Contrôle 1 semestre 1 Mathématiques tronc commun avec corrigé

Niveau	Tronc commun scientifique
Matière	Mathématiques
Semestre	semestre 1
Devoir	Contrôle n° 1
Durée	2 heures
Barème	sur 20
Leçons	L'ensemble ℕ et notions d'arithmétique, Ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ, Ordre dans ℝ
Programme	MEN – Orientations pédagogiques et programmes des mathématiques, cycle secondaire qualifiant (2007) ; MEN, Direction des curricula – « وثيقة مرجعية في شأن تكييف البرامج الدراسية – سلك التعليم الثانوي التأهيلي » (janvier 2024), programme de mathématiques du Tronc commun scientifique et technologique

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

Énoncé

Compléter par ∈ ou ∉ : −3 … ℕ ; 12/4 … ℕ ; 7/8 … 𝔻 ; 1/3 … ℚ ; √2 … ℚ ; −√16 … ℤ. (1,5 pt)
Montrer que 1/3 ∉ 𝔻. (1,5 pt)
Simplifier A = √50 − 3√8 + √18, puis montrer que B = (2√3 − 1)(2√3 + 1) est un entier naturel. (1 pt)

a) Décomposer 504 et 360 en produit de facteurs premiers. (1 pt)
b) En déduire PGCD(504 ; 360) et PPCM(504 ; 360). (1 pt)
Écrire la fraction 360/504 sous forme irréductible. (0,5 pt)
Le nombre 221 est-il premier ? Justifier. (1 pt)
Soit n un entier naturel.
a) Montrer que n(n + 1) est pair. (0,75 pt)
b) En déduire la parité de n² + 3n + 5. (0,75 pt)
Un club veut répartir 504 cahiers et 360 stylos en lots identiques (même nombre de cahiers et même nombre de stylos dans chaque lot), sans reste. Quel est le plus grand nombre de lots possible ? Combien de cahiers et de stylos contient alors chaque lot ? (1 pt)

Comparer 2√3 et 3√2. (0,75 pt)
Soient a = √5 − 2 et b = 1/(√5 + 2). Montrer que a = b. (0,75 pt)
Soient x et y deux réels tels que 2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 2. Encadrer x + y, x − y, xy et x/y. (2 pts)
Résoudre dans ℝ et donner les solutions sous forme d'intervalle :
a) |x − 2| ≤ 3 ; b) |2x + 1| > 5. (1,5 pt)
On donne 1,414 ≤ √2 ≤ 1,415. Donner un encadrement de 3 − 2√2 et préciser son amplitude. (1 pt)

Montrer que pour tous réels a et b : a² + b² ≥ 2ab. (1 pt)
En déduire que pour tous réels strictement positifs a et b : a/b + b/a ≥ 2. (1 pt)
Soit x un réel tel que |x − 1| ≤ 1/2.
a) Montrer que 1/2 ≤ x ≤ 3/2. (0,5 pt)
b) Encadrer A = x² − 1. (1 pt)
c) En déduire que |x² − 1| ≤ 5/4. (0,5 pt)

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−3 ∉ ℕ ; 12/4 = 3 ∈ ℕ ; 7/8 = 0,875 = 875/10³ donc 7/8 ∈ 𝔻 ; 1/3 ∈ ℚ ; √2 ∉ ℚ (√2 est irrationnel) ; −√16 = −4 ∈ ℤ.
Raisonnement par l'absurde : supposons 1/3 ∈ 𝔻. Il existe alors a ∈ ℤ et n ∈ ℕ tels que 1/3 = a/10ⁿ, donc 10ⁿ = 3a, c'est-à-dire que 3 divise 10ⁿ. Or 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ et 3 ne figure pas dans cette décomposition en facteurs premiers : contradiction. Donc 1/3 ∉ 𝔻.
√50 = 5√2 ; √8 = 2√2 ; √18 = 3√2. Donc A = 5√2 − 6√2 + 3√2 = 2√2.
B = (2√3)² − 1² = 12 − 1 = 11, et 11 ∈ ℕ.

