Modèle de concours d'accès — filières d'ingénieurs IGC, ISET, IRISI et IAFCS — Faculté des Sciences et Techniques de Marrakech (FST Guéliz) — Université Cadi Ayyad — session 2010-2011 — Épreuve de mathématiques

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Université Cadi 0 Année universitaire
1.5.1 Gueliz 2010-2011
Concours d’accès aux filières d’ingénieurs
IGC ISET IRISI et IAFCS
Partie I
Exercice : On définit les fonctions ‏م‎ et 7 sur j0, 2] par :
2
COE | sin(t) arctan(t) dt, F(x) — . Î sin(t) arctan(t) dt
1) Montrer que F est de classe 01 sur ]0, £[ et préciser sa dérivée sur 0]
2) Exprimer à l’aide de F les solutions sur ]0, 5] de l’équation différentielle :
zy" + y = sin(x) arctan(x)
3) Montrer que Vx €]0, {
p(x) > æsin(x) arctan(r)
4) En déduire la monotonie de F sur [0,5].
5) Montrer que :
v El, 5 ] O< arctan(t) > 2 et 0 > sin(é) > +
6) En déduire : lim F(x).
‏ال‎

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Partie II
Exercice 1 Soit
Di={(ny er ;2+y <4, 0<y<ret0<x<2};
Dr={(ay er ;2+ÿ>4 ‏ن‎ << 0050
1° Représenter graphiquement les dornaine D; et Do.
2 Calculer l’aire de Di en utilisant les coordonnées polaires.
3° Calculer I = Î[ | — ‏إن‎ dy
A
où A={(x,y) ER ; + <4 0<z<2e0<y< 2}.
Exercice 2 1) Déterminer la nature (convergence ou divergence) des séries
suivantes : ١
(a) Dn=0 TES
Gb) Dir ‏نات‎
n=l n?
‏موحد"‎ (—1)*
(c) Di V/{n)
2) Pour quelle valeur de a la série de terme général (1 — ‏“زم‎ est-elle conver-
gente ? calculer sa somme.
3) Calculer la somme de la série De

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Partie Ill
On note B = (e1,e2, e3) la base canonique de E = R°.
1) a) Montrer que B’ = (ui, ‏يدت‎ us) définie par :
‏وله رع حي = رت حاو = رن‎ = & + & +6, est une basede FE;
b) Déterminer Ma f B) et Ma £ B'), où fest lendomorphisme de E défini par :
Au) = Ki) =0et Ki) = ü.
2) Etant donné l’endomorphisme ‏م عع‎ défini par :
3 -2 -1
71/21 5:13( = M= 4 1 3
1 1 -2
a) Déterminer l'image de ‏ع‎ le rang de z. Expliciter une base de l'image de ‏ع‎
b) Déterminer le noyau de ‏ع‎ Expliciter une base du noyau de ‏ع‎
c) Vérifier que £ = Img@ kerg.
3)
a) Montrer qu'il est possible de choisir deux vecteurs ‏و‎ et ‏و‎ dans E vérifiant :
am) = 5n,gm) = -3n.
b) Vérifier que À = (1, », 13) est une base de ‏بط‎ déterminer Mag; A) ;
c) Déduire de 3), b) le calcul de A pour tout n € N.