Modèle du concours commun d'accès aux filières d'ingénieurs — Faculté des Sciences et Techniques de Marrakech (FST Guéliz) — Université Cadi Ayyad — session du 7 juillet 2012 — Épreuve de mathématiques

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Université Cali ‏انصرح‎
‎Faculté des Heleneas ‏إن‎
‎Le 7 Juillet 2014
Hospousablos: N, Alan, À, Eltatib
Avchniques de Marrakech
Concours d'acche aux filières d'ingénieurs
Epreuve de Mathématiques
Exsrelce 1:
1) Soit la matrice
6 5# 5
4| 5 6
5 6 6
1) Déterminer une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D à
termes tous positifs telles que 12 ve /5-
2) Déterminer une matrice D telle que À « BB , où H' est ‏ما‎ matrice
transponée de H,
11) Dans toute cette partie £ désigne un € espace vectoriel de dimension
finie, On note n sa dimension et on suppose que n > 2, On note L(E) l'ensemble
d'endomorphlumes sur Æ,
8i ٠ € L(E), pour tout entier naturel p non nul, on note /7 ‏ع‎ 4 6.0. On
fers
pous f° = Jd où Jd eut l'application identité de E. ١
817 » ©] [( |/ © L(E), on note par P([) l'application linéaire définie par:
4
‎EN, P(J) = Sauf} où PIX) = 5 asX4,‏ ولا
‎0 k
On notera deg(P) le degré du polynôme P.
Dans toute ln suite on considére f € L{E) vérifiant ‏ها‎ relation:
‎1 - Id) 0 (f - 214 »
On pose ‏سر‎ Ker(f - ‏وار إن (ل1‎ « Ker(f - 214ÿ?,
00 suppone que dim£, > 1 et dimEy 21,
1} Montrer que Es fi, En, ١
(2) Monter qu'il existe deux polynômes D et V tels que:
‎(X = DU(X) + (x DVIX) = 1, ‏مويو‎ degl0) > 2 et deg(V) > 1
‎3) On note ‏رم‎ le ,
projet
‏وا‎ parallèlement à je teur sur ‏زغل‎ parallélement à ‏ولا‎ » ps le projecteur sur
‎2 ‏ل يومالا‎ h
Me VO) ‏)ف‎ - 214)où y = Up) (1 = 14)

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Pan tou ‏ورين بل‎ / =]-1 1] .0« considère | équation différentielle suivante:
dy
Œy) )1-< (7 4 f(æ)
où f est une fonction de classe C® sur I. | |
On dira que ÿ est une solution de (Er) sur 1 si et seulement si ‏ص‎ est déri
vable
z!) de (z)- zp(z) = /)2(.
sur [et ouaVzeEl, {i-
,z € I est solution de l'équation (Eo) dite
{ 31 Vérifier que (zx) =
homogène (c'est à dire dans le cas où f=0)oùCE R.
(Vérifier que (zx) = ‏بطل‎ Î 90 dt “ini
swlution de (Er) qui satisfait ‏.مه = (0)م‎
4} Détérminer (x) dans la cas particulier où f{z)=1vzel.
1 f t
10 ‏يه‎ pour
(4) Dans toute la suite on désigne par ‏حب = (عام‎
Vi- 27} vi-Ë
LA
zel.
4 luttes l'existence de y{r) Vre I.
} On veut mont i 4 =
ontrerque _lim . ‏(عام‎  -)1( :
b1} soit ‏ع‎ € 1, et soit 8 € [0,7] tel que x = cos(8). Montrer que
9
5
ete) = ‏أ يج‎ rctu)jéu
0
b2} Soit F la foncti à ‏ا‎
‎(b3) ion définie sur [0,7] par F(4) = Jr tcostu)}au. Justifier
que F est dérivable sur [0,7] et déterminer s2 fonction dérivée F'(8)
0 > conclure.
} On considère mai
e maintenant le cas où f(x} = ‏“ع‎ avec n € N, x € T'et
Paz) = ‏لم‎ Î 7 y
Vi-r J Vi-8
2 ê ‏يس‎ Polz) et ‏(عارم‎
‎8 11167 que pour tout n > 2 et pour tout ‏ع‎ € J
L
}
4
‏دحج‎ on
{ ) M ne 4 nas)
€} Montrer que p :
© pour tonst
*« 20, gs: et un polynôme de degré 2n
d) Montrer «
un poly « é QUE pour tout n > 0 1
egré 20 — 1 et € > ‏وا‎ FoniZ} ‏جس‎ {z) -
Polynômede ce 7 ‏زعا‎ + Enpolx), où P, est
‏ع‎ 0 8