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Devoir surveillé n°2 – semestre 1 – Mathématiques – Tronc commun scientifique (modèle 1)

Devoir surveillé n°2 original pour le Tronc commun scientifique, à faire en 2 heures sans calculatrice. Il porte sur les polynômes (racine, division par x − a, factorisation, signe) et sur les équations, inéquations et systèmes (second degré, discriminant, somme et produit des racines, méthode du déterminant).

NiveauTronc commun scientifique
MatièreMathématiques
Semestresemestre 1
DevoirContrôle n° 2
Durée2 heures
Barèmesur 20
LeçonsPolynômes, Équations, inéquations et systèmes
ProgrammeMEN – Orientations pédagogiques et programmes des mathématiques, cycle secondaire qualifiant (2007) ; MEN, Direction des curricula – « وثيقة مرجعية في شأن تكييف البرامج الدراسية – سلك التعليم الثانوي التأهيلي » (janvier 2024), programme de mathématiques du Tronc commun scientifique et technologique

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

Énoncé

Exercice 1 – Polynômes (5 pts)

On considère le polynôme P(x) = 2x3 − 3x2 − 11x + 6.

  1. Calculer P(3). Que peut-on en déduire ? (1 pt)
  2. Déterminer le polynôme Q tel que P(x) = (x − 3)Q(x). (1,5 pt)
  3. Factoriser Q(x). (1 pt)
  4. Résoudre dans ℝ l'équation P(x) = 0. (0,5 pt)
  5. Résoudre dans ℝ l'inéquation P(x) ≥ 0. (1 pt)

Exercice 2 – Équations et inéquations du second degré (5 pts)

  1. Résoudre dans ℝ : a) x2 − 5x + 6 = 0 ; b) 4x2 − 4x + 1 = 0 ; c) x2 + x + 1 = 0. (1,5 pt)
  2. Résoudre dans ℝ l'inéquation −2x2 + 5x + 3 ≥ 0. (1,25 pt)
  3. Résoudre dans ℝ l'équation x4 − 5x2 + 4 = 0 (on pourra poser X = x2). (1,25 pt)
  4. Sans calculer les racines, montrer que l'équation 3x2 − 7x − 2 = 0 admet deux racines distinctes, puis donner leur somme et leur produit. Quel est le signe de chaque racine ? (1 pt)

Exercice 3 – Systèmes d'équations (4 pts)

  1. Résoudre dans ℝ2 par la méthode du déterminant le système : { 2x + 3y = 7 ; 5x − y = 9 }. (1,5 pt)
  2. Au marché, 3 kg de tomates et 2 kg de pommes de terre coûtent 31 DH ; 2 kg de tomates et 5 kg de pommes de terre coûtent 39 DH. Mettre le problème en équations puis trouver le prix d'un kilogramme de chaque légume. (1,5 pt)
  3. Soit m un réel. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles le système { mx + 2y = 1 ; 2x + my = 3 } admet une solution unique. (1 pt)

Exercice 4 – Étude d'un trinôme (6 pts)

Soit f(x) = x2 − 2x − 8.

  1. Écrire f(x) sous forme canonique. (1 pt)
  2. En déduire une factorisation de f(x). (1 pt)
  3. Résoudre dans ℝ l'inéquation f(x) < 0. (1 pt)
  4. Résoudre dans ℝ l'inéquation (x2 − 2x − 8)/(x − 1) ≥ 0. (1,5 pt)
  5. Résoudre dans ℝ l'inéquation x2 − 2x − 8 ≤ 2x − 3. (1,5 pt)
Afficher le corrigé et le barème

Exercice 1 – Polynômes

  1. P(3) = 2 × 27 − 3 × 9 − 11 × 3 + 6 = 54 − 27 − 33 + 6 = 0. Donc 3 est une racine de P et P(x) est divisible par (x − 3).
  2. Par division euclidienne (ou identification) : P(x) = (x − 3)(2x2 + 3x − 2), donc Q(x) = 2x2 + 3x − 2.
    Vérification : (x − 3)(2x2 + 3x − 2) = 2x3 + 3x2 − 2x − 6x2 − 9x + 6 = 2x3 − 3x2 − 11x + 6.
  3. Δ = 32 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 ; racines : (−3 − 5)/4 = −2 et (−3 + 5)/4 = 1/2. Donc Q(x) = 2(x + 2)(x − 1/2) = (x + 2)(2x − 1).
  4. P(x) = (x − 3)(x + 2)(2x − 1) = 0 ⇔ x = 3 ou x = −2 ou x = 1/2 : S = {−2 ; 1/2 ; 3}.
  5. Tableau de signes de (x + 2), (2x − 1), (x − 3) :
    x−∞ ; −2−2 ; 1/21/2 ; 33 ; +∞
    x + 2−+++
    2x − 1−−++
    x − 3−−−+
    P(x)−+−+
    P(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−2 ; 1/2] ∪ [3 ; +∞[.

