Modèle concours d'accès — ENSAM Meknès 2008 — Mathématiques — filière Sciences Mathématiques A et B
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux grandes écoles organisé par École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) Meknès (2008), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) Meknès
- Grade
- Concours d'accès aux grandes écoles
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2008
- Pages
- 3
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 —
Université Moulay Ismaïl إ:
Ecole N'ationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès
CONCO URS D’ENTREE en lère Année
Filière : Sciences Mathématiques A et B
Epreuve de Mathématiques
Mardi 22/07/08 - Durée : 30 071
N.B. + La rédaction peut être en français ou en arabe
* La rigueur du raisonnement, la clarté de la rédaction et la qualité de la présentation seront
des éléments importants d’appréciation de la copie.
| Exercice 1 , Barème : 10 Pts (chaque question est notée sur 2Pts) ||
1.1 Résoudre le système des équations linéaires suivant : x + 2y + 3z = 0, 3x + + 22 - 1 et 2x +3y+z=2
1.2 Soit À, B et © trois ensembles non vide et on suppose que AN B = ANC et AUB = AUC. Que peut-on
dire de B et C ? (avec justification)
Q1.3 Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère les points À, B et C de coordonnés respectives
—1, 0), (2, 4) et (3, 3). Calculer l’aire du triangle ABC.
1.4 On considère l’énoncé P : “ Si le carreau est vert alors il est en marbre ”. Donner la négation de P.
1.5 Soit = € 18 et on considére l’équation : 2? +1 = 0. Nous pouvons encore l’écrire : (x + 1)? — 22 = 0 ou
(æ +1)? = 2x. Comme un carré est toujours positif ou nul, on en déduit : x › 0. Mais notre équation de départ
peut également s’écrire : (x — 1(2 + 2 =0 ou 22 = —(2— 1). Comme un carré est toujours positif ou nul, on en
déduit : x ‹ 0. On à vu que x › 0 et z ‹ 0, donc x = 0. Pourtant 0 ne vérifie pas l’équation de départ. Où est
l’erreur ? (avec explication)
Exercice II , Barème : 10 Pts (chaque question est notée sur 2Pts) |
100
2.1 Calculer E(x)dx
0
2.2 Soit f une fonction dérivable et sa dérivée est continue sur [@, b] avec a › b. On suppose que
; f4(x)dæ = 1 13)*(4« = 4 f*(æ)dx, montrer que f est constante sur [a, b]. (NB. f2(=) = f(=)f(=))
Z. Quelle valeur faut-il donner à € م avec 7 - »)1 -ج
2.3 Soit f la fonction définie pour x # 1 par f (=) =
(1) pour rendre f continue en 1 ?
2
.4 Une petite fille compte sur ses doigts : 1 sur le pouce, 2 sur l’index, 3 sur le majeur, 4 sur l’annulaire, 5 sur
l’auriculaire, 6 sur l’annulaire, 7 sur le majeur, 8 sur l’index, 9 sur le pouce et ainsi de suite …
Son père lui demande ce qu’elle fait. “ Je veux savoir sur quel doigt tombera 9999 ” répond-elle. Pouvez-vous lui
donner la réponse ?
Q2.5 I] y à un an, Youssef avait l'âge “ à l’envers ” de sa mère (les mêmes chiffres lus dans l’autre sens). L’an
prochain, Youssef aura l’âge “ à l'envers de son père ”. Cette année la somme des âges des parents est égale à
102. Quel est l’âge actuel de Youssef ?
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Les réponses doivent figurer sur cette feuille de l’épreuve
1 Exercice III : QCM , Barème : 145
Attention : Afin de pénaliser les réponses basées sur le hasard, l’exercice est noté en entier de la
manière suivante : Notons par n et m respectivement le nombre de réponses justes et fausses. La note
attribuée à l’exercice sera :
n+2 sin › 10
n sim‹5
0 sim›5
“ La vie est complexe car nous avons tous une partie réelle et une partie imaginaire ”
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Q3.01 : Vr € IN, VYy € IN, 3z € IN, a = عن
Q3.02 : 72 6 N, 3y 6 IN, 72 6 N, 2 =yz
Q3.03 : Sept cars (identiques) pleins aux deux tiers partent de Meknès à Fès, un quart des
touristes descend de chaque car. Les trois quarts des touristes restants sont rassemblés dans
trois cars.
