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Devoir surveillé n°1 – semestre 2 – Mathématiques – Tronc commun scientifique (modèle 1)

Devoir surveillé n°1 du semestre 2, original, pour le Tronc commun scientifique, à faire en 2 heures sans calculatrice. Il porte sur le début de la seconde période : calcul trigonométrique (radian, abscisse curviligne, angles associés, équations simples) et généralités sur les fonctions (domaine, parité, variations, extremum, fonction homographique). La question 4 de l'exercice 2 réinvestit les équations du second degré du semestre 1.

NiveauTronc commun scientifique
MatièreMathématiques
Semestresemestre 2
DevoirContrôle n° 1
Durée2 heures
Barèmesur 20
LeçonsCalcul trigonométrique, Généralités sur les fonctions numériques
ProgrammeMEN – Orientations pédagogiques et programmes des mathématiques, cycle secondaire qualifiant (2007) ; MEN, Direction des curricula – « وثيقة مرجعية في شأن تكييف البرامج الدراسية – سلك التعليم الثانوي التأهيلي » (janvier 2024), programme de mathématiques du Tronc commun scientifique et technologique (seconde période)

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

Énoncé

Exercice 1 – Calcul trigonométrique (5 pts)

  1. Convertir 150° en radians, puis 7π/4 rad en degrés. (1 pt)
  2. Déterminer l'abscisse curviligne principale (dans ]−π ; π]) de chacun des réels 37π/6 et −29π/4. (1 pt)
  3. Soit x un réel. Simplifier B = sin(π − x) + cos(π/2 − x) − 2 sin(π + x) et C = cos(π + x) + cos(−x) + sin(π/2 + x). (1,5 pt)
  4. Soit x un réel de l'intervalle ]π/2 ; π[ tel que cos x = −3/5. Calculer sin x et tan x. (1,5 pt)

Exercice 2 – Identités et équations trigonométriques (4 pts)

  1. Montrer que pour tout réel x : (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 = 2. (1 pt)
  2. Résoudre dans ]−π ; π] l'équation 2 cos x − 1 = 0. (1 pt)
  3. Résoudre dans ]−π ; π] l'équation 2 sin x + √2 = 0. (1 pt)
  4. a) Résoudre dans ℝ l'équation 2t2 − t − 1 = 0.
    b) En déduire les solutions dans [0 ; 2π[ de l'équation 2 sin2x − sin x − 1 = 0. (1 pt)

Exercice 3 – Généralités sur les fonctions (6 pts)

  1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions : f(x) = (2x + 1)/(x − 3) ; g(x) = √(4 − 2x) ; h(x) = 1/(x2 − 1). (1,5 pt)
  2. Étudier la parité de chacune des fonctions : u(x) = x3 − 2x ; v(x) = (x2 + 1)/|x| ; w(x) = x2 + x. (1,5 pt)
  3. Soit la fonction k définie sur ℝ par k(x) = x2 − 4x + 1.
    a) Montrer que pour tous réels a et b distincts : (k(a) − k(b))/(a − b) = a + b − 4. (1 pt)
    b) En déduire les variations de k sur ]−∞ ; 2] et sur [2 ; +∞[. (1 pt)
    c) Montrer que k(x) ≥ −3 pour tout réel x. Que représente −3 pour la fonction k ? (1 pt)

Exercice 4 – Une fonction homographique (5 pts)

Soit g la fonction définie par g(x) = (2x + 1)/(x − 1) et Cg sa courbe dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer Dg. (0,5 pt)
  2. Montrer que pour tout x de Dg : g(x) = 2 + 3/(x − 1). (1 pt)
  3. Étudier les variations de g sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[. (1,5 pt)
  4. Préciser la nature de la courbe Cg, son centre de symétrie Ω et ses asymptotes. (1 pt)
  5. Déterminer les points d'intersection de Cg avec les axes du repère, puis résoudre l'équation g(x) = 5. (1 pt)
Afficher le corrigé et le barème

Exercice 1 – Calcul trigonométrique

  1. 150° = 150 × π/180 = 5π/6 rad ; 7π/4 rad = 7 × 180°/4 = 315°.
  2. 37π/6 = 36π/6 + π/6 = π/6 + 3 × 2π : l'abscisse principale est π/6.
    −29π/4 = −32π/4 + 3π/4 = 3π/4 − 4 × 2π : l'abscisse principale est 3π/4 (car 3π/4 ∈ ]−π ; π]).
  3. sin(π − x) = sin x ; cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π + x) = −sin x. Donc B = sin x + sin x + 2 sin x = 4 sin x.
    cos(π + x) = −cos x ; cos(−x) = cos x ; sin(π/2 + x) = cos x. Donc C = −cos x + cos x + cos x = cos x.
  4. sin2x = 1 − cos2x = 1 − 9/25 = 16/25. Comme x ∈ ]π/2 ; π[, sin x > 0, donc sin x = 4/5.
    tan x = sin x/cos x = (4/5)/(−3/5) = −4/3.

