Modèle de concours d'accès à l'ENSA d'Agadir 2005 — Épreuve : Mathématiques

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7. si
Université Ibn Zohr 27 Juillet 2005
ENSA Agadir
Concours d'entrée en 1°" année
Epreuve de mathématiques (durée 2 heures)
Répondre sur la feuille réponse.
Pour chaque question mettre une croix sur la case correspondante (vrai ou faux)
Barème : Réponse juste = 1 point Réponse erronées = -1 Pas de réponse =0
Problème 1 : encadrement d’une intégrale
e —(x+1)
1 Soit la fonction f(x) = porcs définie sur D, UD, avec D, = }- c0 ,] [ et D, = ] 1,4 co[
On note C, sa courbe représentative dans un repère orthonormé . (O, i,j)
A) Sur le domaine D,, f admet un minimum en x=0 qui vaut 1/e et l’on a lim f(x) = lim f(x) = +0
B) Sur le domaine D,, f croit de - # 0
C) Les droites x=1 et y=0 sont des asymptotes de C;
D) f admet une branche parabolique quand x tend vers + co
2 On pose u, = [ ed
A)u,=1-e" B)u, =1+e" Ou, =1-e D) u, =1+e
3 ‏مي لذ‎ =(-1)"* +(n+Du, B) ‏يما‎ =(n+lju,
Chu, =(-D" +(nu, D) ‏مما‎ =1+(n+1lu,
4 A)u, ‏ح‎ - 6 B) u, =1-2/e
Chu, =2-6/e D) u, =9-24/e
5 On considère l'intégrale suivante : J = [fOat , Î étant la fonction des questions précédentes et on définit
Pour tout n, 3 ‏ولاك‎ +u,+..u, ‏ح إن "يوار حل "++ ترج +21 با‎ [rar
1 ] ‘ -(1+1)
‏كلذ‎ B) S, = fe *°? (rt |
e 2 à
Pa 1 n+}
0 ‏ند ررم 2 3 - ل‎
6 En utilisant le tableau de variation de f, et pour tout f € [- 1,0 ]
I + n+ 1 n 1 1
Pour n impaire A) 9 SJ ‏دي‎ B) ——<R, < —
e 2 e(n +2) 2(n +2)
1 + n+ 1 n+ 1
Pour n paire C) 1" < f( ‏عي‎ Disk 5 - ‏مل‎
‎2 2 2(n +2) e(n +2)
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7 On considère l’équation suivante, dans l’ensemble des entiers naturels N:
1 1 1
CE) : ‏سج بت تر‎
2n+2) e(n+2) 0
A) Le plus petit entier naturel ‏م‎ qui vérifie (E,) est n, =5 B) (S, — ‏وق) - ل‎ (<<
7e 14 50
1 1 1
0) ASJSB avec A=S, + Bas. + D) (B-A)<—
14 7e 50
8 A)S,=13+34/e B) S, =57-154/e
C) 0,399 > < 0,418 D) L’encadrement ‏عل‎ est à ème
Les complexes
9 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé. (0,4, v). Pour tout complexe z on désigne par Z le
complexe conjugué de 2 et arg(z) un argument de 2 (défini à 2kx près où k e 2 ). Soit F la fonction qui, à tout
point M du plan, d’affixe z non nulle, associe le point d’affixe M" définie par : z'=— £
A [z1 = 2 B) arg(z’}=atg(z)+"
C) 0, M et M’ sont trois points alignés D) O appartient au segment [M : M'|
10 On considère le cercle 1 de centre 0 et de rayon 1. On appelle À et B les points d’affixes respectives 1 et — 1
et C le cercle de centre À, contenant le point 0. On considère le cercle 1 de centre 0 et de rayon 1. Soit M un
point du plan d’affixe z et M°=F(M) d’affixe 2
A) L'image du cercle 1 par la fonction F est ١ 3( ‏يج > ا‎ 5 — 1 =]
C) pour tout point M de C on a 1 = ] D) BM'<OM’
11 7
A) La droite D d’équation x=0,5 est la médiatrice du segment 0 B ] B) L'image de C par F est la droite D
C) L'image de C par F est l D) L'image de A par F est B
12 Dans le plan complexe P on considère les deux équations :
(El): z?-(1+3)z-6+9i=0 et (E2): z°-(1+3i)z+6+4i=0
On désigne par z, et z, les solutions de EI et par Z, et z, celles de E2. On désigne également par D, A, B et C
les points d'affixes respectives Z,, Z,, Z, et ‏و‎
A) z,est une solutions réelle et z, est une solution imaginaire pure B) z,=-2+2i
CY 2,=141 , D) ABCD est un losange
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‎Probabilité‏ ض
‎Une urne contient une boule blanche et une boule noire indiscernable au toucher. On tire au hasard une boule de‏
