Modèle concours d'accès — École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) Meknès 2007 — Mathématiques

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Université My Ismail 21 Juillet 2007
ENSAM-Meknès

Concours d’accès en Première année
Epreuve de Mathématiques

Durée 3 heures et 30 minutes

Exercice 1 (10 pts):

Pour chacune des questions qui suivent, dire, sans justification, si elle est vraie ou fausse. Pour chacune des
questions, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Soient les expressions logiques
1.2. L’expression (*) est vraie dans le cas où l’on a l’expression : (p ou r ) est fausse.
. Soient les quantificateurs Q,, 2 et Q3 € {3; V} et l’expression
(er) QxEN,  QyeN, ‏دحي‎ x = yz.
(+++) n’est vraie que dans un seul cas.
. Soient A,B et C trois ensembles quelconques.
3.1. Onatoujours (AU B) \(AUC) 0 AU(B\ C).
3.2. On n’a jamais (AU B)\ (AUC) = AU(B\C).
. Soit P(x) = x* — 6x? + 13x — 10
4.1. (2 — x) divise P(x).
4.2.(2— à) et (2013 — €) sont des racines de P(x).
. Soit f:R › R continue en 0 et en 1 et telle que f(x") = f (x), alors f est constante.
. Soit f:R › R continue et périodique alors f n’est pas bornée.
. Soit f:[0,+co[ ‏ج‎ R continue et telle qu’il existe ‏ع‎ € R t.q.:0 › f@) › ‏ا‎ 0 f©dt alors 2 0.

Exercice 2 (5 pts):

Soient à,, ‏مه ,… ري‎ des nombres réels positifs non nuls distincts deux à deux, l’objectif est de montrer
man”!
l'inégalité (TJ, ‏وه‎ › (Ces) .

2
. Montrer que a,az › (&s) ;

01+24 ce) 4

. Montrer que 21620364 ‹ ( 5

- Montrer que à,az … ‏عليه‎ › Le) VkEN.
4. On suppose n › 2“ pour un certain k € N et que ay, ‏...ريه‎ An Sont donnés. On pose c = a,,cz =
Less Qi

au Déduire de la question 3 que

A2, ..., Cp = Un PUIS ‏زرو == يبن # يبون‎ =

Kk_ k
‏ع › 7 كلامة ... يفيه‎
. Conclure.

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Exercice 3 (9 pts):

Notations : Soient a et b deux entiers dans N* , on note bja si b est un diviseur de a et on définit Da =
{d € N° : dja } l'ensemble des diviseurs de a. On note, enfin, a À b le plus grand commun diviseur de a et b
qui vaut le plus grand élément de l'ensemble D, À Dj.

1. Montrer que ‏مرو‎ = Da N Dj.
2. Montrer que Va,b,ceN* (anb) Ac=(arb) A(bAc).
2

3. Soit nEN*, onpose S, = Li, k*. Montrer que S, = (ER 4)? = (gs) ;
4. Soitunentier ‏م‎ EN” quelconque.

4.1. Calculer Szp À S2p+1-

4.2. Calculer S2p+1 À Sap+2-

4.3. Calculer S2p A Sap+1 A S2p+2 .

4.4. Calculer S2p+1 A S2p+2 A Sap+3 5
5. Calculer ) 5 A S7+1) A Sp+2 771 6 1].

Problème 1 (22 pts):
Partie A : Questions préliminaires (7 pts)

1. Soit (Un)nen Une suite dans Z supposée convergente vers | € R.
1.1 Montrer qu’il existe MEN tq.  Vnzm [un — 1 › Va
1.2 Montrerque 772 ‹1 [un — Unyrl › y,

1.3Endéduireque (Un)nam Est constante.
» Ona montré que si (Un)nem ©st une suite dans Z convergente alors elle est stationnaire. »

. Soient f une fonction continue et positive et F sa primitive sur [a, b] c.à-d: f fOdt = F(m.
2.1 Montrer que F est croissante.
2.2 Supposons qu’3x, € [a, b] ‏.و‎ f(x) › 0 montrer alors qu’il existe un intervalle / € [a,b] tel
que x, €! etvérifiant f(x)›0 6].
2.3 Déduire de 2.1 et 2.2 que si f = 0 telle que { f(Odt=0 alors f =0.
2.4 Soit M © R* t.q. f › M et g une autre fonction continue et positive sur [a, b]. Montrer que
SJ, fOg(dat ‹ 111 g(t)dt.
Partie B (7 pts):
Soient p,getn € N°. On définit P,(X) = = (ax —p)"X" et = M@)sin(æ) dx.
1. Montrer que P,(0) et PB, E sont dans Z .
2. Montrer que
0
anOo ‏جما‎

et que

(ax-p0 (5) = far
. Endéduireque (P,)®(0) et ‏00م‎ eZ VkeN”.

. Vérifierqu’3M ER* supp,m|X(aX — p)| › ‏اال‎
‎. Montrer que Vp,q © ‏"لا‎ h—›0.

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Partie C (8 pts):

0

Supposons qu’Ap,qg EN” telsque x = 7
1. Montrer que Vn E N° Lez

2. Montrer qu’ilexiste NEN  Vn=›N lp =0.
3. En déduire que P,,(T/7)=0 Vn=N.
4. Savez-vous ce que vous avez démontré ?

Problème 2 (9 pts):

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À
chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est
crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.
1.1.Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
1.2.Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
1.3.Quelle est la probabilité p,, que n tirs suffisent pour crever le ballon ?
1.4.Pour quelles valeurs de n a-t-on p, › 0,99 ?

. Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la
face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend
alors au stand de tir et il a droit à Æ tirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on
pourra utiliser un arbre pondéré).

. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré ou s’il est pipé. Pour
cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :
Face k 2 3 4

Nombre de sorties de la face k 58 49 52 41

3.1. Calculer les fréquences de sorties f, observées pour chacune des faces.
2
3.2. On pose 42 = 2221) — 1/4) . Calculer 2.

3.3. On effectue maintenant 1000 simulations des 200 lancers d’un dé tétraédrique bien équilibré et
on calcule pour chaque simulation le nombre d?. On obtient pour la série statistique des 0
valeurs de 4 les résultats suivants :

| Minimum | 0, | Médiane Q ‏سبج ىم‎
000124 000192  |000235 000281 [000345 [000452  |0,0101s

Au risque de 10% peut-on considérer que ce dé est pipé ?

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