نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش 2011 - الرياضيات
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة السنة الأولى من السلك التحضيري لدى المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش (8 août 2011)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش
- الدرجة
- السنة الأولى من السلك التحضيري
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- 8 août 2011
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
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UNIVERSITE CADI AYYAD Année Universitaire : 2011/2012 ECOLE NATIONALE DES Session du : 08 Aout 2011 SCIENES APPLIQU EES Responsable : Aomar IBOURK MARRAKECH Epreuve de mathématiques : (Durée:1h15min) > La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits > Parmi les réponses proposées elle n’y en a qu’une qui est juste > Règles de notation : > Réponse Juste= 1 point ; Réponse fausse= -1 point ; Pas réponse= 0 points نط ع qu'une case cochée= -1 point ااا Exercice n° 1 1. [ ما (= dx=-2n2+n(k-1) oùke]l:2] Sd X 2. | قور تون 33 0 11 3. | É +1]+ +) dx=1-41n3 3 1د 4. 1 | (x-2)e* dx يب e 0 4 7 Exercice 2 Pour tout réel x ,onpose G(x)= Î + ES 1. G est une fonction paire 2. G est croissante sur | 0: — 3. G est croissante sur FE : +) 4. lim G(x)=1 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Exercice n° 3 Une grandeur y décroît au cours du temps t selon la loi (1) = Yo 2”, où y, désigne la valeur initiale en 1 - 0 . La valeur moyenne de y entre les instants 0 et 1٠ [.(1=227 ( 3. =——(1-2 In2 Yo FT 4, —2—(1-2 TIn2 Exercice n° 4 Soit la fonction _f(x)=inle' -e?| 1: La fonction f est strictement décroissante sur He: 0 2 La fonction f est strictement croissante sur b ل 3. lim T1 - 0 4. La droite d’équation y = 3x est asymptote à la courbe C représentative de f quand x — + Exercice n° 5 En quel(s) points(s) la courbe y=4V2x + P admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses”? 1. aucun 2 )2:3( 3. ( 1: 2/2( 4. )8:6( Exercice n° 6 Soit la fonction f(x) = ai e* 1# م_ 1: La droite d’équation y = x+2 est asymptote oblique à la courbe C représentative de f quand x — +0 2 La fonction f est strictement décroissante sur بم[ 0 3: f est impaire 4. La fonction f est strictement croissante sur ىل +] wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Exercice n° 7 La contraposée de la proposition suivante: VxeR ,VyeR, x-y— f(x)= f(y) 1.3: 67 ,IER, f(x) = f(y) ou كع 2.7 67 ,VyER, f(x Zf(y) لاك« د 33xER :)7ر7 رد - f(y) et x< y 4.7 ل ,VyER, << جد f(x) 2 f(y) Exercice n° 8 La négation de la proposition suivante: VaeR ,VbeR, a<b= f(a)> f(b) IVaeR ,VbeR/ (a<b= f(a)> f(b) 2.3 67 ,3bEeR/ (a<b ou f(a)< f(b) | 33aeR ,35 6181 (a<bet f(a)< f(b) 4.34 67 ,3bEeR/ (ab et f(a)< f(b) Exercice n° 9 01 : — ,ما -1 On considère la suite (U, ) définie par : VnenN, مما =In(i+u,) 1. VnenN, u,<0 2. la suite (U,) est strictement croissante 3. la suite (U, )est décroissante 4 VnenN, u,>1 Exercice n° 10 L'ensemble 5 des solutions réelles du système suivant : 2° 2 =32 22" =432 المي (11 5 2) 42 3 5 3) K& 2 as-f21)/(15 3 34 5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com Exercice n° 11 En effectuant une division, déterminer les paramètres a et b pour que le polynôme A = x°+ ax +b soit divisible par B = x? — 3x +2 l.a=4et b=2 2.a=7 ét b=2 3.a=6 et b=-3 4.a=-7et b=6 Exercice n° 12 Deux tireurs A et B font feu simultanément sur une cible. La probabilité pour A de toucher la cible est estimée à £ ; la probabilité pour B est de . 