Modèle de concours : CNC 2010 Physique (BCPST) — Concours National Commun
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2010), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Concours National Commun (CNC) — CPGE
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Physique
- Année
- 2010
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun
Ecole Supérieure des Industries du Textile et de l’Habillement
ESITH
Concours National Commun d'admission
aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2010
ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière BCPST
Durée 3 heures
Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours National Commun - Session 2010 - Filière BCPST
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Energie éolienne
Dans le cadre du développement durable, on s'intéresse à la création de petites unités de
production électrique à partir d'énergies renouvelables. On se propose ici d'étudier quelques
aspects de fonctionnement d’une éolienne de petite ou moyenne puissance, destinée à alimenter
des sites isolés. Le problème est composé de deux parties largement indépendantes. La première
partie traite la mise en rotation de l’hélice de l’éolienne par un transfert d'énergie cinétique du vent.
Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la conversion de l'énergie mécanique de l’éolienne en
énergie électrique.
Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
1 partie
Transfert de puissance de l’air à l’éolienne
On s'intéresse dans cette partie à un écoulement axial de l'air autour de l’hélice d’une éolienne
(voir figure 1) en faisant les hypothèses suivantes :
e L'air est considéré comme un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique
en écoulement dans un référentiel R lié au sol et supposé galiléen. ,ملا
e On suppose l'écoulement de l’air stationnaire et à symétrie de révolution autour de l’axe de
rotation de l’hélice.
e La pression garde la même valeur sur une section droite du tube de courant. A grande distance
de l’hélice, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphérique notée po.
e Les sections S1 et وري du tube de courant au niveau de l’hélice sont égales à S'(S4 = Sy = ٠
On note p1 la pression sur SA et ورم sur Sg.
° l'écoulement étant turbulent au niveau de l’hélice, on admet pour simplifier que la vitesse Ÿ
de l'air est la même entre S1 et .رقص
1.1. Étude préliminaire de l’écoulement
111. Définir le débit massique et le débit volumique d’un fluide à travers une surface .ند
112. Rappeler la loi de conservation de la masse.
Épreuve de Physique 1/5 Tournez la page S.V.P.
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Figure 1: Écoulement axial de l’air autour d’une hélice.
1.13. Écrireles expressions des débits massiques D,, ول et ملل de l'air à travers les sections
S1, 5 et 52 respectivement du tube de courant de la figure 1.
11.4. Montrer que ces débits massiques sont égaux : م10 = نم10 = 7.
1.15. On note زر w et v les modules des vecteurs vitesses رد V2 et Ÿ respectivement. En
déduire deux relations entre رق رو ررق vi, vo et v.
1.16. Dans le cas d’un écoulement stationnaire, homogène et incompressible d'un fluide
parfait, BERNOULLI a établi la relation :
Que représente cette relation ? Quelle est la signification physique de chacun des trois termes ?
Par la suite, on néglige les effets de la pesanteur.
1.2. Force exercée par l’air sur l’hélice
12.1. Écrire la relation de BERNOULLI suivant une ligne de courant entre les sections S1 et رض
d’une part et entre les sections SZ et وى d'autre part. En déduire l'expression de la pression رم en
fonction de po, ,نا v1 et v, puis celle de ورم en fonction de po, 4, ون et v.
1.2.2. Écrire l'expression de la force F exercée par l'air sur l’hélice en fonction de بيرم pp, S et
es puis en fonction de رو بر u, S et 2 .. €, étant le vecteur unitaire de l’axe des z.
12.3. Écrire le bilan de quantité de mouvement pour le fluide situé entre les sections Si et So
du tube de courant.
12.4. En déduire l'expression de la force F exercée par l’air sur l’hélice en fonction de D,», 71
et رد puis en fonction de y, رن ري v1, v2 et FA :
12.5. Montrer que la vitesse v de l’air au niveau de l’hélice est donnée par l'expression :
_ 01 + ون
Épreuve de Physique 275 نج
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1.3. Étude de la puissance reçue par l’hélice : loi de BETZ
La production d'énergie se fait au préjudice de l'énergie cinétique du vent : lors de son passage
à travers l’hélice, une fraction de l'énergie cinétique de l'air est transférée à l’hélice qui se met en
rotation. La vitesse وه est donc nécessairement inférieure à .رن On notera P la puissance reçue par
l’hélice et on admettra l'expression suivante :
P= FT
13.1. Écrire l’expression de la puissance mécanique P cédée par l’air à l’hélice en fonction de
ملا S,v, vi et vo.
