Modèle concours d'accès — École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM) Meknès 2005 — Mathématiques

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‎Université Moulay Ismaïl‏ ض
ف ‎Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès‏

‎|_- CONCOURS D’ENTREE en 1ère Année Ï

‎Filière : Sciences Expérimentales et Techniques

‎8 Epreuve de Mathématiques |
: Vendredi 22/07/05 - Durée : 3h 24m
| Exercice I : Fonctions numériques : ١

‎Q 01. La fonction f est définie par f (x) = x + x? + ‏.قو‎ Montrer que pour |x| › 1 on a |f (=)| ‹3|x|. (1Pt)

‎Q 02. Calculer Fm 6 + Va? F1) . (1Pt)
3
Q 03. Déterminer la dérivée ‏أو‎ de la fonction g définie sur l’intervalle 10, +oo[ par ‏و‎ (x) = ‏ب‎ 7 (1Pt)

‎© 04. Calculer l'intégrale / = | t VEFS dt. (2Pts)
RSS -1

‎Q 05. Donner un exemple d’une fonction dérivable en 1 de dérivée nulle mais n’admettant pas d’extremum relati
en 1. (1Pt)

‎Q 06. On considère la fonction [ définie sur [0,1] par f (x) ‏24ت‎ —2x?. Déterminer l’expression de 771. (2Pts

‎Q 07. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, +oo[ par f (=) = (x +2) ( + e(-=/2)) . Soit a € R*
on note À (a) l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe (C) de f, la droite d’équation
y = x +2 et les droites d'équations x = 0 et x = a. Calculer A (a). (2Pts)

‎| Exercice II : Suites numériques Ë

‎Q 08. La somme de trois nombres en progression arithmétique est 30, et leur produit est 910. Quels sont ces
nombres ? (1Pt)

‎Q 09. Quelles sont les suites qui sont à la fois arithmétiques et géométriques ? (justifier) (1Pt)

‎Q 10. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par : Un = 1

‏0 حي
‎a) Démontrer que (up) est décroissante. (1Pt)‏

‎b) Montrer que (un) est convergente et donner sa limite. (2Pts)

‎Q 11. On considère un segment [A, B] de longueur a. Soient M; le milieu de [A, B], M2 le milieu de {B, M1]
M3 le milieu de [M;, Ma} et M4 le milieu de [M2, M3} etc. Pour tout entier naturel n, Mn+2 est le milie
de ‏طلقا‎ Mn+1]. Exprimer la longueur AM, en fonction de n et étudier la position limite de M, quand
tend vers +oo (3Pts)

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Exercice III : Equations à résoudre |

. Déterminer sin (x/8) et cos (x/8) en utilisant seulement les formules trigonomitriques. AP)

13. Déterminer 3 racines du polynôme P qui vérifie (x +3) P (x) = xP (x + 1). (2Pts)

. Démontrer qu’il existe un polynôme 7 de degré trois admettant le minimum 0 en 0 et le maximum 1 en 1.
= 1Pt)

. Résoudre dans R : 3+ 222 — = +9=2x. PO)

Déterminer l’ensemble des réels x vérifiant : sinx x cosx x tgx = 1. (1Pt)

Exercice IV : Représentation graphique ;

Résoudre graphiquement : 2 |x| — 3|y| › 6. (1Pt)
Soit 7 de [0,1[ dans R telle que

F6

f (0) ِ
70 6127, 2 © ‏ب‎ Ti ‏ا‎ 17) =
Représenter graphiquement: f dans un plan orthonormal. (1Pt)

© 19. Dans un repère orthonormal du plan, on considère les points A (—1, 2 et B(—3,4). Tracer le cercle de
“diamètre [A, B]. (2Pts)

| Exercice V : Complexes ١

Q 20. Soient ‏وه ,)2 + 5) + )3 + 3) جره‎ = (GF 2) — )2 — 51), 23 = 4263:7/5 + 1, 244 = go + 2e7‘7/4, Calculer
et représenter graphiquement :

a) a = z1 +23. (1Pt)

Q 21. Soient z1, z2 et 23 des: parer corapioxez quelconques. Montrer que

Q 22. Un nombre z est appelé algébrique s’il est solution d’une équation algébrique
‏رع + تمه‎ + 4+ An _17 + On = 0 où ag, ‹‹ ‏مه‎ sont des entiers.

Montrer que 3 + V2 et Ÿ4 — 2i sont algébriques. (2Pts)

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ُ Exercice VI : Divers ï

Q 23. On dispose de 100 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donner à
l’enclos pour que celui-ci délimite une aire maximale ? (1Pt)
Q 24. Un magasin de location vidéo propose trois options :
Option 1 : abonnement 200 DH et 9 DH par cassette.
Option 2 : sans abonnement et 20 DH par cassette.
Option 3 : carte donnant droit à au plus 11 cassettes 200 DH

4

a) Calculer en fonction du nombre n de cassettes louées le prix total payé avec chacune des options. (1Pt)
b) Quelle est l’option la plus intéressante ? (1Pt)

Q 25. Une urne contient 20 boules : 13 vertes et 7 rouges. On tire successivement 3 boules au hasard, avec remise
de la boule tirée. Quelle est, la probabilité :
a) d’obtenir dans l’ordre deux rouges et une verte (événement RRV) ? (1Pt)
b) d’obtenir sans tenir compte de l’ordre deux rouges et une verte ? (1Pt)

Q 26. Un étudiant ensamien à dans sa poche 10 pièces de monnaie : 4 pièces 1 DH, 4 pièces 0.50 DH et 2 pièces
0.20 DH. Pour acheter un sandwitch de 3.7 DH. 1 tire de sa poche au hasard 5 pièces.
€) Quelle est la probabilité qu’il obtienne exactement 3.7 DH ? (1Pt)
d) Quelle est la probabilité qu’il obtienne une somme suffisante pour payer son achat ? (2Pts)

Q 27. Démontrer que tout entier n supérieur ou égal à 24 peut s’écrire sous la forme : 3(a,b) €E Nx N y
n = 5a + 7b. (2Pts)

Q 28. Quelles doivent être les dimensions d’une boîte cylindrique de volume 1,6 dm3 pour que sa surface totale
soit minimale. (2Pts)
! Q 29. Pour quoi le raisonnemert suivant est vrai ou faux ? Soit à démontrer que pour tout entier naturel n,
10" + 1 est divisible par 9. On a 107+1 +1=10x10" +1 = (9+1)107 +1 = 9 x 107 +107 + 1. Donc si
10” + 1 est divisible par 9, il en est de même de 10”+! + 1 ce qui prouve le résultat. (1Pt)

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