Barème : Q1 : 0,5 + 0,5 ; Q2 : 0,5 + 0,5 ; Q3 : 0,75 + 0,75 ; Q4 : 1 + 0,5.

Exercice 2 – Identités et équations trigonométriques

  1. (cos x + sin x)2 = cos2x + 2 sin x cos x + sin2x = 1 + 2 sin x cos x ; (cos x − sin x)2 = 1 − 2 sin x cos x. La somme vaut 2.
  2. cos x = 1/2 = cos(π/3) ⇔ x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ (k ∈ ℤ). Dans ]−π ; π] : S = {−π/3 ; π/3}.
  3. sin x = −√2/2 = sin(−π/4) ⇔ x = −π/4 + 2kπ ou x = π + π/4 + 2kπ = 5π/4 + 2kπ. Dans ]−π ; π] : −π/4 et 5π/4 − 2π = −3π/4. S = {−3π/4 ; −π/4}.
  4. a) Δ = 1 + 8 = 9 : t = (1 − 3)/4 = −1/2 ou t = (1 + 3)/4 = 1.
    b) On pose t = sin x. sin x = 1 ⇔ x = π/2 (dans [0 ; 2π[). sin x = −1/2 = sin(−π/6) ⇔ x = −π/6 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ ; dans [0 ; 2π[ : 7π/6 et 11π/6. S = {π/2 ; 7π/6 ; 11π/6}.

Barème : Q1 : 1 ; Q2 : 1 ; Q3 : 1 ; Q4 : 0,25 + 0,75.

Exercice 3 – Généralités sur les fonctions

  1. f est définie si x − 3 ≠ 0 : Df = ℝ \ {3}.
    g est définie si 4 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 : Dg = ]−∞ ; 2].
    h est définie si x2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 et x ≠ −1 : Dh = ℝ \ {−1 ; 1}.
  2. Du = ℝ est symétrique par rapport à 0 et u(−x) = −x3 + 2x = −u(x) : u est impaire.
    Dv = ℝ* est symétrique et v(−x) = ((−x)2 + 1)/|−x| = (x2 + 1)/|x| = v(x) : v est paire.
    w(1) = 2 et w(−1) = 0 : w(−1) ≠ w(1) et w(−1) ≠ −w(1), donc w n'est ni paire ni impaire.
  3. a) k(a) − k(b) = a2 − b2 − 4(a − b) = (a − b)(a + b − 4), donc (k(a) − k(b))/(a − b) = a + b − 4.
    b) Si a et b sont deux réels distincts de ]−∞ ; 2], alors a + b < 4, donc le taux de variation est négatif : k est strictement décroissante sur ]−∞ ; 2]. Si a et b sont distincts dans [2 ; +∞[, alors a + b > 4 : k est strictement croissante sur [2 ; +∞[.
    c) k(x) = (x − 2)2 − 4 + 1 = (x − 2)2 − 3 ≥ −3, et k(2) = −3. Donc −3 est la valeur minimale (le minimum) de k sur ℝ, atteinte en x = 2.

Barème : Q1 : 0,5 + 0,5 + 0,5 ; Q2 : 0,5 + 0,5 + 0,5 ; Q3a : 1 ; Q3b : 0,5 + 0,5 ; Q3c : 0,75 + 0,25.

Exercice 4 – Une fonction homographique

  1. Dg = ℝ \ {1}.
  2. 2 + 3/(x − 1) = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = (2x + 1)/(x − 1) = g(x).
  3. Pour a et b distincts d'un même intervalle : g(a) − g(b) = 3/(a − 1) − 3/(b − 1) = 3(b − a)/((a − 1)(b − 1)), donc (g(a) − g(b))/(a − b) = −3/((a − 1)(b − 1)).
    Sur chacun des intervalles ]−∞ ; 1[ et ]1 ; +∞[, (a − 1)(b − 1) > 0, donc le taux de variation est négatif : g est strictement décroissante sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
  4. Cg est une hyperbole de centre Ω(1 ; 2) ; ses asymptotes sont les droites d'équations x = 1 et y = 2.
  5. Axe des ordonnées : g(0) = 1/(−1) = −1, point (0 ; −1). Axe des abscisses : g(x) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1/2, point (−1/2 ; 0).
    g(x) = 5 ⇔ 3/(x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (et 2 ∈ Dg) : S = {2}.

Barème : Q1 : 0,5 ; Q2 : 1 ; Q3 : 1 + 0,5 ; Q4 : 0,5 + 0,5 ; Q5 : 0,25 + 0,25 + 0,5.

Barème

Exercice 1 – Calcul trigonométrique5 pts
Exercice 2 – Identités et équations trigonométriques4 pts
Exercice 3 – Généralités sur les fonctions6 pts
Exercice 4 – Une fonction homographique5 pts
Total20 pts

Conseils de révision

  • Le signe de sin x ou de cos x se lit sur l'intervalle auquel appartient x.
  • cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ ; sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ.
  • Avant d'étudier la parité d'une fonction, vérifier que son domaine est symétrique par rapport à 0.
  • Le signe du taux de variation (f(a) − f(b))/(a − b) sur un intervalle donne le sens de variation de f.

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