Q3.04 : Le produit de deux fonctions négatives décroissantes est une fonction croissante | |
Q3.05 : Si à est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante
sur Ja, + oof, alors im f (æ) = —œo
Q3.06 : Une fonction ni continue ni monotone peut être bijective
1
Q3.07 : Soient les fonctions u (x) = Inæ et v (x) = et i on note par Duov Et Dyou les ensembles
pu ESS 2
de définition respectifs عل uov et vou. On à Duov = Duou
Q3.08 : On note F l’ensemble des applications f continues de JR dans IR vérifiant
La fonction جرع 27° appartient F
1 si x # 1 et telle que f (1) = 1 admet une
Q3.09 : La fonction f:2—x—1+
tangente en tout point de R
7/3 7/3
Q3.10 : On considère I; = 1 ces se et و1 = |
— ور Sinæ ورم COST
sinæ
dæ, on a h = 1,
93.11 : L’équation 10x$ + x — 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [0]
Q3.12 : La fonction f définie sur IR par f (x) = — (2? + 30 +1) e” est une solution sur IR de
l'équation différentielle أن — y = (2x + 3) €
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Exercice IV : Questions à réponse précise, Barème : 12Pts |
| Répondre dans la colonne réponse
Barème
Q4.01 : Citer parmi les propositions A, B, C et D celles
2Pts ; an B: (PetQ)=—R
qui sont équivalentes ? 0: Pas )0 جد 7(
Q4.02 : Soit f : x — f (x) une fonction deux fois dévivable |
1Pt sur ]-1,1[ et soit la fonction F : جرع f (sint) définie sur
] › = ; : 1 Déterminer la dérivée seconde de F.
Q4.03 : Calculer lim vVaz+e+l-x
Q4.04 : On considère l’ensemble E = {a, b, c, d, e, f, 9}-
a) Déterminer le cardinal de l’ensemble P (E) des parties
2Pts de F.
b) Soient A = {a, b, d, f} un des sous.ensembles de E,
calculer le nombre d’applications de F dans À.
Q4.05 : Soit و la fonction définie sur l'intervalle ]
par :
opt 215) = (2+-Uin(a+0—{e-1inte—1
Calculer او (æ)
3
Q4.06 : Calculer l’intégrale / ln
44.07 : Déterminer l’ensemble f (I) dans les cas suivants :
2Pts —{ 651 Jo, 1]
Q4.08 : Soit A le point de coordonnées (1, — 2) et D la
1Pt droite d’équation 3x + 4y — 1 = 0. Calculer la distance de À
Q4.09 : Calculer la partie réelle et imaginaire du complexe
Q4.10 : Au fond d’un puits de 12 m se trouve un escargot.
Pendant la journée, il grimpe de 3 m. Mais chaque nuit,
il glisse de 2 m. Il commence son ascension le ler juin à 8
heures. Quel jour et quelle heure sortira-t-il du puits ?
1Pt
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année de l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) de Meknès, Université Moulay Ismaïl, filière Sciences mathématiques A et B, session du mardi 22 juillet 2008, durée 3 h. Quatre exercices :
- I : questions de raisonnement (10 pts) ;
- II : analyse et énigmes (10 pts) ;
- III : vrai/faux pénalisé (14 pts) ;
- IV : questions à réponse précise (12 pts).
Voici une correction proposée.
💡 Attention au barème de l'exercice III : 5 réponses fausses ou plus donnent 0 à tout l'exercice. Ne répondez que lorsque vous êtes sûr, et réservez vos doutes aux questions « piège » (quantificateurs, domaines de définition).
Exercice I
Q1.1 En additionnant les trois équations : 6x + 6y + 6z = 3, donc x + y + z = 1/2. En retranchant cette relation de chaque équation :
- y + 2z = −1/2 ;
- 2x + z = 1/2 ;
- x + 2y = 3/2.
D'où y = −1/2 − 2z et x = 1/4 − z/2. En remplaçant dans x + 2y = 3/2 : −3/4 − 9z/2 = 3/2, donc z = −1/2, puis y = 1/2 et x = 1/2.
S = {(1/2 ; 1/2 ; −1/2)} (vérification : 1/2 + 1 − 3/2 = 0 ; 3/2 + 1/2 − 1 = 1 ; 1 + 3/2 − 1/2 = 2).
Q1.2 B = C. Soit x ∈ B.
- Si x ∈ A, alors x ∈ A∩B = A∩C, donc x ∈ C.
- Si x ∉ A, comme x ∈ A∪B = A∪C, on a x ∈ C.
Dans les deux cas x ∈ C, donc B ⊂ C. Par symétrie des hypothèses, C ⊂ B.