1.3.2. On pose x = —, Montrer que la puissance P reçue par l’hélice s'écrit sous la forme :
1Sv?
P = 1 L(1+x)(1-—x°)
1.3.3. Pour une vitesse ره donnée du vent en amont de l’éolienne, la vitesse en aval ون ne
pouvant pas s’annuler ; il existe une puissance maximale Pr que l’on peut extraire de la circulation
d’air (Loi de BETZ).
13.31. Pour quelle valeur x,, de x la puissance P est-elle maximale. Donner la valeur de
la puissance maximale Par (dite limite de BETZ) en fonction de des grandeurs y, S et v1. Tracer
l'allure de P(x).
13.32. Pour x = رم déterminer les expressions les expressions de w2 et v en fonction de ردن
et l'expression de la force F exercée par l’air sur l’hélice en fonction de y, ي et v1.
13.4. Le rendement de l’éolienne est défini comme le rapport de la puissance P fournie par
l'air à l’hélice au débit d'énergie cinétique en amont de l’éolienne.
13.41. Écrire l'expression du débit de l'énergie cinétique É, à travers une section droite de
surface S où la vitesse est v1.
13.42. En déduire le rendement théorique de l’éolienne r;, en fonction de x.
1.3.5. Application numérique : y! = 1,3 kg.m su = 12m.s 7! ; S = 3,14 m°. Calculer Pur et
le rendement associé 1
13.6. Dans la pratique, le rendement théorique maximal pour une éolienne idéale n’est jamais
réalisé à cause des effets suivants :
e L'écoulement de l’air a une composante rotative due à la rotation de l’hélice.
e La force de trainée n’est jamais nulle à cause des frottements.
e L’hélice contient un nombre fini de pales.
Le rendement est alors plus faible et la puissance peut s’écrire :
Preei = 2 CS 21
où C, est le coefficient de performance. Il dépend de la géométrie, de l'’inclinaison des pales et de la
vitesse du vent.
13.61. Montrer que C, admet une valeur maximale à cause de la loi de BETZ.
Épreuve de Physique Gt 9 Tournez la page S.V.P.
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13.62. Calculer numériquement C, pour une puissance réelle ,و7 = 900 W.
2î"e partie
Transformation de l’énergie mécanique en énergie électrique
Cette partie consiste à étudier la conversion de l'énergie mécanique de l’éolienne en énergie
électrique : les pales de l’éolienne entraînent une génératrice électrique qui doit fournir une énergie
électrique “ utile ”.
La génératrice utilisée est une machine à courant alternatif. Le principe simplifié de cette
machine, telle qu’elle sera utilisée dans la suite, est représenté sur le schéma de la figure 2.
Génératrice Récepteur
= 1 nr |
=! LL 1!
Figure 2: Schéma équivalent de la génératrice connectée à un récepteur.
Sur ce schéma, e(t) désigne la force électromotrice (ou f.e.m.), i({) représente le courant délivré
par la machine (convention générateur) et L représente l’inductance équivalente du bobinage de la
machine. Le courant et la f.e.m. sont supposés sinusoïdaux, de même pulsation w. On peut alors
noter :
e(t) = EV2 cos(wt)
i(t) = 1/2 cos(wt + d)
E et I représentent respectivement la valeur efficace de e(t) et i(t). L'angle ب est le déphasage du
courant par rapport à la f.e.m.
La valeur efficace E et la pulsation w sont liées à la vitesse angulaire de rotation de l’hélice de
l'éolienne Q par les relations suivantes :
k et n sont deux constantes de fabrication de la machine. On prendra pour les valeurs numériques :
k=14V.s;n = 20 et L = 30 mH.
