Modèle de concours d'accès à la 3e année de l'ENSA de Safi 2006 — Épreuve : Mathématiques

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101136666 0 ‏ل"‎ CONCOURS D’ADMISSION: 2006
Ecole Nationale des Sciences Appliquées
Safi
Concours d’entrée en 31606 année à l'ENSA de Sañi
EPREUVE DE MATHEMATIQUES ; ;
Date: ill ‏بإ 5+2 ككه هد ا دنس سد اا س١ ”ب‎ Durée du sujet: 3 heures
256: 18 Jublet 2006 Enseignant: Mr LAKHEL E.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Partie I: Séries de Fourier et Fonctions à variation bornée
Pour toute fonction f : R ‏جب‎ C, continue par morceaux et de période 27, on assoucie ses coefficients
de Fourier exponentiels définis, pour n € Z, par c,(f) — _ pe f(the-"tdt et ses coefficients de Fourier
trigonométriques définis par: an(f) = 5 pe f(t)cos(nt)dt (pour n € N) et ba(f) = = he f(t)sin(nt)dt
(pour n € N*.)
On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x:
‏ا‎ 27127 ao 4
Sp(F)(x) = ‏:البح‎ = À 2 ;(an(fJeostia) + BA (F}sin(nx)).
Pour deux réels a > b on note S,, 4] l’ensemble des subdivisions de l’intervalle (a, b]. Si f est une fonction
de [a,b] — C et o = (t0,%1,...,Tn) € Sfa,bj> On note
V(o, f) = >» [F(œi+1) — f(æi)l:
On dira que la fonction f est à variation bornée s’il existe un réel positif M tel que pour toute a € Sky,
l’on ait: V(o,f) > M. On appelle alors variation totale de f sur [a, b] le réel positif noté :
Vla.b,f)= sup V(o,f).
CAS Sfa b]
I-A. Résultats préliminaires
1-1. Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence il s’agit. Cette conver-
gence pourrait-elle être uniforme sur R?
12. On considère la fonction continue ‏م‎ : R ‏ب‎ R, de période 27 paire et définie pour x € [0,x] par
(x) = /x. Donner l'allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de
classe 01 par morceaux sur R.
1-3. Théorème de Cesàro
Soit (u,) une suite de complexes qui converge vers le complexe )].
a. Justifier, simplement, en utilisant un théorème de sommation de relations de comparaison, que:
>. (ux — 1) = o(n + 1) au voisinage de + ‏.عه‎
b. En déduire que la suite ) ‏إاممتسخستفة‎ converge vers L.
I-4. Soit une fonction f : R ‏جب‎ C continue et de période 27 dont la somme de Fourier de rang n est
notée S,(f). Pour n entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér de f de rang n, notée o,(f)
comme la moyenne de Sesàro des sommes de Fourier:
On(f) = - )5 + 5 ‏وو ل ...حب‎ À
)0( = )500(+ S1() 0
On démontre, et nous l’admettrons, le théorème de Fejér:
<La suite de polynômes trigonométriques (o,(f)) converge uniformément sur R vers la fonction f>.
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Une application: Si f : R ‏أ جب‎ est une fonction continue et de période 27 telle que la suite
(Sh(f)) converge simplement sur R, montrer que la suite ($,(f)) converge vers la fonction f.
1-5. Si (u,) est une suite de réels positifs qui converge vers 0, montrer qu’il existe une suite de réels (d,)
décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel n, 0 < ‏كما‎ d, ( on pourra, par
exemple, vérifier que la suite (sup{ux, k > n}), convient).
I-B. Fonctions à variation bornée
1-6. Montrer que la fonction f : [0,1] — R définie par f(0) = 0 et f(x) = x cos(Æ) si x 0 est continue
et n’est pas à variation bornée sur [0,1].
(on pourra choisir ‏ه‎ = (xx)o<k<n+1 Subdivision de [0, 1] :
‏,0ح و20‎ Lier =T ‏او‎ VERRE ‏با حو‎ );
0 8 Ur : An+1-H)
1-7. Exemples généraux.
a. Montrer qu'une fonction f : [a,b] — R qui est monotone est à variation bornée sur {a,b] et
préciser V([a,b], f).
b. Montrer qu’une fonction f : [a,b] ‏بج‎ R qui est somme de deux fonctions monotones est à
variation bornée sur {a, b].
c. Montrer qu’une fonction f : [a,b] — © qui est continue et de classe C! par morceaux est à
variation bornée.
I-8. Soit une fonction f de [a,b] — € à variation bornée sur [a, b] et soit a < > b.
Montrer que chacune des restrictions de f aux intervalles [a, ‏ل‎ et [c, b] est à variation bornée et que:
Va, cl, f) + V(Ic,b], f) < V([a,b], f).
1-9. Soit f : R ‏جب‎ C une fonction continue et de période 27 telle que la restriction de f à l’intervalle
[0, 2x] soit à variation bornée.
