Modèle de concours d'accès — 1re année pour titulaires du DEUG (MP, PC) — École Nationale Supérieure d'Électricité et de Mécanique (ENSEM) — Université Hassan II Aïn Chock — session 2010-2011 — Épreuve de mathématiques (algèbre et analyse)

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UNIVERSITE HASSAN II — AIN CHOCK
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE
D’ELECTRICITE ET DE MECANIQUE
© CONCOURS D'ACCES EN 1 °° ANNEE
2010-2011
DEUD MP, PC
Attention :
Les candidats doivent obligatoirement rédigées les deux parties Analyse et
Algébre sur deux copies séparées.

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Mathématiques |
- Algèbre - Durée 1h30
Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé,
L'énoncé d'algèbre comporte 2 pages
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux
résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais
brèves) de leurs affirmations.
On considère l'espace vectoriel euclidien RŸ muni de son produit scalaire canonique et on note
B = (iJ.*) la base canonique de R? .
Pour tout {x,») € R° x IR? on a donc:
> ‏“بير سد زر‎
où X et Ÿ désignent les matrices colonnes des coordonnées de 2 et Y danslabase 13 ‏ل أى‎ «
un sous-espace vectoriel de R°, 2 désigne le supplémentaire orthogonal de # dans 183 On:
LIR?) l'ensemble des endomorphismes de R? et Ié l'application identité de R5 Pour 7
éndomorphisme de R? , de matrice M dans la base canonique, on note 7 l'endomorphisme «
R° dont la matrice dans la base canonique est "M.
Partie |
: 3
Dans cette question 1 est un endomorphisme de R°.
1( Montrer que:
Ver y) » (RP, < ‏وار‎ >< x JO) >
: 3 avi |
Montrer que Ÿ* est leseul erdomorphisme & de R* vérifiant
Vaye (RP, > fx),y <«> ‏وي‎ >
2}
toit 7 un sous 6 vectoriel de R+ stable par l (c'est-à-dire tel que AE) )
LES
A (1 »
a) Pour ‏,م‎ 4 Fays Fe» j calculer < x T (y),
y . fw
‏عرزن ياغ‎ aue PT est stable par fi,
WU) En GOUTTE QU

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Partie ١
ل
On désigne par ‏وا‎ 8
de is ferme nsembie des endomorphismes ‏ب‎ de IR° dont la matrice dans le base F est
RON
0
و
a be
Mel cab
be a
où u= (a,b.e) € IR? ٠
1) Montrer que € est un sous espace vectoriel de LR).
2) Montrer que pour tout # # IR? , #5 appartientà €.
Lis) - 1-0-0 exe bb)
3) Onnote 9 3 CHE 5 JE LE ‏دم‎ HT et D la droite de vecteur
directeur 61.
a) Montrer que 21 estun vecteur propre commun aux éléments fu de Ë.
b}) En déduire que, pour tout # © MR? , D est stable par fu.
Déduire des questions précédentes qué, pour tout # € ‏قا‎ , 2 est stable par fe,
c)
d) Déterminer une équation de 72+:
etque 13 = (e,e2,83) est une
«
" e) Montrer que (83,83) est une base orthonormale de D*
23 base orthonormale de IR .
0 justifier alors que la matrice de 7 dans la base [9 est de la forme
# e 0 0
1 N=|0fe
4 ;
0 ht
‏رط طق ان ا‎ ١ sontdes réels.

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علج
1. se ve ombre entice naturel non nul, en cortidère tes deux fonctions 6, et ‏ب‎ définies
‏انال‎ )0.1) TS
4 x? x‘ 0 Pa
dx de ‏زج )0ل‎ et ‏به‎ Pate | de
2 0 s\-1
a). Aprés avoir justifié leur.sxistonce, déterminer les fonctions dérivées 8", et 4°, .
b)En déduire | ‘égale :
Vxef0.1(. Inti-X}=-(x + SAT d&.
2 Fer
(2
a) démontrer que: 7 x 2 10:1], OS ‏)و‎ (=)
١ ‏و‎
| . tx)
8) démeontres que la fonction @: 0,1 = IRASUX) « 63 est ‏#المتحعجهه اهاج‎ par conur
1
nf - x) &
Lu
: 8) jestifier l'existence de |
b) démontrer l'êgelté :
Fe - 20 ‏او‎ fe eue ‏ا | ها‎
« | ‏يي‎ 2 ñ Jo 2
À I] x 1,
<) endéduireaques ‏ا‎ bé ‏و كوا‎ ju ‏لمن‎ ) ———— àx - f 5
2? x 4° ‏ج‎ à
1
d) démontrer que : ‏م‎ dx) «x ‏ماخ‎ Fr dc
X
1 f
Exercice 2:
Soit L'une application continue de IR danx lusméme el qui adract 25 pour fe
On pote ‏قا‎ æ ‏ااام‎ ) .
sal
LU ‏اله 0,1].0) م رجز نون‎ et x iR Etablir le égalités

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يفي جنشفتا
‎cena ne‏ ا ا
‎٠” 008) 9(< RES‏ 2 2+
‎nel 1- 2rcos(8) + Æ‏
‎8
‎+ [ ir?
2 ‏بتي‎
‎72 Jo 1- 2r cos(t = x)+ r° di
b 0 PE] SN
( On pose. pourre [D,1f ‏الماع‎ Fix,.ne 1 ‏ا‎ D LE AC 0
1-2 ‏بجا ايو‎
‎a
‎Monirer que. F{x:r}= 3 + D (a, cos(nix) + b, sin(ax)).
‏اعم
‎Où, pour tout entier n 20.
‎l 22 29
7 [fiercostudi » be 1 0)
7 Ju ‏لج‎
‎: 7
&) Pourne ٠ 3 ] subir l'égalité
‎2
‎.
‏الما حطرات-0) ‎FT”‏
‏“م جاع - 1-2050
‎1
‎Fa ‏دو - و‎
ِ ‏ج32‎ [1-7 cos(i —X) +1 27 Jin
8) En déduire, l'inégalité
É . )- ‏ا‎
‏الث 2+ رو - 1 فنا كلض جع‎
pds | —cos7]
‎ntrer que lorsque T send vers 1 par valeurs inférieures FEX 7) tend vers ‏ور‎ uniformément
‎e) Mo
par rapport àx sur IR.
ans AÏCI _rSiRx
- ‏أي‎ et x. IR 0003# pre AM
2. Pour re {0 Il pa cree
a vénhe
‎a) Montrer quela dérivée partielle ‏أي‎ de par rapport À
‏صا
‏: امد ‎Sr"‏ ا
‏اعم
‎bp) En déduire jes égahités
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