Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) 2007 — Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux grandes écoles organisé par Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) (2007), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II)
- Grade
- Concours d'accès aux grandes écoles
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2007
- Pages
- 2
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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UNIVERSITE HASSAN II N° de table : ........
FACULTE DE MEDECINE
CASABLANCA Concours d’entrée 2007 Anonymat
Epreuve de mathématiques
NOM CL لا ra tan ran rire OMR D ho Er VE SUR HN ECG NELeR
Date ل Sactenrententeerenen amenant ري الا لل وي ال era rare ae ee
Sipnature 00118810116: الال اا AE ل لاج لي ولاه و
Concours d’entrée 7
Epreuve de mathématiques Anonymat
Nombre de questions 6.
1-Donner le domaine de définition Dr de la fonction £.
I- On considère la fonction définie par : f(x) 3
2-Calculer les limites de f, aux bords du domaine de définition.
3-Soit C la courbe représentative de la fonction f. Préciser, si elles existent, les équations:
Des 887171010168 011101168 : مم عام ماه و اماع امام و اهما اماه الام امم ام مام وملعم امام اما لاوا اماما لعا لل ااه crie
Des asymptotes verticales : ماما ا لاما كاك لما م العا الا لاا الا الا ا الا لاا لاا ااا
Des asymptotes horizontales : ممعم م عم م مايه ممم مم وم م م م م ممه ممم عم ممم مم وه ممت ف ممعي نعي
ماما ما اع اماه مامه لاقام او اما اما ماماو لامعا واوا افا اماق افا تالالا اال ءاه : Des branches paraboliques
4- Etude de la variation de la fonction f :
Entourer la ou les bonnes propositions
a- La fonction est croissante sur ]-co, —1—5]
b- la fonction est décroissante sur [-1- 5 , Of
c- la fonction est croissante sur [1 , +]
d- Le tracé de f comporte des concavités
e- f'(x) ne s’annule jamais
11 -Calculer les limites suivantes :
lim e*(4+3Logx)= lim 2xLogx —-x+2=
2-24 2-1
TE او ا
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IM -L’espace & est rapporté au repère orthonormal (o, i, 7,4)
1-Définir l’ensemble E = {M(x, y,z) € £/x" + y” + 22 -2x+4y-8z+12=0 }
L’ensemble E =
2-Définir l’intersection de l’ensemble E avec le plan P, d’équation x—-2y+2z —-1=0
L’intersection de E et P; =
3- Soient les plans رط d’équation 2x + y + 2z —17 = 0 et P; d’équation 3x —2z =0
Entourer la ou les propositions justes :
a- le plan يط et l’ensemble E n’admettent pas d’intersection
b- le plan P; et l’ensemble E sont tangents
c- le plan رط et l’ensemble E sont tangents
d- le plan P3 et l’ensemble E sont sécants
e- aucune proposition n’est juste
IV -On considère la suite (U,) définie par : Up =0; Un = 1/3U,—5; VneN
Et on pose la suite (Wn) définie par : W,=U,+15/2; VneN
1-Quelle est la nature de (Wn ) ? (Wn)
2-Ecrire Wn en fonction de n, en déduire Un en fonction de n.
V- Soit ABCD un tétraèdre régulier de coté = 4 et I, J, K les milieux respectifs de [BC], [AC],
Calculer les produits scalaires suivants :
VI- Pour composer l’examen de Mathématiques, l’enseignant a proposé 6 exercices dont 4
d’algèbre et 2 de géométrie. Les exercices sont mis dans des enveloppes identiques.
L'examen portera sur 4 exercices seulement.
On demande à un étudiant de tirer successivement et sans remise 4 enveloppes afin de
composer l’examen.
1-Calculer la probabilité رط de tirer successivement 3 exercices d’algèbre puis 1 exercice de
géométrie.
2-Calculer la probabilité Pz de tirer 1 seul exercice de géométrie au cours de ces 4 tirages.
3-calculer la probabilité P3 de tirer successivement 2 exercices de géométrie et 2 exercices
d’algèbre.
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée 2007 de la Faculté de Médecine de Casablanca (Université Hassan II). Six questions : étude d'une fonction exponentielle, limites, sphère et plans, suite arithmético-géométrique, produits scalaires dans un tétraèdre régulier et probabilités. Voici une correction proposée avec les calculs.
💡 Méthode : dans ce concours, on écrit peu mais juste. Pour les propositions « à entourer », calculez d'abord la dérivée ou la distance en brouillon, puis confrontez chaque proposition au résultat, sans vous fier à l'intuition.
I — Étude de f(x) = e−x / (2x(1 − x))
1. Domaine
Le dénominateur s'annule pour x = 0 et x = 1 : Df = ℝ \ {0 ; 1} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
2. Limites aux bornes
- x → −∞ : e−x → +∞ et 2x(1 − x) → −∞ ; l'exponentielle l'emporte sur le polynôme : lim f = −∞.
- x → +∞ : e−x → 0 et 2x(1 − x) → −∞ : lim f = 0 (par valeurs négatives).
- x → 0− : numérateur → 1, dénominateur → 0− : −∞ ; x → 0+ : dénominateur → 0+ : +∞.
- x → 1− : 1 − x → 0+, dénominateur → 0+ : +∞ ; x → 1+ : dénominateur → 0− : −∞.
3. Asymptotes et branches
- Asymptotes obliques : aucune.