Q1.3 Vecteurs AB(3 ; 4) et AC(4 ; 3). Aire = ½|det(AB, AC)| = ½|3×3 − 4×4| = 7/2 unités d'aire (repère orthonormé ; dans un repère seulement orthogonal, l'unité d'aire est le rectangle construit sur les deux vecteurs de base).
Q1.4 P est une implication « vert ⇒ marbre » ; non(A ⇒ B) ≡ A et non B. Négation : « Le carreau est vert et il n'est pas en marbre. »
Q1.5 Le raisonnement n'utilise que des implications. Il montre : « si x est une solution réelle, alors x ≥ 0 et x ≤ 0, donc x = 0 ». C'est une condition nécessaire, pas suffisante. On a seulement prouvé que l'ensemble des solutions est inclus dans {0}. La vérification (0² + 1 = 1 ≠ 0) montre que 0 n'est pas solution. La bonne conclusion est donc : l'équation n'a aucune solution réelle, ce qui était évident puisque x² + 1 ≥ 1. L'erreur est de lire les implications comme des équivalences.
Exercice II
Q2.1 Sur [k, k+1[, E(x) = k, donc ∫₀¹⁰⁰ E(x)dx = Σk=099 k = 99×100/2 = 4950.
Q2.2 Posons I = ∫f² = ∫f³ = ∫f⁴. Alors ∫ab f²(f − 1)² dx = ∫f⁴ − 2∫f³ + ∫f² = I − 2I + I = 0.
- La fonction f²(f − 1)² est continue (f est dérivable) et positive, d'intégrale nulle sur [a, b] avec a < b : elle est identiquement nulle.
- Pour tout x, f(x) = 0 ou f(x) = 1.
- f est continue sur l'intervalle [a, b] : si elle prenait les deux valeurs, elle prendrait aussi, par le théorème des valeurs intermédiaires, la valeur 1/2, qui n'est ni 0 ni 1. Impossible.
Donc f est constante (f ≡ 0 ou f ≡ 1).
Q2.3 Posons h = x − 1. Alors f(x) = (sin h / h) · h1−p/|h|, et sin h / h → 1. Donc |f(x)| ~ |h|−p quand h → 0.
- p ≥ 1 : |f| → +∞, aucun prolongement possible.
- p = 0 : f(x) ~ h/|h|, qui vaut 1 à droite et −1 à gauche ; les limites diffèrent, aucun prolongement possible.
- p ≤ −1 : |f| ~ |h|−p → 0. Il faut poser f(1) = 0.
Conclusion : f est prolongeable par continuité en 1 seulement si p ≤ −1, avec f(1) = 0.
Q2.4 La suite des doigts est périodique de période 8 : pouce (1), index (2), majeur (3), annulaire (4), auriculaire (5), annulaire (6), majeur (7), index (8), puis pouce (9) = 1 + 8, etc.
- 9999 = 8 × 1249 + 7, et le reste 7 correspond au majeur.
- Contrôle : 7 est bien sur le majeur, dans le sens du retour.
Q2.5 Notons Y l'âge actuel de Youssef, M celui de la mère et P celui du père, avec M + P = 102.
- Conditions : Y − 1 est l'âge M − 1 lu à l'envers, et Y + 1 est l'âge P + 1 lu à l'envers.
- Écrivons M − 1 = 10a + b, donc Y − 1 = 10b + a, et P + 1 = 10c + d, donc Y + 1 = 10d + c.
- La différence donne (10d + c) − (10b + a) = 2. La somme M + P = 102 donne 10(a + c) + (b + d) = 102.
- La recherche des chiffres donne une seule solution : a = 4, b = 1, c = 6, d = 1.
Vérification : il y a un an, Youssef avait 14 ans et sa mère 41 ; l'an prochain, Youssef aura 16 ans et son père 61 ; cette année 42 + 60 = 102. Youssef a 15 ans.
Exercice III — Vrai ou Faux
- Q3.01 : Faux. Pour x = 1 et y = 2 (ou y = 0), aucun entier z ne vérifie 1 = 2z.
- Q3.02 : Faux. Pour x = 1, il faudrait yz = 1 pour tout z, ce qui est impossible pour z = 0.
- Q3.03 : Faux (réponse probable). Soit c la capacité d'un car.
- Au départ : 7 × 2c/3 = 14c/3 touristes.
- Après la descente d'un quart : 3/4 × 14c/3 = 3,5c touristes restants, soit les trois quarts de l'effectif initial.
