à la tige. D'où :

m·r'' = −k(r − l₀) + m·g·cos θ₀ + m·ω²·r·sin²θ₀, soit r'' + (k/m − ω²·sin²θ₀)·r = k·l₀/m + g·cos θ₀.

1.6. Position d'équilibre (r'' = 0) : r_éq = (k·l₀ + m·g·cos θ₀)/(k − m·ω²·sin²θ₀). Période : T = 2π/√(k/m − ω²·sin²θ₀).

1.7. Le mouvement reste borné (oscillations) si le coefficient de r est positif : ω < ω_max avec ω_max = (1/sin θ₀)·√(k/m). Au-delà, la masselotte s'éloigne indéfiniment.

Physique I (Mécanique) — Exercice 2 : point sur une cycloïde

2.1. dx = b(1 + cos θ)dθ et dy = b·sin θ·dθ, donc ds² = b²(2 + 2cos θ)dθ² = 4b²·cos²(θ/2)·dθ². En intégrant depuis O (θ = 0) : S = 4b·sin(θ/2).

2.2. E_p = m·g·y = m·g·b(1 − cos θ) = 2m·g·b·sin²(θ/2). Comme sin(θ/2) = S/(4b) : E_p(S) = m·g·S²/(8b) (origine des énergies en O).

2.3. Pas de frottement : l'énergie mécanique ½m·S'² + m·g·S²/(8b) est constante. En dérivant par rapport au temps : S'' + (g/(4b))·S = 0. C'est un oscillateur harmonique de pulsation √(g/(4b)), donc T = 2π√(4b/g) = 4π√(b/g), indépendante de l'amplitude.

QCM Physique I (Mécanique)

1 — Réponse c. v = (2 ; 2t), a = (0 ; 2). |v| = 2√(1 + t²) et |v ∧ a| = 4. R_c = |v|³/|v ∧ a| = 8(1 + t²)^3/2/4 = 2(1 + t²)^3/2.

2 — Réponse b. Roulement sans glissement : la vitesse angulaire vaut x'/R. Énergie mécanique : ½m·x'² + ½J(x'/R)² + ½k·x² = ¾m·x'² + ½k·x² = cste. En dérivant : (3/2)m·x'' + k·x = 0, soit x'' + (2k/3m)·x = 0.

3 — Réponse probable : c. La durée de chute s'écrit t = ∫ dz/v entre 0 et h. Avec un champ uniforme g₀, v = √(2g₀(h − z)) et l'intégrale d redonne exactement √(2h/g₀), c'est-à-dire la proposition b : b et d décrivent donc le champ uniforme et ne peuvent être justes ici. La proposition a dépend de z, ce qui n'a pas de sens pour une durée totale. Reste c, seule à contenir le facteur correctif (1 + z/R) dû à la variation de g : on l'obtient en écrivant v² = 2g(z)(h − z), soit v = √(2g₀(h − z))/(1 + z/R). Le calcul rigoureux par conservation de l'énergie donne un facteur voisin, √((1 + z/R)(1 + h/R)).

4 — Réponse d. K₁ et K₂ sont en série du même côté de M : raideur k₁k₂/(k₁ + k₂). Cet ensemble et K₃ agissent de part et d'autre de M : leurs forces de rappel s'ajoutent (association en parallèle). k_éq = k₃ + k₁k₂/(k₁ + k₂).

5 — Réponse d. Choc élastique frontal sur une cible au repos de masse αm : la vitesse du neutron devient v₁ = v₀(1 − α)/(1 + α). L'énergie cinétique est donc multipliée par [(1 − α)/(1 + α)]² à chaque choc, et par [(1 − α)/(1 + α)]²ⁿ après n chocs (le coefficient est noté k dans les propositions).