En régime permanent, l’éolienne tourne à vitesse constante و = 15,7rad.s”!. Dans ces condi-
tions, la valeur efficace de la f.e.m. ainsi que la pulsation w sont constantes.
2.1. Calculer les valeurs numériques de E et de w aïnsi que la fréquence f de toutes les grandeurs
sinusoïdales.
2.2. Quelle est, en tours/mn, la vitesse de rotation de l’éolienne notée No ?
2.3. La machine débite sur un récepteur résistif de résistance R = 1041. Déterminer les valeurs
numériques de 1, b et la valeur efficace V de la tension aux bornes du récepteur. Ecrire l'expression
numérique de la tension v(t) en notation réelle.
نج 4/5 Épreuve de Physique
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2.4. La machine débite maintenant sur un récepteur purement inductif d’inductance L, = 20 mH.
Déterminer les valeurs numériques de 1, ن et V. Écrire l'expression numérique de la tension v(t).
2.5. On souhaite évaluer la puissance délivrée par la génératrice sur un récepteur résistif et
inductif de résistance À — 10 ( et d’inductance L, — 201177
2.5.1. Établir les expressions complexes puis réelles de l'intensité de courant i(t) qui traverse
le circuit électrique et de la tension v(t) aux bornes du récepteur.
2.5.2. En déduire l'expression de la puissance moyenne ?, délivrée au récepteur, en fonction
de E, R, L, L.etw.
2.5.3. Déterminer les valeurs numériques de 1, V et P,.
2.5.4. Calculer la puissance و7 délivrée par le générateur de f.e.m. e(t). Comparer P, à P,.
Commenter.
2.6. Quelle est l'effet d’une variation de la vitesse de rotation de l’hélice { ?
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Physique 5.1 5 FIN
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✅ Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Physique du Concours National Commun (CNC) 2010, filière BCPST, d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs. Durée : 3 heures, calculatrice autorisée. Thème : l'énergie éolienne, en deux parties largement indépendantes — mécanique des fluides (théorie de Betz) puis conversion électrique (générateur alternatif en régime sinusoïdal). Voici une correction proposée.
💡 Les deux résultats à retenir : la vitesse au niveau de l'hélice est la moyenne v = (v1 + v2)/2, et la puissance extractible est au plus 16/27 ≈ 59 % du flux d'énergie cinétique du vent (limite de Betz). En électricité, seule la résistance consomme de la puissance moyenne.
1re partie — Transfert de puissance de l'air à l'éolienne
1.1.1. Débits
Débit massique à travers Σ : Dm = ∬Σ μ v⃗·dS⃗ (kg·s−1), masse traversant Σ par unité de temps. Débit volumique : Dv = ∬Σ v⃗·dS⃗ (m3·s−1).
1.1.2. Conservation de la masse
La variation de masse dans un volume fixe est égale au débit massique entrant : ∂μ/∂t + div(μv⃗) = 0. En régime stationnaire, le débit massique sortant d'une surface fermée est nul : ∯ μ v⃗·dS⃗ = 0.
1.1.3. Expressions
Vitesse uniforme sur chaque section et normale à celle-ci : Dm,1 = μS1v1, Dm = μSv, Dm,2 = μS2v2.
1.1.4. Égalité des débits
On applique 1.1.2 à la surface fermée formée par S1, S (ou S2) et la paroi latérale du tube de courant. Aucun débit ne traverse la paroi latérale (la vitesse y est tangente) ; en régime stationnaire, ce qui entre par S1 sort par S puis par S2 : Dm,1 = Dm = Dm,2.
1.1.5. Relations
μ étant constant : S1v1 = Sv et Sv = S2v2. Comme v2 < v1, le tube s'élargit (S2 > S1), comme sur la figure 1.
1.1.6. Relation de Bernoulli
Elle traduit la conservation de l'énergie mécanique par unité de masse le long d'une ligne de courant (fluide parfait, pas de dissipation) : v2/2 = énergie cinétique massique ; epm = gz = énergie potentielle de pesanteur massique ; p/μ = énergie (travail) des forces de pression par unité de masse.
