نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدرسة المحمدية للمهندسين (EMI) لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة والإجازة - دورة 12 يوليوز 2021 - اختبار الرياضيات

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CONCOURS D’ADMISSION
EN PREMIÈRE ANNÉE
LU
FILIÈRE : C.U.E.S - D.E.U.G.
ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES
Lundi 12 juillet 2021
Durée 3 heures
la présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document
L'épreuve comporte deux parties indépendantes à rédiger sur des feuilles séparées

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PARTIE 1 : ANALYSE
Le but de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique des racines de la dérivée
du polynôme de degré ‏ا‎ 1,
‏متام‎ = X(X - 1): (X- n)
lorsque n tend vers l'infini.
On notera cot la fonction définie sur JO, | par
cot(x) = Ho
Cette fonction est une bijection de [0:7] sur JR. On notera Arccot sa fonction réciproque. Pour
tout réel x, [x] désignera la partie entière de r. On rappelle la formule de Stirling :
n
ne V2mn (©) quand ‏جم‎ co
Quelques propriétés des racines de P,
1) Montrer que, pour tout n > 1, ‏لم‎ admet exactement une racine ‏بر‎ dans chacun des inter-
valles ‏لماز‎ + 1], pour k = 0,--,n— 1. Notons an ‏لمات‎ — k e]0, 1, la partie fractionnaire de
Lak-
nl
2) Pour r 2 1, en calculant les coefficients de degré n — 1 et n de ‏راط‎ exprimer 2 Tn,ks puis
K=0
«1
SD Ank © fonction de n.
k=03) En comparant ‏طامط‎ et Pa(n — X), exprimer Znn-1-K en fonction de zx, pour tout n > 1,
et pour tout k = 0,-..,n—1.
4) Déterminer la valeur de ane + Onn-1-k
Le but des questions suivantes est de montrer que, n étant fixé, la suite des ax croît lorsque
k croît de0Oàän-1.
. 5) Pour tout n 2 1, dresser, en foncti
On y fera apparaître les réels ‏رمع‎ POUT
6) En déduire le signe de (-1)"-*Pa(tnx) pOur k=0,1,..n-1.
7) En utilisant la relation PAX) = (X - ‏اله‎ (X), déterminer le signe de )-1(7 P'(tn-1)
pour k=0,1,-.,7n— 2.
8) En déduire que pour k=0,1,n- 2, 0n 8 ‏حورت‎ > Tnk
on de la parité de n, le tableau de variations de Pa.
‏حم‎ 01,0011 ainsi que les entiers 0,10
2

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9) En utilisant l'idendité P,(X) = X Pi (X - 1), détorminer, en ‏مطاعوما‎ de k et n, ‏كا‎ signe
de (—1)" PI + ang) pour ‏بتع لطع‎
10) En déduire que pour k = 1,4::,n 1, 0n 8 tag > 14+ ‏بطر رسو‎
11) Conclure.
11. Un développement asymptotique
Pour x > 0, on pose
(a) = ‏سا‎
‎Montrer que Test strictement positive et deux fois dérivable pour ‏ع‎ > 0.
12) On admet que la fonction L satisfait, les formules :
1)(1)1 - x) = zel0;1[ et T(z+1)=2T{x), z>0.
7
sin(az)”
Désormais, on pose, pour tout x > 0
_ I)
12)
13) Montrer que Ÿ est strictement croissante.
14) Établir, que pour tout z > 0,
Vz+1) = V() +2
On pose pour tout z > 0,
gx) = Y(x) - (x)
15) Montrer que la série de terme général ((n +1 ( — g(n)) converge.
16) Montrer que la suite (g(n); r 2 1) converge lorsque l'entier n tend vers l'infini. Soit © sa
limite.
17) Montrer que si C # 0
[ g(t)dt & 0« au voisinage de + ‏مه‎
‎1
18) Montrer que C = 0.

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PARTIE II : ALGÈBRE
n désigne un entier naturel supérieur ‏له‎ égal à 2.
Dans tout le problème, on munit l'espace vectoriel Mai (R)
de son produit scalaire usuel noté {-|-) défini par
, des matrices colonnes à n lignes et à
coefficients réels, ‏(لارع)‎ = nu + 63 ‏مح‎ +7
Ti "1
22 2
pour tout x = ! lety= © [dans Ma (R).
Zn Un
On note ||.|| la norme correspondante au produit scalaire th:
21
22
On rappelle que || x {= ‏بدي‎ + 25 ++ 22 pour toutx = | , | dans Mna (R)-
Tn
On note MAR) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, et ‏ول‎ la matrice
encore notée || . || définie par :
identité ; on munit MA(R) de sa norme usuelle,
‏بام ) مس حارم‎ X € Mon (RI\ {On ace)} } pour tout. À € Mn ‏لقا‎
Une matrice À de M, (IR) sera dite s-positive si l’on a {AX|X} > 0 pour tout X de Man (R) :
Une matrice 4 dans M, (R) est dite symétrique si ‘À = À, elle est dite anti-symétrique si ‘A = À.
On note ‏مي‎ (R) et ASn (R) les ensembles des matrices symétriques et anti symétriques de Ma (R)
respectivement.
1. Montrer qu'une matrice symétrique réelle est s-positive si et seulement si toutes ses valeurs
propres sont positives.
2. Vérifier soigneusement que Sn (R) et ASn (R) sont des sous espaces vectoriels supplémentaires
de Mn (R).
blème, le candidat peut utiliser le résultat suivant :
Dans toute la suite du pro
s'écrit de façon unique comme 0106 d'une matrice symétrique As
Toute matrice À de MAR)
et d’une matrice antisymétrique Aa.
3. Montrer que pour toute matrice À = As + Aa de MA(R), où 4 est symétrique et Aa est anti
symétrique, on à l’équivalence :
À est s-positive si et seulement si toutes les valeurs propres de À, sont positives.
4. Montrer que pour toute matrice M € M (R) s-positive et tout y €j0, +66] , la matrice ‏لمر + ار‎
est inversible. .
On posera alors R,(M) = (bn + My”.
5.2 On considère les deux cas suivants et on prend toujours # > 0:

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() Pour chacun de ces exemples, déterminer, en le justifient, Ker A7, Im M et R,(M).
(ü) Pour chacun des deux exemples, dire, en justifiant, si BimR, (M) existe et calculer son
‏جسير‎
éventuelle valeur.
(iü) Pour chacun des deux exemples, dire, en justifiant, si lim HR(M) existe et calculer son
pre
éventuelle valeur.
Dans toute la suite, on se donne une matrice s-positive M et un réel 4 > 0.
6. Démontrer les résultats suivants :
a) MR(M)=R,(M).M = ‏م1‎ —p.R,(M). :
b) Pour tout réel 8 > 0, on a R,(M) — Ro(M) = )3 - y) Ro(A).R, (A).
7. Démontrer l'inégalité || BR, (M) | È , avec égalité si et seulement si det M = 0.
8. Démontrer les assertions suivantes ‏ب‎
a) Pour touts © ‏حت‎ HRa(M).3 — 0lorsque y — 0.
b) L'espace Mai (R) est somme directe de Ker M et Im M.
c) Lorsque y: tend vers 0, u.R,(M) tend vers le projecteur sur Ker M parallèlement à Im M.
9. Montrer que l’application © : wr+ R,(M) de ]0,+oo[ dans M,(R) est indéfiniment dérivable,
et exprimer ses dérivées successives 84) en fonction de ses puissances 81 : ++ &(u)1.