Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Kénitra — session juillet 2017 — Épreuve d'algèbre et de géométrie

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Concours
d’accès au cycle de préparation à
l’agrégation de Mathématiques
Session Juillet 2017
l'épreuve d'algèbre et de géométrie
Durée 4 heures
Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.
CT

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‎Concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de Mathématiques - session Juillet 7‏ تت
‎Important
‎L'épreuve est constituée de deux problèmes. Le candidat est invité à bien mentionner les références
complètes de chaque question traitée.
‎Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges. La première
contenant la résolution du problème 1 et la seconde contenant celle du problème 2 . Dans chacune
des deux copies on indiquera les références du candidat et le nombre d'intercalaires utilisés.
‎Il sera tenu compte dans l'appréciation des copies de la rigueur de votre raisonnement, de la clarté de
la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le candidat peut utiliser les résultats
énoncés dans les questions ou parties précédentes, il veillera toutefois à mentionner la référence du
résultat utilisé.
‎Si le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il le signale sur sa copie en
expliquant les raisons qui l'ont amené à le penser. Ceci ne doit pas l'empêcher de finir son
épreuve et il a le choix d'adopter les rectifications qu'il croit nécessaires ou pas.
‎Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont interdits lors de cette
épreuve.
‎++++
‎Problème 1
‎Notations
‎Pour un ensemble fini F, on note card(F) son cardinal. Pour neN tel que n>1, on note /, l’ensemble des
éléments inversibles de l'anneau (Z/nZ,+,x) et ‏ول‎ l'ensemble des éléments non inversibles.
‎Pour a et be 2, ’a divise b" est noté ab, ce qui équivaut à : 3162, b= Ka. Pour a et b € Z, le plus grand
commun divi.eur dans N de a et best noté pgcd(a,b).
‎Pour aeZet neN”, on désigne par 2 la classe de a dans l’ensemble quotient Z/nZ. Si ‏م‎ un nombre premier
les ensembles Z/pZ et (Z/pZ)\{0} seront notés respectivement ‏و2‎ et 2 :
‎Soit (G,.) un groupe fini d’élément neutre 16. Soit a € G On appelle ordre de a, s’il existe et que l’on note
‎w(a), le plus petit élément de l’ensemble {x eN*| a = 16) .
‎Un groupe G est dit cyclique, s’il est fini et engendré par un seul élément (G= {ar, ke zh.
‎Préliminaire
‎1. Soit (G,.) un groupe fini d’élément neutre 1.
(a) Montrer que pour tout élément a de G, w{a) existe et que 0> w(a) > card(G) .
{b) Montrer qu’un groupe G est cyclique, si et seulement si, il existe ae G tel que card(G) = w(a).

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| Épreuve d'algèbre et de géométrie,
Partie 1
2. Soient aeZet neN telsque n>1. Démontrer que 2 est inversible dans (Z/nZ,+, x) si et seulement si
pgcd(a,n)=1.
3. Soit neN tel que n>1. Montrer que ‏لول‎ est un groupe commutatif.
4. Sans justification, énumérer, dans un tableau ayant deux rangées, les éléments de J19 avec leurs ordres.
Ce groupe (Ji, x) est-il cyclique 7
5. Sans justification, énumérer, dans un tableau ayant deux rangées, les éléments de J12 avec leurs ordres.
Ce groupe (112, x) est-il cyclique ?
Partie 2
Soit neN on dit que n est primaire lorsqu'il existe un nombre premier ‏م‎ et « e N° tels que n = ‏كم‎
6. Soit neN tel que n>1et n ne soit pas primaire.
(a) Établir qu'il existe deux entiers, que l’on notera m et m2 tels que ‏حم‎ mm, l<m<net pgcd(m,m)=1.
(b) Montrer que pgcd((m +m2),n)=1.
(c) Établir également que 7: € In et 026
7. On considère ‏م‎ un nombre premier, «ae N° et keZ.
Prouver que : ‏دوت ع‎ & pk.
8. Soit neN tel que n>1.
Démontrer que N, est un sous-groupe de (Z/nZ,+) si et seulement si n est primaire.
Partie 3
Soit ‏م‎ un nombre premier impair, un élément xe Z; et un carré s’il existe ‏بر‎ Z, tel que x= y?
9. Préciser l’ensemble ‏ما‎ et donner la structure de (Z,,+, x)
-1
10. Montrer qu’il y a exactement = carrés dans Z;..
11. Montrer que l’ensemble des carrés dans 70 est l’ensemble des racines du polynôme P(X)=X 7 - 1
12. En déduire que -1 est un carré dans Z,, si et seulement si, ‏م‎ est congru a 1 modulo 4.
13. Endéduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n +1.
Le suite de l'épreuve est à rédiger séparément !