6 — Réponse c. G(z) = G·M/(R + z)², donc √(G₁/G₂) = (R + z₂)/(R + z₁). On en tire √(G₁/G₂) − 1 = (z₂ − z₁)/(R + z₁), d'où R = (z₂ − z₁)/(√(G₁/G₂) − 1) − z₁. Les propositions a et b, sans racine carrée, sont fausses. Remarque : la proposition d est la même formule après échange des indices 1 et 2, elle est donc mathématiquement exacte elle aussi ; on coche une seule case, c.

Physique II (Électricité) — Exercice 1

Lecture du schéma : les armatures supérieures de C₁ et C₂ sont reliées par le fil du haut ; la position (1) de K₁ et de K₃ mène au fil du bas, leur position (2) au fil du haut ; pour K₂, (1) est une borne libre, (2) mène au fil du bas et (3) à la borne − du générateur.

Partie A : K₁, K₂, K₃ en position (1)

Le générateur est hors circuit. C₁, R₁, R₂ et C₂ forment une seule maille : C₁ se décharge dans C₂ à travers 2R, avec q₁ + q₂ = q₀.

1.1. Loi des mailles : q₁/C − q₂/C + 2R·dq₁/dt = 0. Avec q₂ = q₀ − q₁ : dq₁/dt + q₁/(RC) = q₀/(2RC).

1.2. Solution avec q₁(0) = q₀ : q₁(t) = (q₀/2)(1 + e^−t/RC). Donc i_C1(t) = dq₁/dt = −(q₀/(2RC))·e^−t/RC (courant de décharge, d'intensité q₀/(2RC) à t = 0).

1.3. En régime permanent : i_C1(∞) = 0 ; chaque condensateur porte q₀/2.

1.4. Énergie initiale : q₀²/(2C). Énergie finale : 2 × (q₀/2)²/(2C) = q₀²/(4C). Énergie dissipée par effet Joule : w = q₀²/(4C), indépendante de R.

Partie B : K₁ en (1), K₂ et K₃ en (2)

R₂ se trouve en parallèle avec C₂, et C₁ se décharge à travers R₁ dans cet ensemble. La tension u₂ = q₂/C vérifie alors u₂'' + 2α·u₂' + u₂/(RC)² = 0, avec le 2α de l'énoncé.

1.5. Équation caractéristique : s² + 2α·s + 1/(RC)² = 0, de racines s = −α ± β (réelles, car β² = 5/(4R²C²) > 0). Conditions initiales : q₂(0) = 0 ; à t = 0 tout le courant de R₁, égal à q₀/(RC), charge C₂, donc dq₂/dt(0) = q₀/(RC). D'où :

q₂(t) = (q₀/(2β·RC))·e^−αt·(e^βt − e^−βt).

q₂ croît, passe par un maximum, puis tend vers 0 (C₂ se décharge dans R₂).

Partie C : K₁ et K₃ en (2), K₂ en (3)

Le générateur alimente deux blocs en série : (R₁ en parallèle avec C₁) et (R₂ en parallèle avec C₂).

1.6. En régime permanent les condensateurs ne laissent plus passer de courant : i(∞) = E/(R₁ + R₂) = E/(2R).

1.7. Le courant débité s'écrit i = dq₁/dt + q₁/(RC) = dq₂/dt + q₂/(RC), et la loi des mailles donne q₁ + q₂ = CE. En remplaçant q₂ = CE − q₁ : dq₁/dt + q₁/(RC) = E/(2R).

1.8. Solution générale : q₁(t) = CE/2 + A·e^−t/RC. Le générateur étant idéal et branché sans résistance en série sur les deux condensateurs identiques, la maille impose q₁ + q₂ = CE dès t = 0⁺ avec q₁ = q₂ : la charge passe aussitôt à CE/2, donc A = 0 et q₁(t) = CE/2 pour t > 0 (réponse probable). Si l'on impose au contraire q₁(0) = 0 dans la solution générale, on écrit q₁(t) = (CE/2)(1 − e^−t/RC) ; les deux écritures ont la même limite CE/2.