- Asymptotes verticales : x = 0 et x = 1.
- Asymptote horizontale : y = 0 au voisinage de +∞.
- Branche parabolique : au voisinage de −∞, f(x)/x = e−x/(2x²(1 − x)) → +∞ : branche parabolique de direction l'axe (Oy).
4. Variations (réponse probable : a, c et d)
Avec g(x) = 2x − 2x², on a f' = −e−x(g + g')/g² et g + g' = −2(x² + x − 1), donc :
f'(x) = 2e−x(x² + x − 1) / (2x(1 − x))², du signe de x² + x − 1, qui s'annule en x1 = (−1 − √5)/2 ≈ −1,62 et x2 = (−1 + √5)/2 ≈ 0,62.
f est croissante sur ]−∞ ; x1], décroissante sur [x1 ; 0[ et sur ]0 ; x2], croissante sur [x2 ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
- a — vraie : ]−∞ ; −1 − √5] est contenu dans ]−∞ ; x1], où f croît.
- b — fausse telle qu'imprimée : sur [−1 − √5 ; x1] la fonction croît encore. Elle serait vraie si la borne était (−1 − √5)/2, ce qui ressemble à une coquille du sujet.
- c — vraie : sur ]1 ; +∞[, f' > 0.
- d — vraie : la courbe est convexe sur ]0 ; 1[ (elle part de +∞ et y revient, avec un minimum en x2) et concave sur ]−∞ ; 0[, où elle présente un maximum en x1.
- e — fausse : f' s'annule en x1 et x2.
II — Limites
- limx→+∞ e−x(4 + 3 ln x) = lim (4/ex + 3·(ln x)/ex) = 0 (croissances comparées).
- limx→+∞ 2x ln x − x + 2 = lim x(2 ln x − 1) + 2 = +∞.
- limx→2 (x³ − 2x² + x/2 − 1) / (3(x² − x − 2)) : forme 0/0. Numérateur = x²(x − 2) + (x − 2)/2 = (x − 2)(x² + 1/2) ; dénominateur = 3(x − 2)(x + 1). Limite = (4 + 1/2)/(3 × 3) = 1/2.
- limx→+∞ √(2x² + 1) − √(2x²) = lim 1/(√(2x² + 1) + √2·x) = 0 (multiplication par l'expression conjuguée).
III — Sphère et plans
1. L'ensemble E
(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 4)² = −12 + 1 + 4 + 16 = 9.
E est la sphère de centre Ω(1 ; −2 ; 4) et de rayon R = 3.
2. Intersection avec P1 : x − 2y + 2z − 1 = 0
d(Ω ; P1) = |1 + 4 + 8 − 1| / √(1 + 4 + 4) = 12/3 = 4 > 3 : E ∩ P1 = ∅.
3. Réponses : b et d
- d(Ω ; P2) = |2 − 2 + 8 − 17| / √(4 + 1 + 4) = 9/3 = 3 = R : P2 est tangent à E (b vraie, a fausse).
- d(Ω ; P3) = |3 − 8| / √(9 + 4) = 5/√13 ≈ 1,39 < 3 : P3 coupe E selon un cercle (d vraie, c fausse).
- e est donc fausse.
IV — Suites
1. Nature de (Wn)
Wn+1 = Un+1 + 15/2 = (1/3)Un − 5 + 15/2 = (1/3)Un + 5/2 = (1/3)(Un + 15/2) = (1/3)Wn.
(Wn) est géométrique de raison 1/3 et de premier terme W0 = 15/2.
2. Expressions
Wn = (15/2)·(1/3)n et Un = (15/2)·(1/3)n − 15/2 (donc Un → −15/2).
V — Tétraèdre régulier de côté 4
Toutes les faces sont équilatérales : le produit scalaire de deux arêtes issues d'un même sommet vaut 4 × 4 × cos 60° = 8.
- AB · AC = 8.
- AI · BC = 0 : dans le triangle équilatéral ABC, la médiane (AI) est aussi hauteur, donc perpendiculaire à (BC).
- IK · AD = 0 : IK = AK − AI = (1/2)AD − (1/2)(AB + AC), d'où IK · AD = (1/2)·16 − (1/2)(8 + 8) = 0.
- BK · CD = 4 : BK = (1/2)AD − AB et CD = AD − AC, d'où BK · CD = (1/2)·16 − (1/2)·8 − 8 + 8 = 4.
VI — Probabilités
6 enveloppes : 4 d'algèbre (A) et 2 de géométrie (G), 4 tirages successifs sans remise.
1. P1 : A, A, A puis G (dans cet ordre)
P1 = (4/6)(3/5)(2/4)(2/3) = 48/360 = 2/15.
2. P2 : exactement une géométrie
L'ordre ne compte pas ici : P2 = C(2,1)·C(4,3) / C(6,4) = (2 × 4)/15 = 8/15.
(Même résultat par les arrangements : 4 positions possibles pour G, chacune de probabilité 2/15.)
3. P3 : 2 géométries et 2 algèbres (réponse probable)
L'énoncé dit « 2 de géométrie et 2 d'algèbre » (et non « puis ») : on compte toutes les dispositions. P3 = C(2,2)·C(4,2) / C(6,4) = 6/15 = 2/5.
Si l'on imposait l'ordre G, G puis A, A, on aurait (2/6)(1/5)(4/4)(3/3) = 1/15.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Le corrigé est-il inclus ?
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
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