نموذج مباراة ولوج المدارس الوطنية للعلوم التطبيقية ENSA 2016 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1^re année des ENSA Maroc, session de juillet 2016. Durée : 1 h 30. Elle compte 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D) : interprétation géométrique des complexes, dénombrement, arithmétique, fonctions, limites et intégrales. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.

💡 Méthode : plusieurs questions de cette épreuve sont des questions de cours (nombre de parties d'un ensemble, lien continuité/dérivabilité, chemins sur un quadrillage). Elles se traitent en quelques secondes : gardez le temps gagné pour les calculs d'intégrales.

Exercice 1 — t = (c − a)/(b − a)

1. Q1 → C) AC = r·AB et (AB, AC) ≡ θ [2π]. |t| = |c − a|/|b − a| = AC/AB = r et arg t = (AB→, AC→) ≡ θ [2π].
2. Q2 → D) t ∈ ℝ. A, B, C alignés ⇔ (AB, AC) ≡ 0 [π] ⇔ arg t ≡ 0 [π] ⇔ t réel (non nul, les points étant distincts).
3. Q3 → A) t ∈ iℝ. Rectangle en A ⇔ (AB, AC) ≡ π/2 [π] ⇔ t imaginaire pur (non nul).

Exercice 2 — Dénombrement (E à n éléments, A ⊂ E à p éléments)

4. Q4 → B) 2ⁿ. Chaque élément est dans la partie ou non : 2 choix pour chacun des n éléments.
5. Q5 → C) p·2^n−p. On choisit l'unique élément de A (p façons), puis une partie quelconque des n − p éléments hors de A (2^n−p façons).
6. Q6 → A) C_p+q^q. Un chemin compte p + q pas, dont q pas « haut » : il est déterminé par la position de ces q pas.
7. Q7 → C) f n'est pas injective. f(x) = f(1/x) pour x ≠ 0 (par exemple f(2) = f(1/2) = 4/5). De plus |f(x)| ≤ 1 car 1 + x² ≥ 2|x| : f n'est pas surjective non plus, ce qui exclut B et D.
8. Q8 → A) 4032. 15! = 2¹¹·3⁶·5³·7²·11·13 (formule de Legendre : exposant de 2 = 7 + 3 + 1 = 11, de 3 = 5 + 1 = 6). Nombre de diviseurs : 12 × 7 × 4 × 3 × 2 × 2 = 4032.
9. Q9 → A) 4²⁰. 4 choix indépendants pour chacune des 20 questions.
10. Q10 → D) α ≤ 1/4. α³ ≤ x(1 − y)·y(1 − z)·z(1 − x) = [x(1 − x)][y(1 − y)][z(1 − z)] ≤ (1/4)³, car t(1 − t) ≤ 1/4 sur [0, 1]. D'où α ≤ 1/4 (égalité pour x = y = z = 1/2, ce qui exclut B et C ; A est faux en général).

Sommes, fonctions et limites (Q11 à Q16)

11. Q11 → A) 0. Binôme de Newton : Σ(−1)^kC₂₀₁₆^k = (1 − 1)²⁰¹⁶ = 0.
12. Q12 → D) 13750. Σ_iΣ_j(i² + 2ij + j²) = 10Σi² + 2(Σi)² + 10Σj² = 20 × 385 + 2 × 55² = 7700 + 6050 = 13750.
13. Q13 → B) non dérivable. Toute fonction dérivable (en un point) y est continue ; par contraposée, une fonction discontinue (en un point) n'y est pas dérivable.
14. Q14 → A) f' n'est pas continue en 0. f'(0) = lim x·sin(1/x) = 0, mais pour x ≠ 0, f'(x) = 2x·sin(1/x) − cos(1/x), qui n'a pas de limite en 0 (cos(1/x) oscille). Donc B, C et D sont faux.
15. Q15 → B) e⁻⁴. (x − 1)/(x + 3) = 1 − 4/(x + 3) ; (x + 2)·ln(1 − 4/(x + 3)) ~ −4(x + 2)/(x + 3) → −4.
16. Q16 → A) +∞. Avec s = sin(1/x) : numérateur = 2(1 − s²) − s + 3 = 5 − 2s² − s ≥ 2 sur [−1, 1] (minimum en s = 1). Le dénominateur x + √x tend vers 0⁺ : le quotient tend vers +∞.

Équation et intégrales (Q17 à Q20)

17. Q17 → C) 232. On regroupe (x − 7)(x + 6) = x² − x − 42 et (x − 5)(x + 4) = x² − x − 20. Avec y = x² − x : (y − 42)(y − 20) = 608 ⇔ y² − 62y + 232 = 0. Le polynôme du 4^e degré (x² − x)² − 62(x² − x) + 232 est unitaire de terme constant 232 : le produit de ses 4 racines vaut 232. (Contrôle : y = 58 ou y = 4, et les produits des racines de x² − x − 58 et x² − x − 4 donnent (−58)(−4) = 232 ; les 4 racines sont bien réelles.)
18. Q18 → B) 1 + ln 2. (1 + ln x)/(x ln x) = 1/(x ln x) + 1/x : primitive ln(ln x) + ln x. Entre e et e² : (ln 2 − 0) + (2 − 1) = 1 + ln 2.
19. Q19 → A) (π² − 4)/π³. Deux intégrations par parties : ∫₀¹x²sin(πx)dx = [−x²cos(πx)/π]₀¹ + (2/π)∫x·cos(πx)dx = 1/π + (2/π)(−2/π²) = 1/π − 4/π³.
20. Q20 → C) I = J = π/4. Le changement x = π/2 − u échange sin et cos, donc I = J ; et I + J = ∫₀^π/21 dx = π/2.

Grille des réponses