Physique II (Électricité) — Exercice 2

Notations : u tension commune aux deux branches, u_C tension du condensateur, i = i₁ + i₂.

2.1. u = R·i₂ = r·i₁ + L·di₁/dt et E = u_C + u, avec i = C·du_C/dt = −C·du/dt = −RC·di₂/dt. Donc i₁ = i − i₂ = −RC·i₂' − i₂. En reportant :

i₂'' + (r/L + 1/(RC))·i₂' + ((R + r)/(R·L·C))·i₂ = 0.

2.2. Valeurs numériques : r/L = 100 s^-1 ; 1/(RC) = 1/(1000 × 10^-5) = 100 s^-1 ; (R + r)/(RLC) = 1100/10^-2 = 1,1.10⁵ s^-2. L'équation est i₂'' + 200·i₂' + 1,1.10⁵·i₂ = 0. Racines : s = −100 ± j√(1,1.10⁵ − 10⁴) = −100 ± j·100√10 : régime pseudo-périodique, de pseudo-pulsation ω = 100√10 ≈ 316 rad/s.

Conditions initiales : u_C(0) = 0 donc u(0) = E et i₂(0) = E/R = 0,2 A ; la bobine impose i₁(0) = 0, donc i(0) = 0,2 A et i₂'(0) = −i(0)/(RC) = −20 A/s. Avec i₂ = e^−100t(A·cos ωt + B·sin ωt) : A = 0,2 et −100A + ωB = −20, donc B = 0.

i₂(t) = 0,2·e^−100t·cos(316t) (en ampères, t en secondes).

2.3. i₂' = 0 donne tan ωt = −100/ω = −1/√10 ; le premier minimum correspond à ωt = π − 0,306 = 2,835 rad, soit t ≈ 8,97 ms. Alors cos ωt = −√(10/11) = −0,953 et e^−100t = e^−0,897 ≈ 0,408 : (i₂)_min ≈ 0,2 × 0,408 × (−0,953) ≈ −0,078 A (−78 mA).

2.4. u_C = E − R·i₂ est maximale quand i₂ est minimale : U_max = 200 + 1000 × 0,078 ≈ 278 V. En régime permanent, u_C tend vers E = 200 V.

QCM Physique II (Électricité)

1.1 — Réponse a : 2,86 µC. En position 1, C₁ prend la charge Q = C₁·E = 10 µC. En position 2, cette charge se répartit entre C₁ et C₂ sous la tension commune U = Q/(C₁ + C₂) = 10/3,5 = 2,86 V, donc Q₁ = C₁·U = 2,86 µC.

1.2 — Réponse a : 14,3 µJ. W = ½(C₁ + C₂)·U² = Q²/(2(C₁ + C₂)) = 100/7 ≈ 14,3 µJ (contre 50 µJ au départ : le reste est dissipé lors du transfert).

2.1 — Réponse a : R. À ω = ω₀, les admittances de L et de C en parallèle se compensent (circuit bouchon) : il ne reste que R.

2.2 — Réponse a : ½√(L/C). Le régime critique correspond à λ = 1 : 1/(2RCω₀) = 1, donc R = 1/(2Cω₀) = √(LC)/(2C) = ½√(L/C).

3 — Réponse a : R. Notons P et Q les deux nœuds intermédiaires. Les résistances sont A–P, A–Q, P–Q, P–B et Q–B, toutes égales à R (celle du haut, sans étiquette propre, est prise égale à R) : c'est un pont équilibré. P et Q sont au même potentiel, la branche P–Q n'est parcourue par aucun courant, et il reste deux branches de 2R en parallèle : R_AB = R.

4 — Réponse probable : d. Un voltmètre se branche en dérivation et ne doit presque pas dévier de courant : il se comporte comme une résistance de très forte valeur (supérieure au mégohm). La proposition b (interrupteur ouvert, résistance infinie) décrit le voltmètre idéal ; d décrit l'appareil réel et est la plus exacte.