Pour n entier relatif et N entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision ‏مه‎ -
(zk)o<k<in|N de [0,27] définie, pour k entier compris entre 0 et |n|N, par: xx = 2 :
Pour k entier compris entre 0 et ‏,لاض‎ on notera V4(f) la variation totale de f sur l'intervalle
[tx -1 Tk ] :
a. Vérifier que:
MIN ‏تناد | يرهم‎
D [GO - ‏اه وها‎ < SVP - ‏له‎
‏م 1دمر‎ k=1
b. Montrer que:
In|N æ 1
—int
7 ‏اع‎ > —V(I0,27|, f).
k=1 k—1
c. En déduire que pour tout entier naturel non nul,
8:6 < ‏7اح_‎ )]0,27([(
PIE ‏72ج‎
‎1-10. Soit u, une suite de complexes, on pose, pour tout entier naturel n,
= So + S1 +... + Sn
D ‏مله ح‎ À On = —————.
>: A n +1
On suppose que la suite (o,) converge vers un complexe L et on suppose qu'il existe une constante
réelle À non nulle telle que, pour tout entier naturel k, [ug| > us 1
a. Pour n et k entiers naturels non nuls, exprimer, à l’aide des termes de la suite (u;), l'expression
b. Soit une suite de réels (d,) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel n,
lon — L| > dy, montrer que, pour n et k entiers naturels non nuls:
2n k—1
Sn — ‏.مه + مة( ل + 1) > اللا‎
| [SA + ‏مالي‎ 2(n +2)
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c. L’entier naturel non nul n étant donné, on choisit k tel que (k — 1) >> ‏م462‎ € k?.
(k— 1 est donc la partie entière de 2n4/d,_1). Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
on a: [Sn — L| > dn-1 +(1+A)1/dn-1. Que peut-on en déduire?
1-11. Montrer que la série de fourier d’une fonction f : R — € continue et de période 27 telle que la
restriction de f à l’inttervalle [0,27] soit à variation bornée converge uniformément vers la fonction
1-12. Montrer que la série de Fourier de la fonction ‏م‎ de la question 2. converge uniformément sur R vers
la fonction @.
Partie 11: Matrices Stochastiques!
On note B = (e1,e2,...,en) la base canonique de l’espace vectoriel E = K” (où n > 2 et K = R ou C).
On se propose d'étudier l’ensemble des valeurs propres des matrices stochastiques d’ordre n. Une matrice
S'= (sij)i,jet1,2,...n} € Mn(R) est dite stochastique si et seulement si
Vi, 1 Sij € R* et Vi LR Sij = 821 + 82 + +. + Sin = 1.
On note S,(R) l’ensemble des matrices stochastiques de M,(R). Ces matrices sont stables par le produit.
Dans la suite, on désigne par f un endomorphisme de E = R” dont la matrice ‏م‎ = (s;;) est stochastique.
11.1 VA le vecteur de Æ dont les composantes dans la base B sont toutes égales à 1.
Montrer qu’une matrice M de M,(R) à coefficients réels positifs ou nuls est stochastique si et
seulement si MV; = V..
11.2 Déduire que 1 est une valeur propre de f.
IL3 Soit À une valeur propre de f autre que 1. Montrer que |A] < 1.
(Indication: Pour tout vecteur x = (x1,2%2,...,%n) de E = R”, on convient de noter:
kel = maz(leal, lol, ‏لامها‎
‎pour x € R", montrer que |f(x)| > |x|. Puis conclure).
11.4 Montrer que
Ker(f — Id) © Im(f — Id) =R”.
IL5 Montrer que Im(f — Id) est stable par f. Etablir que tout sous-espace propre ‏رط‎ de f associé à une
valeur propre À autre que 1 est inclus dans Zm(f — Id).
On suppose désormais que l’endomorphisme f est diagonalisable.
11.6 Montrer que la somme directe des sous-espaces propres associés aux valeurs propres de f autre que
1 est égale à Im(f — Id).
11.7 On complète une base (w1,v2,….,v,) de E1 = Ker(f — Id) en une base 37 = (vi,v2,.…,vh) de
vecteurs propres de f. On note ‏بحا بر‎ ..., À, les valeurs propres de f rangées par modules décroissants
(= /Ail=.…=/|X/2 lil 2 ... 2 [Ml), associées à ces vecteurs propres ‏.ونا ...بون بر‎ Soit D la
matrice de f dans la base B.
Prouver que la suite de matrices (SF) converge si est seulement si la suite (D*) converge.
Déduire que la suite (S*) est convergente.
(Pour une suite de matrices (Az)gen, on dit que limg__,1,4 478 = À, si, en notant: Ax — ‏م‎ ), on
a: Vi,j, lime a® = ‏به‎ 1
. ‏جب و‎ + #13 77
FIN DE L’EPREUVE.
1068 matrices jouent un rôle important, notament en calcul de probabilités.
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