1 La probabilité que la cible soit atteinte est : Exercice n° 13 Une urne contient y boules dont 3 sont blanches, les autres étant rouges. A l’occasion du tirage, sans remise, de deux boules, la probabilité d’obtenir une boule blanche puis une boule rouge est égale à ri Calculer y : l.y= 8 2YS 2 3.y=4 et y=9 4.y= 12ety=8 Exercice n° 14 De combien de manières différentes un professeur peut-il choisir un ou plusieurs élèves parmi 6 ? Ï, 55 3: 63 4. 48 Exercice n° 15 Le prix d’un article a subi trois baisses successives de 20%. De quel pourcentage ce prix a-t-il diminué au total ? 1. 66 2. 48,8% 3. 44,6% 4. 52,5% wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو UNIVERSITE CADI AYYAD Marrakech, le 08-08-2011 ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES MARRAKECH CEE EE ES Correction du concours d’entrée en 1°"* année du Cycle Préparatoire Fiche de réponses Epreuve de Mathématique (Durée 1h : 15min) ل امتح ةجو مقة امود لعلو افدةوبسو وما مسو مما ةمود ةا 033 أ و م اج اا 1016101 اتات : للعتتفا07 D Remarques Importantes : La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits. )1 Parmi les réponses proposées il n’y en a qu’une qui est juste. )2 Cochez la case qui correspond à la réponse correcte sur cette fiche. )3 Réponse juste = 1 point ; Réponse fausse = - 1 point ; Pas de Réponse = 0 point. )4 Noter Bien : Plus qu’une case cochée = - 1 point. Réservé aux correcteurs ل | ااا ls [a | [er لسسع RE RE AS EE DS EE EE REC || الا الا | Cases لا اللا | ااا || لسع REC ||| لا لا ا ال ال ال انان ال ا ا ا اللا لاا | بسع لا لا | لسسع Cases | لا .ا | | Eee 10 XL | للا RS ES AE ES D ES RES | SE | لا لا RSC | الا لا كا ا RES | لا لا .ا ا Cassis |] | | للا ل| Avenue Abdelkrim El Khattabi BP 575 Marrakech - Maroc Tél : (212) 0524.43.47.45/46 Fax : (212) 0524.43.47.40 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 8 août 2011. Durée : 1 h 15, documents, calculatrices et téléphones interdits. QCM de 15 exercices, une seule réponse juste ; juste = +1, fausse = −1, sans réponse = 0, plus d'une case = −1. Les réponses ci-dessous sont celles de la fiche de réponses officielle jointe au sujet, chacune justifiée par le calcul.
💡 Méthode : plusieurs exercices (11 à 15) se règlent en moins d'une minute ; faites-les d'abord et gardez le temps pour les intégrales et les études de fonctions.
Exercice 1 — Intégrales
Réponse : 3. Sur [−2, 0], ∫|x + 1| dx = ½ + ½ = 1 (deux triangles) et ∫ 4/(x − 1) dx = 4[ln|x − 1|]−20 = 4(0 − ln 3) : total 1 − 4 ln 3.
- 1. Faux : une primitive de ln(x − 1) − ln x est (x − 1)ln(x − 1) − x ln x + 1 ; l'intégrale vaut −2 ln 2 + k ln k − (k − 1)ln(k − 1).
- 2. Faux : ∫0π/3 (1 − sin2x) cos x dx = [sin x − sin3x/3] = √3/2 − √3/8 = 3√3/8.
- 4. Faux : par parties, [((x − 2)/2 − 1/4) e2x+1]02 = −e5/4 + 5e/4.
Exercice 2 — G(x) = ∫x2x dt/√(t4 + t2 + 1)
G'(x) = 2/√(16x4 + 4x2 + 1) − 1/√(x4 + x2 + 1). G'(x) ≥ 0 ⇔ 4(x4 + x2 + 1) ≥ 16x4 + 4x2 + 1 ⇔ 12x4 ≤ 3 ⇔ x2 ≤ 1/2.
Réponse : 2. G est croissante sur [0, 1/√2] (et décroissante sur [1/√2, +∞[, donc 3 est faux). 1. Faux : l'intégrande est pair, donc G est impaire. 4. Faux : 0 ≤ G(x) ≤ ∫x2x dt/t2 = 1/(2x) → 0.
Exercice 3 — Valeur moyenne de y = y0 2−t sur [0, T]
Réponse : 4. (1/T)∫0T y0 e−t ln 2 dt = (y0/T)·(1 − 2−T)/ln 2.
