نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدرسة المحمدية للمهندسين (EMI) لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة والإجازة - دورة 15 يوليوز 2022 - اختبار الرياضيات

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CONCOURS D’ADMISSION
EN PREMIÈRE ANNÉE
DEUG ET LICENCE
ا
‎ÉPREUVE DE‏
‎MATHÉMATIQUES‏
سم سىس سس لسن سس - ‎٠‏ ل
Vendredi 15 juillet 2022
Durée :3 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les
candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L'usage de la calculatrice et aussi interdit.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
L'épreuve comporte deux parties indépendantes à rédiger sur des feuilles s’éparées

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PARTIE 1 : ALGÈBRE
Exercice 1
à coefficients récls. On note
Soit M, (R) l'esp: 1 $ ices carrées d'ordre ‏م‎ € N°
PCR) l'espace vectoriel des matrices carrécs ll nsposée
1, la matrice identité de MR). Si M € M,(R) , la trace de M est notée Tr(M), sa tra
est noté MT et Tu représente son polynôme minimal.
: : : =a-bet
Soient a ct b deux réels, avec b # 0, et soit n un entier naturel > 2. On pose f = a
y=a+(n—1)b.
On considère deux matrices À, D de M,(R) telles que :
VI. Préciser le rang de la matrice À — BI,
"2. Déduire que B est une valeur propre de A et que le sous-cspace propre associé est de
dimension n — 1
V3. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P 6 M, (R) telle que À = PTDP
4. Calculer le déterminant de la matrice À. Sous quelle condition sur a et b, la matrice À
est inversible ?
‏ما‎ 5. Préciser le polynôme minimal de À puis déduire l’expression de l’inverse de À, si elle est
inversible, en fonction de Aet I, 9
‎On suppose que [ et y sont positifs ou nuls, donner une matrice 5 € M,(R), symétrique‏ .6 عا
كي = ‎et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles, telle que À‏
‎Exercice 2
‎Soient les deux matrices carrées suivantes :
‎5 5 -4 8 4 —16
A=16 6 -16| et ‏)ده‎ 4 a)
5 5 —14 4 4 —12

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On note B = (e,,e,,e3) la base canonique de 183:
‎Déterminer les valeurs propres de À ainsi que les sous-cspaces propres associées.‏ .اح
‎y 2. Soient 61 = (1,2,1),e; = (1,—1,0) et 63 = (1,1,1); Vérifier que ces vecteurs forment une
base de RŸ.
‎a base canonique R? à la base (ei,e2, 3) Justifier que P
‎L#3. On note P la matrice de passage de |
uit D = PTAP
‎est inversible, puis calculer la matrice prod
0 | an CG éfinies par :
4, On considère la suite (Xh)}n>0 des matrices, 58 lignes ct une colonne, défi p
‎1 0
1 1
‎Un
‏ا‎ EN, soit Y, = P71X, avec Ya = (x)
Wn
‎Ya. Calculer la matrice produit D; = P-1BP 17
‎pb. Montrer queVn EN, ‏عبرا‎ = D ‏يبرا‎ + Din
‏عر‎ c 10600176 ‏عن‎ 7 6 N, Una = ‏دجولا بيجملا‎ = An Et Wnt2 © —4Wn41 — Wn
L/d. Donner les expressions explicites de ‏رملا‎ va et WA en fonction de n
‎e. Donner l'expression explicite de X, en fonction de n.
‎5. On considère trois fonction u, v et w de R dans R, dérivables sur R et vérifiant le système
‎d’équations différentielles :
‎u'(t) = ‏واي‎ + 4v(t) — 16w(t)
(1) = v'(t) = 4v(t) — 8w(t)
w'(t) = 4u(t) + 4u(t) — 12w(t)
‎Justifiez que, pour tout réel t, il existe un unique triplet (x(t),y(E), z(t)) de réels tel que
(u(E),v(),w(E)) = x(De: + y(e; + 4
y b. Exprimer les fonctions x, y et z en fonction de u, v et w, puis déduire qu’elles sont
‎dérivables sur R
c. Montrer que le système d’équations différentielles (1) équivaut au :
‎L a.
‎x'(t) = 0
(2) = 4 y'() = 4y(0)
2'(t) = —-4z(t)
‎d. On suppose u(0) = 1 et que v(0) = w(0) = 0: c:
‎| = 0; calculer x(0), y(0) et
y e. Résoudre le système (2) avec les conditions initiales trouvées jt Here récédent
vf. Déduire la solution du système (1) avec les conditions initiales données Drécédemment
‎2