1.2. Force exercée par l'air sur l'hélice
1.2.1. Pressions pA et pB
Bernoulli ne s'applique pas à travers l'hélice (elle prélève de l'énergie), mais s'applique de chaque côté :
- S1 → SA : p0 + μv12/2 = pA + μv2/2, soit pA = p0 + μ(v12 − v2)/2 ;
- SB → S2 : pB = p0 + μ(v22 − v2)/2.
1.2.2. Force sur l'hélice
F⃗ = (pA − pB)S e⃗z = (μS/2)(v12 − v22) e⃗z.
1.2.3. Bilan de quantité de mouvement
Système fermé : l'air contenu entre S1 et S2 à t, plus la masse dm = Dmdt qui entre par S1. Entre t et t + dt, en régime stationnaire, la variation de quantité de mouvement est dP⃗ = dm (v⃗2 − v⃗1) = Dm(v⃗2 − v⃗1)dt. Théorème de la résultante dynamique : Dm(v⃗2 − v⃗1) = ΣF⃗ext. Les forces extérieures sont les forces de pression sur la frontière (pression p0 aux extrémités, résultante négligée dans ce modèle) et la force −F⃗ exercée par l'hélice sur l'air (pesanteur négligée).
1.2.4. Expression de F⃗
Dm(v⃗2 − v⃗1) = −F⃗, d'où F⃗ = Dm(v⃗1 − v⃗2) = μSv(v1 − v2) e⃗z.
1.2.5. Vitesse au niveau de l'hélice
En égalant les deux expressions : μSv(v1 − v2) = (μS/2)(v1 − v2)(v1 + v2), et v1 ≠ v2 : v = (v1 + v2)/2.
1.3. Puissance reçue par l'hélice : loi de Betz
1.3.1. Puissance
𝒫 = F⃗·v⃗ = μSv2(v1 − v2) = (μS/4)(v1 + v2)2(v1 − v2).
1.3.2. Forme en x = v2/v1
(v1 + v2)2(v1 − v2) = v13(1 + x)2(1 − x) = v13(1 + x)(1 − x2), donc 𝒫 = (μSv13/4)(1 + x)(1 − x2).
1.3.3.1. Maximum (limite de Betz)
g(x) = (1 + x)(1 − x2) = 1 + x − x2 − x3 ; g′(x) = 1 − 2x − 3x2 = −(3x − 1)(x + 1). Sur [0, 1], g′ s'annule en xm = 1/3 (positif avant, négatif après) : maximum. g(1/3) = (4/3)(8/9) = 32/27, donc 𝒫max = (8/27) μSv13 = (16/27) × (½μSv13).
Allure de 𝒫(x) sur [0, 1] : vaut μSv13/4 en x = 0, croît jusqu'au maximum 8μSv13/27 en x = 1/3, puis décroît jusqu'à 0 en x = 1 (tangente horizontale en 1/3 ; pente −μSv13 en x = 1).
1.3.3.2. Valeurs à l'optimum
v2 = v1/3 ; v = 2v1/3 ; F = (μS/2)(v12 − v12/9) = (4/9)μSv12.
1.3.4.1. Débit d'énergie cinétique
À travers une section S où la vitesse est v1 : Ėc = ½Dmv12 = ½μSv13.
1.3.4.2. Rendement théorique
rth = 𝒫/Ėc = (1 + x)(1 − x2)/2 ; maximal pour x = 1/3 : rth,max = 16/27 ≈ 0,59.
1.3.5. Application numérique
μSv13 = 1,3 × 3,14 × 123 = 1,3 × 3,14 × 1728 ≈ 7,05·103 W. 𝒫max = (8/27) × 7,05·103 ≈ 2,1·103 W (≈ 2,09 kW) ; rendement associé rth = 16/27 ≈ 0,59 (59 %). (Ėc ≈ 3,53 kW ; F à l'optimum ≈ 2,6·102 N.)
1.3.6.1. Cp est borné
𝒫réel = ½CpμSv13 = CpĖc : Cp est donc le rendement réel. Comme 𝒫réel ≤ 𝒫max = (16/27)Ėc, Cp ≤ 16/27 ≈ 0,59.
