Modèle concours d'accès — École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) Meknès 2006 — Mathématiques

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Université Moulay Ismaïl
Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès

CONCOURS D’ENTREE en 1ère Année

Filière : Sciences Maths A, B et Sciences techniques

Epreuve de Mathématiques

Samedi 22/07/06 - Durée : 3h 33mn

Notions de base et raisonnement
re rer rs ‏سَْس›كتببابِسالتََءلَ‎

1.1 La relation ‏و ج‹ م‎ se lit ”si p, alors ‏.”و‎ Que signifie-t-elle ? (2Pts)

(l.a) p est une condition suffisante pour ‏و‎

(1.b) ‏و‎ est une condition nécessaire pour p

(L.c) Pour que ‏ع‎ soit vraie, il suffit que ‏م‎ soit vraie
(1.d) Pour que p soit vraie, il suffit que q soit vraie
(Le) ‏و‎ est vraie si et seulement si p est vraie

(1.f) Pour que q soit fausse il faut que ‏م‎ soit fausse
(1.g) Pour que ‏و‎ soit fausse il suffit que ‏م‎ soit fausse

1.2 Principe de récurrence. Pour tout entier naturel n, soit P (n) une assertion portant sur n, et telle que
si P (n) est vraie, alors P(n + 1) est aussi vraie. On suppose qu’il existe un entier ny tel que P (no) soit
fausse. Quelles conclusions peut-on en tirer ? (2Pts)

(2.a) P (no — 1) est fausse

(2-b) P (n) est fausse pour tout entier n ‹ 0
(2.c) P (no + 1) est fausse

(2.d) P (n) est fausse pour tout entier n › 0
(2.e) P (n) est fausse pour tout entier n

1.3 Soient A, B, C et D quatre ensembles. Quelles sont les paires d’ensembles égales ? (2Pts)

(3.e) (A x B)U (B x D) et (AU B) x (CU D)

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Suites numériques

11.1 Soit la suite (Un)ne IN = (T")ne IN OÙ ‏ع‎ est un nombre réel

11.1.2 On pose z › 1 et x = 1 + a avec a € 0, +oo[. Démontrer que (1 + a)” › 1 + na pour tout n › 2 et
n € IN. Déduire la limite de la suite (un), ‏رجي‎ AUand n — +oo. (1Pt)

II.1.b On suppose que 0 › x › 1. Déduire de (IL.1.a) que ‏متتل‎ Un = 0. (1Pt)
11.1.6 Etudier la convergence de la suite (un), 7y dans les cas où x = 1 et x › 0. (2Pts)

11.2 Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. Etudier la convergence de la suite de terme général

ip men € IN (2Pts)

IL.3 Soit (an),e N° là suite définie par tout entier naturel n par

a = 1
1
an+1 = 15 (1+4 an + JT +24 an)

on pose par ailleurs : b2 = 1 + 24 a, avec b, › 0. Montrer que Vn € IN*, bn+1 = ; (by+ 3). (2Pts)

Fonctions réelles : Limites. Continuité. Dérivées. Primitives

111.1 Soit f (x) = ra avec xE R

II[.1.a Montrer que f est bornée sur IR. (1Pt)
III.1.b Etudier la dérivabilité de f. (1Pt)
III.1.c Etudier la parité de f. (1Pt)
III.1.d Montrer que f définit une bijection de /R sur ]—1,1[. (1Pt)
1 1
; 2 ‏يب بات‎
111.2 Calculer ‏وه 2 طلا‎ G ) exp ( Ti ) ) . (2Pts)

111.3 Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné [@,b]. Soient æ1, x2, -- *, En R valeurs
dans cet intervalle. Prouver qu’il existe un élément c de [a, b] tel que

Ja € | in G) ,ln 8 | telque g(a)=0 et f(a)=0 (2Pts)

111.5 Soit 1 la fonction définie sur l’intervalle [0,1] par f (x) = cos (xx). Pour tout entier naturel n › 2, on pose
111.6 Soit f une fonction numérique définie et continue sur [a, b] et telle que pour tout réel x : f (x) = f (a +b— 2).

Prouver que f tf (t) dt = ais ef f (t) dt. (1Pt)

111.7 Soit ‏و‎ une fonction réelle définie et continue sur JR . Démontrer que si ‏و‎ est périodique de période T' alors
la fonction G définie par G (x) = | 9 (t) dt est constante pour tout x € Æ. (1Pt)
2

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Dénombrement et arithmétique ‏ا‎

IV.1 Dans une station-service deux distributeur sont placés côte à côte, on désigne l’un par G (gauche) et
l’autre par D (droite). 25 personnes se présentent successivement pour sortir une boisson. On désigne par
séquence” la suite, des choix successifs des usagers, mise sous la forme : GDGGGD . -- (25 lettres G ou D).

IV.1.a Combien y a t-il de séquences distinctes possibles ? (1Pt)
IV.1.b Combien y a t-il de cas où 10 usagers se sont servis au distributeur de gauche + (1Pt)

IV.2 On dispose de deux urnes contenant chacune 30 boules distinctes (par exemples numérotées). Combien y a
t-il de possibilités pour tirer 10 boules de la 19“ urne et 15 boules de la 2906 ? (2Pts)

7/210 x 4//64 xV65
18 x 6
IV.5 Soit (A, B, C) € IR? / 4+ 3 + 0 - 7. Montrer que

IV.4 Montrer que À = est un entier. (1Pt)

sin À + sin B + sin C = 4cos (5) cos (5) cos (5) (1Pt)

V.1 L'espace est muni d’une base orthonormale (7, ES F) . Déterminer l’ensemble des réels a tels que les

vecteurs W (2a,1,0) et 27 (—a, 3,4) soient orthogonaux. (1Pt)

Une courroie de transmission relie trois poulies dont les axes sont
disposés en triangle rectangle. Les côté adjacents de l’angle droit ont
pour largeurs respectivement 1.5m et 2m (voir figure). Chaque poulie
à un diamètre de 1m. Quelle est la longueur de la courroie ? (2Pts)

V.3 Etant donné un coloriage des points du plan (P) en : jaune, noire et rouge. Montrer qu’il existe au moins
deux points P, et Pz qui ont la même couleur et la distance entre P, et P2 est égale à 1. (3Pts)

Mathématiques amusantes
A rs rte

VI.1 Le congrès des maths a vu se réunir les cha-maths (qui ont deux bosses des maths) et les dro-maths (qui
ont une seule bosse des maths). Lors du congrès, on a compté 56 pieds (sous les tables) et 45 bosses (au
dessus des tables). Combien y avait-il de cha-maths et de dro-maths (qui ont, les uns et les autres deux
pieds comme tout le monde !) ? (1Pt)

VI.2 Le nombre d’élèves ingénieurs à l’ENSAM au cours de l’année universitaire 2005 — 2006 est no. Si l'ENSAM
a décidé d'augmenter ce nombre de 5% chaque année. Déterminer le nombre d’années à partir de 2006 pour
que le nombre d’élèves double. (2Pts)

VI.3 12 poules mangent 36kg de grain en 18 jours. 9 poules pondent 12 oeufs en 8 jours. Combien faut-il de
grain pour pondre 2006 oeufs ? (3Pts)

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