Barème : Q1 : 0,25 par case (1,5) ; Q2 : 1,5 ; Q3 : A 0,5 + B 0,5.

a) 504 = 2 × 252 = 2² × 126 = 2³ × 63 = 2³ × 3² × 7.
360 = 2³ × 45 = 2³ × 3² × 5.
b) PGCD = produit des facteurs communs avec le plus petit exposant : 2³ × 3² = 72.
PPCM = produit de tous les facteurs avec le plus grand exposant : 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520.
Vérification : 72 × 2520 = 181 440 = 504 × 360.
360/504 = (72 × 5)/(72 × 7) = 5/7 (irréductible car PGCD(5 ; 7) = 1).
√221 ≈ 14,9 ; on teste les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13 : 221 = 13 × 17. Donc 221 n'est pas premier.
a) Si n est pair, n(n + 1) est pair. Si n est impair, n + 1 est pair, donc n(n + 1) est pair. Dans les deux cas n(n + 1) est pair (produit de deux entiers consécutifs).
b) n² + 3n + 5 = n(n + 1) + 2n + 4 + 1 = 2k + 2(n + 2) + 1 où n(n + 1) = 2k. C'est de la forme 2k' + 1 avec k' = k + n + 2 ∈ ℕ : n² + 3n + 5 est impair.
Le nombre de lots doit diviser 504 et 360 ; le plus grand est PGCD(504 ; 360) = 72 lots. Chaque lot contient 504 ÷ 72 = 7 cahiers et 360 ÷ 72 = 5 stylos.

Barème : 1a : 0,5 + 0,5 ; 1b : 0,5 + 0,5 ; Q2 : 0,5 ; Q3 : 1 ; 4a : 0,75 ; 4b : 0,75 ; Q5 : 0,5 (nombre de lots) + 0,5 (contenu d'un lot).

(2√3)² = 4 × 3 = 12 et (3√2)² = 9 × 2 = 18. Les deux nombres sont positifs et 12 < 18, donc 2√3 < 3√2.
b = 1/(√5 + 2) = (√5 − 2)/((√5 + 2)(√5 − 2)) = (√5 − 2)/(5 − 4) = √5 − 2 = a.
Somme : 2 + 1 ≤ x + y ≤ 3 + 2, donc 3 ≤ x + y ≤ 5.
Différence : −2 ≤ −y ≤ −1, donc 2 − 2 ≤ x − y ≤ 3 − 1, soit 0 ≤ x − y ≤ 2.
Produit (nombres positifs) : 2 × 1 ≤ xy ≤ 3 × 2, soit 2 ≤ xy ≤ 6.
Quotient : 1/2 ≤ 1/y ≤ 1, donc 2 × 1/2 ≤ x/y ≤ 3 × 1, soit 1 ≤ x/y ≤ 3.
a) |x − 2| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ x ≤ 5 : S = [−1 ; 5].
b) |2x + 1| > 5 ⇔ 2x + 1 > 5 ou 2x + 1 < −5 ⇔ x > 2 ou x < −3 : S = ]−∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[.
2,828 ≤ 2√2 ≤ 2,830, donc −2,830 ≤ −2√2 ≤ −2,828 et 0,170 ≤ 3 − 2√2 ≤ 0,172. Amplitude : 0,172 − 0,170 = 0,002.

Barème : Q1 : 0,75 ; Q2 : 0,75 ; Q3 : 0,5 par encadrement ; Q4 : a) 0,75, b) 0,75 ; Q5 : encadrement 0,75 + amplitude 0,25.

a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, donc a² + b² ≥ 2ab.
a > 0 et b > 0, donc ab > 0. En divisant l'inégalité précédente par ab (sans changer le sens) : a²/(ab) + b²/(ab) ≥ 2, soit a/b + b/a ≥ 2.
a) |x − 1| ≤ 1/2 ⇔ −1/2 ≤ x − 1 ≤ 1/2 ⇔ 1/2 ≤ x ≤ 3/2.
b) x est positif, donc (1/2)² ≤ x² ≤ (3/2)², soit 1/4 ≤ x² ≤ 9/4, puis 1/4 − 1 ≤ x² − 1 ≤ 9/4 − 1 : −3/4 ≤ A ≤ 5/4.
c) −5/4 ≤ −3/4 ≤ A ≤ 5/4, donc |x² − 1| ≤ 5/4.

Barème : Q1 : 1 ; Q2 : 1 ; 3a : 0,5 ; 3b : 1 ; 3c : 0,5.

Total	20 pts
Exercice 1 – Ensembles de nombres	4 pts
Exercice 2 – Arithmétique dans ℕ	6 pts
Exercice 3 – Ordre dans ℝ	6 pts
Exercice 4 – Inégalités	4 pts

Pour montrer qu'un nombre n'est pas décimal, raisonner par l'absurde avec l'écriture a/10<sup>n</sup>.
Pour tester si un nombre est premier, il suffit d'essayer les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.
On ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre : on encadre −y puis on additionne.
|x − a| ≤ r signifie que x est dans l'intervalle [a − r ; a + r].

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