نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدرسة المحمدية للمهندسين (EMI) لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة والإجازة - دورة 14 يوليوز 2023 - اختبار الفيزياء

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المدرسة المحمدية للمهندسين
‎Ecole Mohammadia d'Ingénieurs‏
C.U.E.S - D.E.U.G.
Epreuve de Physique
14 Juillet 2023
Durée 3 heures
LA 7 . 7 à 4 H 0 5 é
L'épreuve comporte deux parties indépendantes à rédiger sur des feuilles séparées
Nombre de pages (celle-ci non comprise) : 4

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1- Mécanique
Dans un ré 1 ilé i
‏ام ع‎ R galiléen de base cartésienne )0,2,7,2(, nous étudions une barre homogène AB de
(OS On nt ‏لامو‎ 21. Son extrémité À est contraint à se déplacer, sans frottement, le long de l’axe
ae cl e e centre d inertie de la barre repéré par les coordonnées (x,y). L'orientation de la
de fr h plan (xOy) est repérée par Pangle 6. En plus de son poids, la barre est soumise à l’action
Vide AU a maps appliquée au point A et schématisée par un ressort de raideur k et de longueur lo à
. À age de l’extrémité A de la barre par l’origine © (ya=0), 1 à
sag =0), la longueur d t égale à
sa longueur à vide lo. ° es ROUTE
1 s'intéresse aux mouvements d’oscillations de la barre AB dans le plan xOy (voir schéma ci-
essous). On donne le moment d’inertie J de la barre AB par rapport à un axe À perpendiculaire à la
barre et passant par son centre d’inertie G : J = mi
L 3 |
L'ensemble est plongé dans le champ de pesanteur d’accélération uniforme, caractérisé par le vecteur
7)
&@l
Partiel : Mise en équation
1) Exprimer x en fonction de let 8
2) Exprimer y en fonction de la coordonnée ya, | et 8
Sachant que yA représente la position de ‏ذا‎ extrémité de la barre, Ya = 02.7 ‏بملة‎
On se propose de déterminer les équations du mouvement de la barre
3) Faire le bilan des efforts exercés sur la barre en mouvement et représenter leurs résultantes Sur
un schéma.
4) Ecrire le théorème de la résultante cinétique appliqué à la barre AB.
5) En déduire l’expression de la réaction R de l’axe (Oy) en fonction de m, ‏يا بع‎ 6, ô et ‏ق‎ ainsi
qu’une équation du mouvement reliant y, ÿ et 0. On posera : ‏رن‎ = LE
m
6) Ecrire le théorème du moment cinétique en G.

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7) En déduire, à l’ai , ‏ل‎
‎d de d’une projection convenable, une deuxième équation du mouvement de la
barre reliant 6, 0, 8 et y. On posera : ‏ون‎ = E
1
Partie 2 : Etude des petites oscillations de la barre
On s’intéresse aux petits mouvements de la barre AB. Dans ce cas, y et 0 ainsi que toutes leurs dérivées
temporelles sont supposées être des infiniment petits de premier ordre.
1) En linéarisant les équations du mouvement obtenues précédemment, montrer que le
mouvement général de la barre est décrit par :
ÿ + w?y = wfz
3 + Go? + ‏عله‎ = 30?y
Où z = 18
2) On cherche les modes propres d’oscillation de Ja barre sous la forme d’une notation complexe :
| y = Aexp int
z = Bexpift
Où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument + 1/2, À et B sont deux constantes complexes.
2.1) Montrer que À et Bsont des solutions du système linéaire homogène suivant :
| (w? - ‏4ر02‎ - wiB = 0
_3w2 À + (3w? + «2 - 02(8 = 0
n ce système admet-il des solutions non identiquement nulles ?
2.2) A quelle conditio
2.3) En déduire que Q est solution de l’équation :
= مين + ررم + ‎(4w?‏ — 04