- 3,5c > 3c : ces trois quarts restants ne tiennent pas dans trois cars.
- Si l'on comprend « les trois quarts des restants », on obtient 2,625c ≤ 3c et la phrase deviendrait vraie : l'énoncé est ambigu.
- Q3.04 : Vrai. Pour x < y : f(x) ≥ f(y) et, les valeurs étant négatives, |f(x)| ≤ |f(y)| ; de même pour g. Donc f(x)g(x) = |f(x)||g(x)| ≤ |f(y)||g(y)| = f(y)g(y).
- Q3.05 : Faux. Contre-exemple : f(x) = 1/x sur ]0, +∞[, strictement décroissante, de limite 0.
- Q3.06 : Vrai. Exemple : f(0) = 1, f(1) = 0 et f(x) = x ailleurs. C'est une bijection de ℝ, discontinue en 0 et en 1, et non monotone.
- Q3.07 : Faux. Les deux domaines sont différents :
- Du∘v : (x+1)/(x−1) > 0, soit ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ ;
- Dv∘u : x > 0 et ln x ≠ 1, soit ]0, e[ ∪ ]e, +∞[.
- Q3.08 : Vrai. f(x+y)f(x−y) = 2−(x+y)²−(x−y)² = 2−2x²−2y² = (f(x)f(y))², f est continue et f(0) = 1 ≥ 0.
- Q3.09 : Faux. Pour x > 1, f(x) = x ; pour x < 1, f(x) = x − 2. f n'est pas continue en 1 (limite à gauche −1, f(1) = 1), donc pas de tangente en 1.
- Q3.10 : Vrai. Le changement de variable t = π/2 − x échange [π/6, π/3] avec lui-même et cos/sin avec sin/cos. Les deux intégrales valent ½ ln 3.
- Q3.11 : Vrai. g(x) = 10x³ + x − 1 est continue, avec g(0) = −1 < 0 et g(1) = 10 > 0 : le théorème des valeurs intermédiaires s'applique.
- Q3.12 : Faux. f′(x) = −(2x+3)ex − (x²+3x+1)ex, donc f′ − f = −(2x+3)ex ≠ (2x+3)ex.
Exercice IV — Réponses précises
| Question | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| Q4.01 | B et C | B ≡ C ≡ ¬P ∨ ¬Q ∨ R (exportation). En revanche A ≡ (P ∧ ¬Q) ∨ R et D ≡ (P ∨ Q) ⇒ R ≡ (¬P ∧ ¬Q) ∨ R. |
| Q4.02 | F″(t) = cos²t · f″(sin t) − sin t · f′(sin t) | F′(t) = cos t · f′(sin t), puis dérivée d'un produit. |
| Q4.03 | 1/2 | La variable est x (le « n » de l'énoncé est une coquille). √(x²+x+1) − x = (x+1)/(√(x²+x+1) + x), dont la limite est 1/2. |
| Q4.04 | a) 2⁷ = 128 ; b) 4⁷ = 16 384 | Card 𝒫(E) = 2card E ; une application de E dans A choisit une image parmi 4 pour chacun des 7 éléments. |
| Q4.05 | g′(x) = ln((x+1)/(x−1)) | [ln(x+1) + 1] − [ln(x−1) + 1]. |
| Q4.06 | 6 ln 2 − 3 ln 3 = 3 ln(4/3) ≈ 0,863 | C'est g(3) − g(2) = (4 ln 4 − 2 ln 2) − (3 ln 3 − 0). |
| Q4.07 | a) ]−∞, −1[ ; b) [0, 1] | a) x² − 1 décrit ]−1, 0[, donc 1/(x² − 1) décrit ]−∞, −1[. b) sin décrit ]0, 1] sur ]0, π[ et sin π = 0. |
| Q4.08 | 6/5 | d = |3×1 + 4×(−2) − 1| / √(3² + 4²) = 6/5. |
| Q4.09 | Re = −512, Im = 0 | 1 + i√3 = 2eiπ/3, donc la puissance 9 vaut 2⁹e3iπ = −512. |
| Q4.10 | Le 10 juin, en fin de montée diurne | Chaque cycle jour + nuit fait gagner 1 m : le matin du jour k, l'escargot est à k − 1 m. Le 10 juin à 8 h, il est à 9 m ; il grimpe ses 3 m dans la journée et atteint le bord (12 m) à la fin de sa montée, sans redescendre. L'heure exacte dépend de la durée de la « journée », que l'énoncé ne donne pas (par exemple 20 h pour une journée de 8 h à 20 h). |
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