Barème : Q1 : 0,5 + 0,5 ; Q2 : 1,5 ; Q3 : 1 ; Q4 : 0,5 ; Q5 : tableau 0,5 + ensemble 0,5.

Exercice 2 – Équations et inéquations du second degré

  1. a) Δ = 25 − 24 = 1 > 0 : x = (5 − 1)/2 = 2 ou x = (5 + 1)/2 = 3 ; S = {2 ; 3}.
    b) Δ = 16 − 16 = 0 : racine double x = 4/8 = 1/2 ; S = {1/2}.
    c) Δ = 1 − 4 = −3 < 0 : S = ∅.
  2. Δ = 25 + 24 = 49 ; racines : (−5 − 7)/(−4) = 3 et (−5 + 7)/(−4) = −1/2. Le coefficient de x2 est négatif (−2), donc le trinôme est positif entre les racines : S = [−1/2 ; 3].
  3. Avec X = x2 (X ≥ 0) : X2 − 5X + 4 = 0 ; Δ = 25 − 16 = 9 ; X = 1 ou X = 4 (tous deux positifs). x2 = 1 ⇔ x = −1 ou x = 1 ; x2 = 4 ⇔ x = −2 ou x = 2. S = {−2 ; −1 ; 1 ; 2}.
  4. Δ = 49 + 24 = 73 > 0 : deux racines distinctes x1 et x2. Somme : x1 + x2 = −b/a = 7/3 ; produit : x1x2 = c/a = −2/3. Le produit est négatif : les deux racines sont de signes contraires (une positive, une négative).

Barème : Q1 : 0,5 par équation ; Q2 : Δ et racines 0,75 + ensemble 0,5 ; Q3 : 1,25 ; Q4 : Δ 0,25 + somme/produit 0,5 + signes 0,25.

Exercice 3 – Systèmes d'équations

  1. Δ = 2 × (−1) − 3 × 5 = −17 ≠ 0 : solution unique.
    Δx = 7 × (−1) − 3 × 9 = −34 ; Δy = 2 × 9 − 7 × 5 = −17.
    x = Δx/Δ = 2 ; y = Δy/Δ = 1. S = {(2 ; 1)}. Vérification : 4 + 3 = 7 et 10 − 1 = 9.
  2. Soit t le prix (DH) d'un kg de tomates et p celui d'un kg de pommes de terre : { 3t + 2p = 31 ; 2t + 5p = 39 }.
    Δ = 15 − 4 = 11 ; Δt = 31 × 5 − 2 × 39 = 77 ; Δp = 3 × 39 − 2 × 31 = 55.
    t = 77/11 = 7 DH et p = 55/11 = 5 DH. Vérification : 21 + 10 = 31 et 14 + 25 = 39.
  3. Δ = m × m − 2 × 2 = m2 − 4. Le système admet une solution unique ⇔ Δ ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 et m ≠ −2.

Barème : Q1 : Δ 0,5 + x et y 1 ; Q2 : mise en équations 0,5 + résolution 1 ; Q3 : 1.

Exercice 4 – Étude d'un trinôme

  1. x2 − 2x − 8 = (x − 1)2 − 1 − 8 = (x − 1)2 − 9.
  2. f(x) = (x − 1)2 − 32 = (x − 1 − 3)(x − 1 + 3) = (x − 4)(x + 2).
  3. Le trinôme (coefficient de x2 positif) est négatif strictement entre ses racines −2 et 4 : S = ]−2 ; 4[.
  4. Valeur interdite : x = 1.
    x−∞ ; −2−2 ; 11 ; 44 ; +∞
    (x − 4)(x + 2)+−−+
    x − 1−−++
    quotient−+−+
    Le quotient s'annule en −2 et 4 (inclus) et n'est pas défini en 1 (exclu) : S = [−2 ; 1[ ∪ [4 ; +∞[.
  5. x2 − 2x − 8 ≤ 2x − 3 ⇔ x2 − 4x − 5 ≤ 0 ⇔ (x − 5)(x + 1) ≤ 0 (Δ = 16 + 20 = 36, racines −1 et 5). S = [−1 ; 5].

Barème : Q1 : 1 ; Q2 : 1 ; Q3 : 1 ; Q4 : tableau 1 + ensemble 0,5 ; Q5 : 1,5.

Barème

Exercice 1 – Polynômes5 pts
Exercice 2 – Équations et inéquations du second degré5 pts
Exercice 3 – Systèmes d'équations4 pts
Exercice 4 – Étude d'un trinôme6 pts
Total20 pts

Conseils de révision

  • Avant de diviser un polynôme par x − a, vérifier que P(a) = 0.
  • Le trinôme ax<sup>2</sup> + bx + c a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe contraire entre elles.
  • Dans une inéquation avec quotient, la valeur qui annule le dénominateur est toujours exclue.
  • Méthode du déterminant : Δ = ab' − a'b ; si Δ ≠ 0, x = Δ<sub>x</sub>/Δ et y = Δ<sub>y</sub>/Δ.

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