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يلي 7 ‎Concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de Mathématiques - session Juillet‏ سس
Probième 2
Notations
On note R le corps des nombres réels, Z l'ensemble des entiers relatifs et N l’ensemble des entiers naturels. Si
[ est une fonction d’une variable réelle, on note D(f) son domaine de définition. On désigne par R[X] l’espace
vectoriel des polynômes à coefficients dans R et, pour tout 71 6 ‏,ل‎ on note Rh[X] le sous-espace vectoriel de
RIX] des polynômes de degré inférieur ou égal à m. Si m est non nul dans N, on note R” l’espace vectoriel
réel des m-uplets à coefficients dans R, qui est souvent identifié à l'espace vectoriel réel Mm,1(R) des matrices
à m lignes et une colonne, et à coefficients dans R.
Tout au long du problème, on désigne par n un entier naturel non nul. L’algèbre réelle des matrices carrées
d'ordre n à cocflicients dans R est notée #,(R). Le groupe des matrices inversibles de AMn(R) est noté GL,(R)
et la matrice identitée de #,(R) est notée I. Si U e GL,(R), on note U”! son inverse. Une matrice diagonale
D est notée diag(A1,.…., An), où A1,..., An sont les coefficients diagonaux de D. On rappelle que 4 6 An(R) est
diagonalisable s’il existe U € GL;(R) et
DE HR) diagonale telles que A = UDU”!. Une telle décomposition de A est dite diagonalisation de A. Pour
une matrice A€.#,(R), on note ‘A sa transposée et Sp(A) l'ensemble de toutes ses valeurs propres réelles. Le
sous-ensemble de #A(R) des matrices symétriques est notée 3,(R) ct celui des matrices orthogonales est noté
GnR). Ainsi
‎{AE MAR) : ‘AA = ٠.‏ = 00و ‎lA= A} et‏ : لقا ‎{AE‏ = نهاك
‎On rappelle que &,(R) est un sous-groupe de GL;(R). Une matrice Se, (R) est dite positive si ‘XSX2>0‏
‎est dite définie positive si {XSX > 0 pour tout X © R”\{0}. Le sous-ensemble‏ ى ‎pour tout X 6 07. En revanche,‏
اال ‎de FalR) des matrices positives est noté 5 (R) et celui des matrices définies positives est noté‏
‎Partie : I
‎1. Soit Me 4, (R) et UE GLa(R). Montrer que, pour tout PER[X],
P(UMU”!} = UP(MU”!.
2. Soient meN” et ‏ييه‎ am € R deux à deux distincts. Montrer que l'application :
‏“يا هم لاما :م
‎ (P(&),.….,P(am))‏ مر طم
‎est un isomorphisme.
‎Dans la suite de cette partie, f désigne une fonction réelle d’une variable réelle et À est une matrice
diagonalisable de #,(R) telle que Sp(4) est contenu dans D(f).
‎3. On note II(4,f)={PER[X] : P(A)= f(), pour tout 26 Sp(4)}.
a Montrer que H(A, f) n’est pas vide.
b Soient A=Udiag(Ai,.…, An) ‏أ لا‎ une diagonalisation de A et PE II(A, 7. Établir l'égalité
‎Udiag(f(),.…, f(An) U"}.‏ = راط
‎c En déduire que si P QE T(4, f) alors P(A) = Q(A).
‎Autrement dit, l'ensemble {P(A) : PEN(A, f)} contient une une seule matrice notée f(A) tout au long
du problème.
4. Montrer que f(4) est diagonalisable et que Sp(f(4)) = {f(A) : A € Sp(A}.
‎Partie 11 : Quelques exer:ples
‎3

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\ Epreuve d'algèbre et de géométrie,
Soient f et g deux fonctions réelles d'une variable réelle.
5. Soit À une matrice diagonalisable de #,(R) telle que Sp(A) ‏ب‎ D(PND(g). Montrer que si f(4) = g(À)
pour tout 1 € Sp(A) alors f(A) = g(A).
Dans la suite de cette partie, on suppose que f et g sont données respectivement par f(x) =|x] et
gtx) = Vx. En outre, soit A une matrice diagonalisable de #4, (R).
