نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدرسة المحمدية للمهندسين (EMI) لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة والإجازة - دورة 2024 - اختبار الفيزياء

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Partie 1 : Mécanique
Dans un référentiel terrestre R galiléen de base cartésienne (O.%,ÿ,2), on étudie le mouvement sans
ar
de centre O et
\ dd
glissement d’un cylindre plein (C) à l’intérieur d’un cylindre fixe creux de rayo
d’axe (Oy). Le cylindre mobile (C) est homogène de masse m, de rayorfé)de centre C, de moment
d'inertie J = ; mr? par rapport à son axe horizontal (Cy).
On note 8 l’angle orienté entre (Oz) et (OC) et(p)l'angle de rotation du cylindre mobile 0 dans le
repère barycentrique (Cxyz). 1 est le point de contact entre les deux cylindres, N et T sont les
composantes normale et tangentielle de la force exercée par le cylindre fixe sur le cylindre mobile.
L'ensemble est plongé dans le champ de pesanteur d'accélération uniforme, caractérisé par le
vecteur (ÿ).
١
١
١
١
‏ل‎
‏ل‎
‎1
‎1
‎1
‎١
‎١
‏ل‎
‏ل‎
‎+
KZ
1) Ecrire la relation entre 6,@, R et r traduisant la condition de roulement sans glissement .
2) Calculer l’énergie cinétique E, du cylindre (C) en fonction de m, R, r et 6.
3) Calculer l'énergie potentielle de pesanteur E, du cylindre (C).
4) Justifier le fait que l'énergie mécanique du cylindre (C) est constante. En déduire l'équation
différentielle du mouvement de (C).
5) On se place dans l'hypothèse des oscillations de faible amplitude. Montrer que le
mouvement de (C) est sinusoïdal.
6) Donner l'expression de la période T de ce mouvement en fonction de R,retg.
7) On applique au cylindre une vitesse angulaire ÿ = & à 8 = 0, quelle est la valeur que doit
avoir cette vitesse pour que le cylindre fasse un tour complet ?
8) Discuter les différents cas de mouvements du cylindre en fonction de la valeur de ‏.ونه‎
‎9) Donner l’équation du mouvement du cylindre en présence de glissement.

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Partie 2 : Electricité
La pince ampèremétrique permet de mesurer de l'intensité de courant électrique sans ouvrir le circuit
à étudier. L'ouverture de la pince ampèremétrique permet d'insérer dans sa boucle le fil parcouru
par le courant souhaité sans interrompre le circuit. En cas de fermeture de la pince, ses deux
mâchoires forment une bobine. Les bornes de cette bobine reçoivent une tension directement liée à
l'intensité à mesurer.
FT + 1
On considère un tore de section rectangulaire est obtenu par rotation autour de l’axe (xx) d'un
rectangle de hauteur k et de largeur (b - a). Il est situé à une distance » de l'axe (voir figure 1 et 2).
X
Pour fabriquer une bobine torique, on enroule régulièremen A pires serrées de fil conducteur
autour de ce tore. Chaque spire peut être considérée comme étant dans un plan radial (voir figurel).
On suppose qu'il y a un fil rectiligne infini placé sur l'axe (xx') de la bobine torique et que ce fil se
referme à l'infini (à une distance suffisamment loin du tore). ‘
On considère le système de coordonnées cylindriques (r, 6, x) d’axe OX et de base orthonormée
directe (u;, 116, Ux) U
me 0#
Bobinage torique
1
‏جك‎
‎uc 00
Fil infini ‏لي‎ 8 ّ CN
Figure 1 Figure 2
(Vue en coupe) (Vue en perspective)
L'espace est assimilé au vide de permittivité électrique ‏مع‎ et de perméabilité magnétique yo .
1) Donner les équations de Maxwell dans le vide. En déduire les formes intégrales correspondantes
en spécifiant le nom.

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‎du bobinage torique sont connectées à un générateur‏ وغإن
‎Les figures 1 et 2 montrent le sens du courant Iv(t). À l'extéri‏
‎du fil infini sont reliées entre elles.‏
‎2) Les extrén
variable Ibu(t).
Jes extrémités
‎Qui fournit Un coura
‏ا ل‎ nt
r du bobinage torique
7
‎a) Etudier les symétries et 15 invariances pour le ch
‎amp magnétique Be(M, t) cré
bobinage torique en un point M quelconque de l'espace. ) crée Par le V4
‎b) En appliquant le théorème d'Ampère sur un contour qu’on précisera. Montrer que |
‏ا‎ N s €
champ magnétique est nul à l'extérieur du tore. Montrer que le champ magnétique vaut
‎= ‏ارال‎ 1 : :
10 )01, 10 = a ‏نه‎ à l'intérieur du bobinage torique.
‎c) Montrer que le flux du champ magnétique (M, t) à travers le bobinage torique ‏كل‎
‎2
‎donné par : D,,(M,t) = — ‏18م‎ 0
‎d) En déduire le coefficient d'auto-induction Lu de ce bobinage. /ndication : ‏حيو‎ Le. le
‎© Retrouver l'expression du coefficient d'auto-induction Le du bobinage torique à partit
d'une considération énergétique.
‎>
‎f) Donner l’expression du coefficient de mutuelle inductance 11 correspondant aux cl | |
d'induction dans le fil infini dus aux variations du courant électrique dans le bobinage torique. ١
‎3) Les bornes du fil infini sont reliées à un générateur qui fournit un courant variable Ir(t). La figure
2 montre le sens du courant Ir(t). Les extrémités de la bobine torique sont reliées entre elles.
‎a) Donner l'expression du champ magnétique BF(M, t) crée par le fil infini. ‏وب‎
‎b) Donner l'expression du coefficient de mutuelle inductance ‏م1‎ correspondant aux effets /
d'induction dans le tore dus aux variations du courant dans le fil infini. Commenter.
‎c) Expliquer brièvement et qualitativement pourquoi (à cause de quel phénomène physique)” 8
il va y avoir présence d’un courant 1::)0 dans le bobinage torique. X i
‎/ ‘4) Le fil infini est parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation ‏له‎ tel que ‏0)ع1‎ = V2 1, cos(wt),
/ avec Ie et w des constantes. La résistance électrique de la bobine torique est notée R.
‎a) Les extrémités du bobinage torique sont reliées aux bornes d'un ampèremètre. Représenter
le schéma électrique équivalent du dispositif. ١
‎b) Etablir l'équation différentielle reliant 1:)0 et ‏.0)ه1‎ En déduire la valeur efficace du
courant indiquée par l'ampèremètre en fonction de N et Ie pour R<< ‏لهسا‎
‎c) Maintenant les extrémités du bobinage torique sont reliées aux bornes d’un voltmètre.
Donner l’expression de la tension efficace Uer indiquée par ce voltmètre. Interpréter
‎5) Quels sont les avantages de la mesure du courant par cette pince par rapport à l'utilisation d'un
ampèremètre ?