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RTE ille à part
Partie Analyse : à rédiger sur une feu
1 3 a str tur d’e oriel ٠ On
2 1 space vec
10 sa : tructure algéb ique usuelle P
01 se place dans 18 muni de Sa St ñ 1
z,y) € R°.
considère la norme || || définie sur R? par I (62) ‏حماا‎ 7 pour ‏قا‎ de 82
Pour toute fonction f admettant des dérivées partielle en un ‏تومل‎ le couple des
on appelle vecteur gradient de / en (x, yo)le vecteur f (ro: yo) don
coordonnées dans la base canonique de R? est (2 (Go, Yo); a (to, 01
Pour toute fonction f admettant des dérivées partielles secondes 34 er le
et LE (to, Yo) en run couple NA de Ni on appelle Laplacien de f 0, Yo
: el Af = * 20: Vo) + 7 To, Yo)- | } ‏ب‎
Den le al = Got ‏ب‎ nul à coefficients réels et à deux indéterminées
Xet Y, peut s'écrire d’une manière unique sous la forme
P(X,Y) = ao(Ÿ) + &(Y).X + @(Y).X? + + an(Y).XY où a(Y) € R 1 pour tout
ie{0,.…..,N} et ax(Y) # ‏صا‎ ٠ N s’appelle degré de P par rapport à l’indéterminée
X . On le note degx(P).
On considère l’ensemble G = {(x,y) € ‏براق‎ > 0}. Pour tout (x,y) € ©, on pose
C'(x,y) = ‏اح‎
L” 1-a) Vérifier que G est une partie ouverte, non fermée dans (R?, || |l2) et que l’adhérence
de G est G = {(x,y) € R?|y > 0}.
‎1-b) Vérifier, également, que pour tout y > 0, la fonction C'(.,y) est intégrable sur‏ ع
‎R et que [LE C'(x,y) = 1.‏
‎y” 1-c) Démontrer soigneuesement que la fonction C est de classe 09 sur G et donner
les coordonnées du vecteur gradient 0 (x, y) ‏ده 0 عل‎ (x,y) pour tout (r,y) €
‎1-d) Vérifier que AC (x,y) = 0 pour tout (x,y) € ©.‏ صا
‎Pour tout m,n € N et tout (70, %) € G, on pose 0170 (0, vo) = Eng (0, vo).‏
‎R[X,Y] tel que‏ € يلظ ‎Démontrer que pour tout m,n € N, il existe un polynôme‏ )2
‎degx(P) £2.(m+n) et CE) (x,y) = er pour tout (x,y) 6 ٠
‎Dans toute la suite, on considère une fonction f : R ‏جب‎ © continue et bornée sur
R. C étant muni de sa norme usuelle,
‎W3) Montrer que pour tout (x,y) € G, la fonction t ++ F(E).C(x —t,y) est intégrable
sur R.
‎On note alors, dans toute la suite, P (x, y) le nombre complexe ['® 0.6 ‏م)‎ y)dt
‏ل‎ —09 " ١ ٠
1/4) Montrer que la fonction 9, : (x, y) Pr(x,y) est continue et bornée sur G.
‎Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur R à valeurs d c
ans

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muni de la norme ||| définie par || 9 || ‏حم‎ Sup | g(e) | pour tout ‏و‎ 6 ٠
On note F l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur G à valeurs dans
€ muni de la norme ||. définie par || À || ‏كعم‎ Su |h(x,y) | pour tout 6 F.
2, y)EG
On munit l’espace vectoriel Lc(E, F) des applications linéaires continues de (E, || || ‏لد‎
‎dans (F,|||s2) de sa norme usuelle ||| ||| définie par Il ‏م‎ |= sup, (Le) pour
9
tout ‏م‎ 6 Le(E,F).
‏ط‎ 5( Donner, sans aucune preuve, trois autres expressions de ||| ‏م‎ || pour ‏م‎ € Le (E,F).
Ww6) Montrer que Ÿ : f 6 ‏رق برط‎ est un élémément de Le(E,F) et déterminer
ااا # اا
dr 7) Vérifier que la fonction ‏رة‎ définie dans 4) est de classe C® sur G et calculer
AG; (x,y) pour tout (r,y) € G.
1-8) Montrer que, pour tout réel a > 0, &; est uniformément continue sur H; =
{(x, y) € R?|y > a}.
9) Soit 20 61 66 6 <
Montrer qu’il existe ‏و‎ > 0, tel que pour tout (x,y) € G,
|z-zl<n
jen hf
Donner une expression explicite admissible ‏عل‎