6. Démontrer que f(4) existe. Dans tout ce qui suit, (4) est notée JA].
7. Montrer que si Sp(A4)cR* alors ‏حم‎ [A].
8. À quelle condition la matrice g(4) existe-t-elle 7 Dans ce cas, on note VA au lieu de g(A).
10. Vérifier que les deux matrices V 42 et ‏إذاب‎ existent.
11. Établir les égalités V42=1A] = YIAÏ.
Partie III
12. Soit Se S(R). Montrer que Se.5**(R) si, et seulement si, il existe O€ On(R) et A1,...,Ân ER; tels que
S=Odiag(l,.…, An) 0
13. Soit Se 7}*(R.
a Vérifier que 5 < 5
b Montrer que Se GL,{R) et que 5١ ‏رض‎
‎c Justifier l’existence de VA et montrer que VSe 7 (R).
14. Montrer que l'application ‏:م‎ SŸ*(R) — S**{(R) est bijective et déterminer sa
5 — VS
réciproque ‏ام‎
‎15. En déduire que VS-1 = VS ! pour tout Se Z**(R).
16. Soit Ae GLA(R).
a Montrer que 4 S**{R).
b Montrer que AVTAA € ©).
17. Soient O, UE ‏لشاورى‎ et 5, 7 ‏رى‎ © telles que OS= UT. Établir 52 - T2.
18. En déduire que l'application :
7: OnRx FR) — ‏هم‎
‎(0,5) — 5
est une bijection.
Ainsi, pour tout ‏,لم61 عم‎ il existe un unique couple (0,5) de 6, (R) x 7**(R) tel que A= OS. Cette
égalité est appelée la décomposition polaire de À.
19. Soient 4 > GL,(R) et A= OS sa décomposition polaire. Montrer que ‘AA= S?.
Partie IV
Un sous-groupe G de GL,(R) est dit groupe pclaire si les deux conditions suivantes sont vérifiées
{) © est stable par transposition (c'est à dire, ‏ع‎ 6 pour tout 46 G).
C1) © est stable par racine carrée (c'est à dire, si Se Gn.Z/"(R) alors VS G).
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20. Soit G un groupe polaire. Montrer que G est stable par décomposition polaire (c’est à dire, si AeG et
A= OS est sa décomposition polaire, alors 06 G et Se G).
Dans la suite de cette partie, on se donne a, Be{-1,1} et Je 4, (R) tels que ‘J = a] et ‏2ر7‎ - BI. On
considère l’ensemble
G={AE AMhlR) : ‘AJA= J}.
21. Vérifier que det(A) € {-1,1} pour tout 4€ G, où det(A) est le déterminant de A.
22. Soit 56002
a Prouver que P(S-!)J = JP(S), pour tout PER[X].
b Établir l'existence de QE R[X] tel que Q(S)= VS et 957/5
c En déduire que VS-1J= JV].
23. Conclure que G est polaire.
Partie V : Groupe orthogonal et compacité
24.On note tr(4) la trace d’une matrice 4€ ‏.لهام‎ Montrer que l'application
‎MR) — ©‏ :م
‎(4,B) — tr(AB)‏
‎est un produit scalaire sur #A(R).
On note |.|2 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire (c'est à dire [All = Vtr(fAA), pour
tout 4 6 #A(R)).
‎Dans le reste du problème, .#;(R) est muni de ce produit scalaire.
‎25. Montrer que l'application
1: Mn) — AR)
A ‏هم‎ AA
est continue et en déduire que &,(R) est une partie compacte de #4 (R).
‎26. Soit © un sous-groupe de GL,(R). On suppose de plus que 6 contient 6, (R) et que c’est une partie
compacte de ÆA(R). On se donne 4 6 G et on écrit sa décomposition polaire A= OS.
‎a Montrer que {S* : ke Z} est une partie bornée de #,{R).
b En déduire que Sp(S) = {1} et que S= I.
‎© Que peut-on alors dire de 7
‎27. Soit Ae.#A(R) et (Ag)gen une suite de .#A(R) donnée par Ag = A— ‏ل‎ I.
a Montrer que (Ag)gen converge vers À.
b Établir l'existence ko EN tel que ‏رذ‎ € GLA(R) pour tout ke N avec k> ko.
‏ع‎ En déduire qu'il existe une suite (Cx)en de @,(R) et une suite (Sxken de FŸ*(R) telles que la
suite (CxSx)ren converge vers A.
d Justifier l'existence d’une sous-suite de (Og)}pey qui converge vers 06٠
‎e En déduire qu'il existe S € SW (R) telle que A = OS.
‎FIN DE L'ÉPREUVE