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11-116
Partie 1
Les vecteurs )2 &,, 62( : les vecteurs unitaires selon les Ox, Oy, Oz du repère R(O,x,y,z).
les vecteurs )2( 29. ‏م2‎ :
les vecteurs unitai i
ires de la base associée aux coordonnées sphériques
) & ‏(م‎ d’un point M de l’espace. "
Un dipôle électrostatique est constitué de deux charges ponctuelles
105 -q et +q placées sur l’ :
charge +9 cest située en P (z = +b/2) et l’autre charge k 2 bn
-q est placée en N (z = -b/2), avec b > 0.
1) Donner :
a) L expression du moment dipolaire électrique 1 de la distribution décrite ci-dessus en
fonction des données. Et donner son unité ?
b) L’expression du potentiel électrostatique V,(M) créé au point M de l’espace par la
charge ponctuelle +.
c) L’expression du potentiel électrostatique V{(M) créé par les deux charges au point M,
en fixant, par convention, le potentiel à l’infini égal à 0.
2) Justifier que le champ électrostatique créé par les deux charges au point M s'écrit sous la
forme : (M) = E,(r,0)e; + Eg(r,0)eg et Justifier que V(M) = V(r,8).
3) Maintenant que les deux charges sont très proches l'une de l'autre, on se concentre sur
l'expression du potentiel électrostatique en un point M tel que r >> b. donner donc
l'expression approchée du potentiel V{M). On se limitera à l’ordre 1 en b/r.
4) Donner l’équation des équipotentieties loin du dipôle en coordonnées sphériques.
5) Déterminer les composantes radiales et orthoradiale du champ électrostatique créé par le
dipôle loin de celui-ci.
6) Donner l’équation des lignes de champ loin du dipôle en coordonnées sphériques. Et Dessiner
l'allure des équipotentielles et des lignes de champ dans le plan ‏م‎ — constante en précisant
l'orientation de ces dernières.
Partie 2
Dans cette partie, on modélise un dipôle électrique oscillant par une charge +q au point P de l'axe Oz
et par une charge ‏و-‎ fixe à l’origine 0 du référentiel R (O, x, y, 2). Le long de l’axe 02 , La charge
+q est animée d’un mouvement sinusoïdal de pulsation w et d’équation ci-dessous :
2)0 = bcos(wt) = Re(be”f®*) avec b>0 et j =
En régime variable, le moment dipolaire du dipôle électrique oscillant est définie par :
BE) = p(t)ë, , avec p(t) = po cos(wt) et po = qb
En notation complexe et dans les conditions où r >> b et À >> b ; Le calcul du champ
électromagnétique (E(M,t),B(M,t)) créé par le dipôle 5(t) en un point M de coordonnées
Sphériques (r, @ @) donne :
=

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ECM, t) = _Po_ LL: _
‏لما وج‎ — jkr) cos(8) 2 + (1 — jkr — (r)2)sin(0)egJe-Jot-kr
Et
B _ _;Ho@Po , . |
B(M,t) = -j 4e (1 — jkr) sin(8)e-/@t-kn ‏ب‎
‎Avec
À : la longueur d’onde associée à l’onde électromagnétique émise par le dipôle
k : le module d’onde associé à l’onde électromagnétique émise.
‏ر 27 "م‎ .
On pose = FT Grave: la vitesse de l’onde dans le vide.
1) Interpréter qualitativement les deux approximations : r >> b et X>> b.
2) Justifier le terme kr dans la phase instantanée du champ électromagnétique.
3) Montrer que l'expression du champ électromagnétique est en accord avec la symétrie du
problème.
4) Que devient le champ électromagnétique en régime ‏ة‎
‎électromagnétique en régime quasi stationnaire ? Interpréter.
5) Dans cette question, on s'intéresse au champ électromagnétique au voisinage d’un point
éloigné du point O où se trouve le dipôle. Le champ électromagnétique, dans la zone de
rayonnement, a pour expressions :
tationnaire ? Que devient le champ
2 , w? , ‏ب‎
‎Ho® Po ‏ور رزو‎ jt Ke et — Fo _ sin(p)e-/t-ke,
n Justifiant votre réponse, parmi les deux expressions ci-dessus, celle du
champ électrique 204 t).
(r,) du champ électrique en un point M en
a) Préciser €
champ magnétique ECM, t) et celle du
b) Etablir l'expression de l'amplitude Em
fonction de r et 9.
E
c) Que vaut le rapport 3 ? Commenter.