‎l’urne. Si elle est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute une boule noire dans l’urne et on recommence‏
‎jusqu’à ce qu’on tire une boule blanche. Lorsqu'on tire une boule blanche le jeux s'arrête.‏
‎Soit, pour tout entier non nul n, les événements suivants :‏
‎B, : «on tire une boule blanche au # +“ tirage « 5‏
‎N, : «on tire une boule noire au 7 ‘me tirage «‏
‎A)la probabilité P(B,) = 0,5 B) probabilité P(N,) = 0,5‏ 13
‎Sachant qu’au premier tirage on a tiré une boule noire,‏
‎C) la probabilité de tirer une boule blanche au deuxième tirage P(B,)/N, =1/3‏
‎D) la probabilité de tirer une boule noire au deuxième tirage P(N,)/N, =2/3‏
‎Sachant qu'au deuxième tirage on a tiré une boule noire,‏ 14
‎A) P(B,)(N,NN,)=1/2 B) P(N,)(N, NN,)=3/4‏
‎C) La probabilité P que le jeu s’arrête au troisième tirage est P = 1/12‏
‎D) La probabilité Q que l’on tire une boule blanche au troisième tirage est 0 1/2‏
‎Etude d’une identité‏
‎On considère la fonction f définie sur [0,1] par :‏ 15
ال ‎f()=-xImx-(1-x) In(i-— x) sixe‏
‎f(0=0, f()=0‏
‎A) f(x) 20 B) f(x) possède un maximum en x = 1/2 et f(1/2)=In2 A |‏
م 2" ل ‎C) Pour tout a et b vérifiant atb=1 on a: 4 (+) + b‏
‎D) aln!—|+bln| —|=In2 pour a = b=1/4‏
‎On se propose de généraliser l'inégalité précédente.‏ 16
‎des nombres réels strictement positifs tels que‏ ...ويك در ‎Soit N un entier strictement supérieur à 1 et soient‏
‎MN N 1‏
‎à, =a,+a,+..+a, =1. On pose H} = > a, ini —‏ >
‎i=] el a;‏
‎Soit la fonction h définie, pour tout réel t strictement positif, par A(t) = 10)0( - 2 +1‏
سس كد ا ‎Dam‏ 1 -51 مل 0 > { سميسوم ‎A) h(t)<0‏
‎Na,) N‏
‎D) H,>InN‏ 0<|—— ما ورج ©
‎i= Na,‏
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Les suites |
17 On considère la suite (u,) pour # 2 1 définie par u, = 1+ Le +... + se
RUE Vn
Soit la suite ‏نر‎ = ——
‏ست +1-م/ ,"لزت 1و زم‎ 4/2 +1 B)u, <Vn-1+4Vn
Vk+1
© (v,,) est décroissante D) (v,,) est convergente
18 On pose pour tout entier n, 7, = 3 e ‘dx ,neN.
A) I. =(n+#1)7, +1 le B)———<1,<—
(n+lje n +1
© 7, est une suite croissante D) lim 7, =0
Les intégrales
19 À) ‏الهبا]‎ = In(3/2)-1/6 B) ([—————d4x = (In(3/2) -1/6
fe +17 ‏ا‎ ( )
‎0 2 2)01-24( = 4/21 D) a - 2
Equation différentielle
20 Soit l'équation différentielle y"-5y'"+6y = x
x | LA
A) 6 + 36 est une solution particulière de (E)
B) ‏م‎ est une solution particulière de y"-5y"#6»=0
© e** est une solution particulière de y"-5y'+6y = 0
D) la solution générale de (E) est ae?" + ‏ا + ا + 7و8‎
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َ Matrices
a 20| ‏و‎ 2
21 On considère l’ensemble des matrices d'ordre 2 défini par M= b fa” -2b° =1
A) F est un groupe commutatif
B) a =-2/7 et B=-1/7 vérifient aM + BM°=I ;1= ‏ا‎ |
C)M°-2M-71=0 D) M n’est pas inversible
Les fonctions
22 Soit f(x) = Arctex + Arctg L pour xe R* LE
x à S
À) (x) = 0 B) Arcig [ + Arcig = = .
C) Arctex + Arcig ES 3 ‏زم ع عسامم‎ #* D) ‏حا‎ (2 Arctgx -1 | 2
2 ‏الس‎ LT 7
23 On considère la fonction g définie sur 0 x | 2 par g(x) = 2xcos(2x) —-sin(2x)+x/2
A) g(x) = 0 admet une seule solution &, B) g(x) = 0 admet une deux solutions ‏وه‎ > B,
C) 0,95 > ‏ونه‎ 0,96 En) ‏ور‎ <1
24 Soit f la fonction définie pour x #—1 par f(x) = - + _ et C sa courbe représentative.
A) Ona lim f(x)=0
B) La courbe C admet au point d'abscisse 1 une tangente de pente +.
C) La courbe C a pour tangente au point d'abscisse 0 la droite d'équation y = x/2
D) La droite A d'équation y = x/2 est asymptote à C
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