Modèle concours d'accès — École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) Meknès 2007 — Mathématiques

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Université My Ismail 21 Juillet 2007
ENSAM-Meknès

Concours d’accès en Première année

Epreuve de Mathématiques
se Serences ‏سا ساحن‎ A et B et Sciences $ ‏اس عا‎

Durée : 3 heures 30 min

Exercice 1 (10 pts):

Pour chacune des questions qui suivent, dire, sans justification, si elle est vraie ou fausse. Pour chacune des
questions, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Soient les expressions logiques
1.2. L'expression (*) est vraie dans le cas où l’on a l’expression : (p ou r ) est se
. Soient les quantificateurs ‏يوك يو‎ € {3; V} et l’expression
(xxx) Q.x EN, Qy EN, 02 EN, x =yz.
)+**( n’est vraie que dans un seul cas.
. Soient A, B et C trois ensembles quelconques.
3.1.Onatoujours (AUB)\(AUC)‹c AU(B\C).
3.2. On n’a jamais (AU B)\ (AU 0 = AU(B\C).
. Soit P(x) = x? — 6x? + 13x — 10
4.1. (2 — x) divise P(x).
4.2. (2 — à) et (2013 — €) sont des racines de P(x).
. Soit f:R › R continue en 0 et en 1 et telle que f(x?) = f (x), alors f est constante.
. Soit f:R › R continue et périodique alors f n’est pas bornée.
. Soit f:{0,+co[ › R continue et telle qu’il existe k € R t.q.:0 › f(x) › f fOdt alors f = 0.

Exercice 2 (10 pts):

A (8 pts). « Deux fonctions continues qui commutent se recoupent forcément. »
Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] › 18 et commutant par composition c.à.d. : fog = gof.

1. Soit la fonction h(x) = ‏ور )زر‎ — x . Montrer qu’ 36 € [0,1] t.q. h(a) = 0. On dit alors que a est un
point fixe de la fonction f.
Hypothèse H : On suppose qu'il n'existe aucun L € [0,1] t.g. fl) = g(D.
. Soit@:[0,1] › Rt.g. (x) = f(x) — g(x). Montrer que ‏م‎ est de signe constant.
. Soit la suite (4,)n définie par la donnée ‏من‎ = a et 4,41 = gt)
3.1.Montrer que (u,), est bornée.
3.2. Montrer que Vn E Nu, est un point fixe de [ .
3.3. Montrer que (un), est monotone et en déduire l’existence d’un certain 1 € [0,1] tel que
lim, +0 Un = l
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4.1. Montrer que /)1( = 1 et que gl) ‏1ح‎
‎4.2. Conclure.

B (2 pts). « On ne peut être dépassé par moins rapide que soi »
Soient deux fonctions continues et dérivables f et g de [0,1] ‏ج‎ R* décrivant les trajectoires de deux corps
désignés par M, et M, dans le plan (O, x, y), le temps étant représenté par la variable x. On suppose qu’à
l’instant initial x = 0 les deux corps partent du même endroit c.à.d. (0) = g(0) et que M; se déplace en
tout instant plus vite que M, c.à.d. f'(x) ‹ g’(x) Vx € [0,1] . Montrer alors que M, ne peut jamais dépasser

Exercice 3 (9 pts):

Notations : Soient a et b deux entiers dans N° , on note bla si b est un diviseur de a et on définit Da =
{d EN" : dja } l’ensemble des diviseurs de a. On note, enfin, à A b le plus grand commun diviseur de a et b
qui vaut le plus grand élément de l’ensemble Da N Dp.

Montrer que Dan = Da N Dp-
Montrer que Va,b,ceN* (GAb) Ac=(arb) A(bac). 1
Soit n E N°, onpose S, = ‏.3م رولا‎ Montrer que S, = (CR, k)? = (er?) ;
Soitun entier ‏م‎ € N* quelconque.

4.1. Calculer ‏وروي‎ / S2p+1-

4.2. Calculer Sap+1 À Sap+2-

4.3. Calculer S2p À S2p+1 À Sap+2-

4.4. Calculer S2p41 À Sap+2 À S2p43-

. Calculer (S, ASp7+1) ‏دبوك ا‎ VnEN.

su 55

Problème 1 (22 pts):
Partie À : Questions préliminaires (7 pts)

1. Soit (Un)nen Une suite dans Z supposée convergente vers l € R.
1.1 Montrer qu’il exist mEN tqs Vnzm lu, — 1| › La
12 Montrerque Vvnzm = Ju, - ‏أدبملا‎ › 1/5.
1.3 En déduire que (Un)nam ©st constante. :
« Ona montré que si (Un)nen est une suite dans Z convergente alors elle est stationnaire. »
2. Soient f une fonction continue et positive et F sa primitive sur [a,b] c.à.d: 4 f(Ddt = F().
2.1 Montrer que F est croissante.
2.2 Supposons qu’Ax, € [a, b] ‏.و‎ f(xo) › 0, montrer alors qu’il existe un intervalle 1 © [a,b] tel
que x, €! etvérifiant f(@)›0 7]
2.3 Déduire de 2.1 et2.2 que si f › 0 telle que 01 1)042 0 alors f =0.
2.4 Soit M E R* t.q. f › M et g une autre fonction continue et positive sur [a,b] . Montrer que
SL f©g(Ddt › M f? gddt.

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Partie B (7 pts):

Soient p,qetnE€ N°. Ondéfinit B,() = = (ax —p)"X" et LL = ff P, (x) sin(æ) dx.
1. Montrer que P,(0) et P, 8 sont dans 7
2. Montrer que

nou,
et que ;
3. Endéduireque (P,)®(0) et (PB) 2 eZ = VkeN".
4. Vérifierqu’3MER* supp |X(4X — p)| ‹ TM.
S. Montrer que Vp,q EN L es 0.
Partie C (8 pts):
Supposons qu’3 p,q EN* telsque x = £
1. Montrer que 711 6 N° nez
2. Montrer qu’ilexise NEN 7 ‹7 In =0.
3. En déduire que P,,(T/5)=0 7 ‹
4. Savez-vous ce que vous avez démontré ?

Problème 2 (9 pts):

Soient up, U, donnés dans R** et Un42 = YnEN.

2
“Junss + un ;

Onpose v, =1/ et 4-(s, 1
2 fun /2

. Montrerque u, ‹ 0, 77222.
. Est ce que la suite (u,), peut être strictement croissante ou strictement décroissante ?

. Onpose V, = ( » 2 Vn›2 e ‏ا‎ . Montrer, alors, que V, = A"-*.V,.

; fi 2 ft ©
. Soient P = G ‏ل‎ es D= (o 4}
4.1. Calculer P7*.
42. Calculer P. D. P7* et D”.

. Déduire de ce qui précède que V, = P.D"-*.P7*.V, et trouver l’expression de ‏ميرت‎
‎. Trouver limz›œ ‏جلا‎

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