Exercice 4 — f(x) = ln|ex − e2x| (x ≠ 0)
f(x) = x + ln|1 − ex| et f'(x) = (1 − 2ex)/(1 − ex).
Réponse : 2. Pour x > 0, numérateur et dénominateur sont négatifs : f' > 0, f est strictement croissante sur ]0, +∞[, donc sur ]0, 1/2[. 1. Faux : sur ]−∞, −ln 2[, f' > 0. 3. Faux : f(x) → −∞ en −∞. 4. Faux : en +∞, f(x) = 2x + ln(1 − e−x), asymptote y = 2x.
Exercice 5 — Tangente horizontale à y = √(2x) + √(2/x)
Réponse : 3 (1 ; 2√2). y' = 1/√(2x) − √2/(2x√x) = 0 ⇔ 2x√x = 2√x ⇔ x = 1 ; y(1) = √2 + √2 = 2√2.
Exercice 6 — f(x) = x2 e1/x/(x − 1)
Réponse : 1. x2/(x − 1) = x + 1 + 1/(x − 1) et e1/x = 1 + 1/x + o(1/x) : f(x) = x + 2 + o(1), donc y = x + 2 est asymptote en +∞. Les autres sont fausses : f'(x) = e1/x(x2 − 3x + 1)/(x − 1)2 est positive sur ]−∞, 0[ (2 faux) et négative sur ]1, (3 + √5)/2[ (4 faux) ; f n'est pas impaire (3).
Exercice 7 — Contraposée de « x > y ⇒ f(x) = f(y) »
Réponse : 2. La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P, avec les mêmes quantificateurs : ∀x, ∀y, f(x) ≠ f(y) ⇒ x ≤ y.
Exercice 8 — Négation de « ∀a, ∀b, a ≤ b ⇒ f(a) ≥ f(b) »
Réponse : 3. La négation de P ⇒ Q est « P et non Q », et ∀ devient ∃ : ∃a, ∃b, a ≤ b et f(a) < f(b).
Exercice 9 — u0 = 1, un+1 = ln(1 + un)
Réponse : 3. Par récurrence un > 0 ; comme ln(1 + x) < x pour x > 0, un+1 < un : la suite est décroissante. 1 et 4 faux (0 < un ≤ 1), 2 faux.
Exercice 10 — 21/x·21/y = 32 et 2x·2y = ⁶√32
Réponse : 1. 1/x + 1/y = 5 et x + y = 5/6 ; or 1/x + 1/y = (x + y)/(xy), d'où xy = 1/6. x et y sont les racines de 6t2 − 5t + 1 = 0 : t = 1/2 ou 1/3. S = {(1/3 ; 1/2), (1/2 ; 1/3)}.
Exercice 11 — x3 + ax + b divisible par x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
Réponse : 4 (a = −7, b = 6). A(1) = 1 + a + b = 0 et A(2) = 8 + 2a + b = 0, d'où a = −7, b = 6. (Vérification : x3 − 7x + 6 = (x − 1)(x − 2)(x + 3).)
Exercice 12 — Deux tireurs
Réponse : 2 (19/20). Événement contraire « aucun ne touche » : (1/5)(1/4) = 1/20, donc P = 1 − 1/20 = 19/20.
Exercice 13 — Urne de y boules dont 3 blanches
Réponse : 3 (y = 4 et y = 9). (3/y)·((y − 3)/(y − 1)) = 1/4 ⇔ y2 − 13y + 36 = 0 ⇔ y = 4 ou y = 9.
Exercice 14 — Choisir un ou plusieurs élèves parmi 6
Réponse : 3 (63). Nombre de parties non vides : 26 − 1 = 63.
Exercice 15 — Trois baisses successives de 20 %
Réponse : 2 (48,8 %). Coefficient multiplicateur 0,83 = 0,512, soit une baisse de 1 − 0,512 = 48,8 % (et non 60 %).
أسئلة شائعة حول هذا النموذج
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الجهة المنظمة: المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش · 8 août 2011 — مصدر النسخة: المواقع الرسمية للمؤسسات (نسخ أرشيفية من Wayback Machine)؛ الإعلان الرسمي للمباراة هو المرجع.
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