Modèle du concours d'accès au Master Mathématiques et Statistique (MMS) — Faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V-Agdal — 14 septembre 2013

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1+ Mohrummmod V-Ardal
d ‏م‎ “de Mat bématiques
À Statistique
Année 2013-2014
Concours d'Accès en première année
Epreuve D'Analyse
Samedi 14.09.2013
Durée 1h
Exercice 1 : D
L Soit f:R ‏م‎ 5 est appliention. Exprimer ‏ها‎ proposition "{ lim f{z) = 0] en
, irt—+oe
terme d'une relation logique avec des quantificateurs
0
2. Pour quelles valeurs de ‏ب € ع‎ on à la convergence de la série 7 1
+
10
Exercice 2 : Soit Soit (E,(,)}), où E = R; XI, l'espace des polynômes de degré
au plus égal à 1,et {,): Ex ER: (P.Q) = Î P() : Q(t)at.
1
1. Montrer que (E, {,}) est un espace enclidien.
2. Construire une Base orthonormée de (E, {,)).
Exercice 3 : Soit / une application bijective de R dans R. Pour tont x € R, on
pose A := )) € R: f(x) > /(
1. Montrer que f est croissante si ‏أن‎ seulement si, pour tout ‏ع‎ € R, À, =}2, +00!
2. Etablir un résultat senblable pour f décroissante.
3, Montrer que / est croissante #i et seulement si sa réciproque /71 est croissante
à Montrer que, si / est continue, alors pour tont x € R, À; est un intervalle {ceci
veut dire que si a <t<bet ‏ريما‎ A2, alors 1 € À). |
4, Ev déduire que si f continue, ulirs elle est monotone (c.4 ‏مل‎ soit croissante soit
décroissante). |
6. Montrer que si { ent croissa
7. Donner une caractérisation de
E.
ate, alors f et f7! sont continues.
‏ما‎ continuité pour une fonction bijective de R ‏تسمل‎
peut vous faire perdre des points
Une copie mal soignét Bonné chance!

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MASTER MATHMATIQUES ET STATISTIQUE
TEST 2013
EXERCICE | PE
É
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [-1,2]
1) Donner la densité de X qu'on notera fr.
2) Calculer la fonction de répartition de X notée fx.
3) Calculer E(Y) et VX).
4) Calculer P(Y > 0) PEX< 1} PWN > ١ < 0).
EXERCICE II. On rappelle que si la série Dw, converge, #, > 0 alors
les Séries X{-1y'u, Eux, Du convergent.
D um = 4) ‏سر‎ + XK-1)"0)
> Une) = + ( > Un — xt l 10
On considère une Variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson de paramètre À,
et on pose la loi ‏ل‎ = (-1)*.
Donner la loi de } et calculer ٠
EXERCICE ١١١ On dispose de 4 jetons numérotés |:2;3;4
et de 4 cases numérotées 1:2;3;4,
Premier Cas : une case peut contenir plusieurs jetons.
a) Combien y.a.til de placements?
b) Combien y.a.t.il de placements où 3 cases sont vides?
c) Combien y.a.t.il de placements où 2 cases exactement sont vides?.
Deuxième Cas : une case ne peut contenir qu'un jeton.
a) Combien y.a.t.il de placements?
b) Combien y.a.t.il de placements où aucun des jetons n'est à une place
qui porte son numéro?
(Le jeton 1 n'est pas à la place 1, le jeton 2 n'est pas à la place 2 )

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UNIVERSITE MOHAMMED V- AGDAL Année Universitaire 2013/14
Faculté des Sciences Test Master MMS
Département de Mathématiques 41
1 a —-b
a 0 D = 7 | et D, = |
0 ft 0 + b
B, +,a et b sont trois constantes réelles, Soient trois matrices carrées d'ordre 2, À; ayant
deux valeurs propres réciles distinctes, 44 non diagonalisable ayant une valeur propre
Exercice 1: On donne D =
. OÙ à,
double et 43 ayant deux valeurs propres complexes conjugjuées,
1. Donner la forme réduite ) diagonale où de Jordan) de A1, Az et As dans des bases
convenables,
2. On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée À est donnée par ‏الام = *م‎ 4# :
a. Calculer e et 22 puis déduire ‏إن نظام‎ et pour tout réel
b. Déduire et4t et et en fonction des matrices de passage associées /5 et ‏اق‎
3 On pose, pour tout vecteur (ro,ÿ) € 17, (rft),ylt)) = e2(ra,m). On note
0 = (0) et ÿ(0) = &(0).
Vérifier qu'on a: (#(t), ÿ(t)) = Diet? (ro 1m).
2)0( = )8( + y(t)
(2) = y(t)
Après avoir reconnu ln matrice correspondante, utiliser ln question 3 pour donner ln ‏حوس‎
‎lution (z(t), y(t)) qui vérifie la condition initiale (x(0),»(0)) = (1,1).
4. On donne le système d'équations différentielles:
www.Aimaster.ma
Exercice. à
Dans ‏أى‎ exercice K{X] désigne l’ensemble des polynômes en une indéterminée X et à coefficients
dans un corps À.
1.
(1) Montrer que pour tout ploynôme nou constant, P € C{X], la fonction polynômiale 7 : © ‏ع ب‎
est surjective.
(2) En déduire l'ensemble des polynômes P € C[X] tels que P(C) CR.
11. Montrer que R[X] coïncide avec l'ensemble des polynômes P € C|X] tels que P(R) €R.
LS AL