1.3.6.2. Valeur numérique
Cp = 2𝒫réel/(μSv13) = 1800/7,05·103 ≈ 0,26 (bien inférieur à 0,59).
2e partie — Transformation de l'énergie mécanique en énergie électrique
Notation complexe : e = E√2 ejωt, i = I√2 ej(ωt+φ) ; loi des mailles e = jLωi + Zci, d'où i = e/(Zc + jLω) et v = Zci.
2.1. E, ω, f
E = kΩ0 = 14 × 15,7 ≈ 220 V (219,8 V) ; ω = nΩ0 = 20 × 15,7 = 314 rad·s−1 ; f = ω/2π ≈ 50 Hz. (Lω = 0,030 × 314 ≈ 9,42 Ω.)
2.2. Vitesse de rotation
N0 = 60Ω0/2π = 60 × 15,7/6,28 ≈ 150 tr/min.
2.3. Récepteur résistif R = 10 Ω
|Z| = √(R2 + L2ω2) = √(100 + 88,7) ≈ 13,7 Ω. I = E/|Z| ≈ 219,8/13,74 ≈ 16,0 A ; φ = −arctan(Lω/R) = −arctan(0,942) ≈ −43,3° ≈ −0,756 rad (courant en retard sur e). V = RI ≈ 160 V. v est en phase avec i : v(t) = 160√2 cos(314t − 0,756) ≈ 226 cos(314t − 0,756) V.
2.4. Récepteur inductif Lc = 20 mH
Z = j(L + Lc)ω = j × 0,050 × 314 = j15,7 Ω. I = 219,8/15,7 = 14,0 A ; φ = −π/2. V = LcωI = 6,28 × 14,0 ≈ 87,9 V (diviseur inductif : V = E·Lc/(L + Lc) = 0,4E). v est en avance de π/2 sur i, donc en phase avec e : v(t) = 87,9√2 cos(314t) ≈ 124 cos(314t) V.
2.5.1. Récepteur R, Lc en série — expressions
Complexe : i = E√2 ejωt/(R + j(L + Lc)ω) ; v = (R + jLcω) i. Réel : i(t) = [E√2/√(R2 + (L + Lc)2ω2)] cos(ωt + φ) avec φ = −arctan((L + Lc)ω/R) ; v(t) = I√2 √(R2 + Lc2ω2) cos(ωt + φ + arctan(Lcω/R)).
2.5.2. Puissance moyenne reçue
Seule la résistance absorbe une puissance moyenne : 𝒫r = RI2 = RE2/(R2 + (L + Lc)2ω2).
2.5.3. Valeurs numériques
(L + Lc)ω = 15,7 Ω ; |Z| = √(100 + 246,5) ≈ 18,6 Ω ; I ≈ 11,8 A ; φ ≈ −57,5° (−1,00 rad). |Zc| = √(100 + 6,282) ≈ 11,8 Ω ; V ≈ 139 V ; 𝒫r = 10 × 11,82 ≈ 1,39 kW.
2.5.4. Puissance fournie par la f.é.m.
𝒫g = EI cos φ = EI·R/|Z| = RI2 ≈ 1,39 kW = 𝒫r. Les inductances (L de la machine et Lc) ne consomment aucune puissance moyenne : elles échangent de l'énergie avec la source (puissance réactive), toute la puissance active est dissipée dans R. Le modèle sans résistance d'induit ignore les pertes Joule et fer de la machine réelle.
2.6. Effet d'une variation de Ω
E = kΩ et ω = nΩ varient tous deux : la fréquence n'est plus 50 Hz et l'amplitude change, de même que les réactances (Lω). La puissance 𝒫r = Rk2Ω2/(R2 + (L + Lc)2n2Ω2) croît avec Ω mais tend vers une limite Rk2/((L + Lc)2n2) ≈ 1,96 kW. Pour alimenter des appareils à 220 V / 50 Hz malgré un vent variable, il faut réguler la vitesse (orientation des pales) ou passer par un redresseur puis un onduleur.
Questions fréquentes sur ce sujet
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