Modèle de concours : ENIM 2013 Mécanique (titulaires du DEUG) — concours d'entrée en 1re année
⬇️ Télécharger le PDF Adresse permanente : wadifa-info.com/fr/modele-concours/1934
En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM), Rabat (2013), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM), Rabat
- Grade
- Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
- Spécialité
- Mécanique
- Année
- 2013
- Pages
- 2
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 — ECOLE NATIONALE DE L’INDUSTRIE MINERALE CONCOURS D’ENTREE EN 1°ANNEE CANDIDATS TITUT AIRES DU DEUG EPREUVE DE MECANIQUE Durée : 1h30mn Juillet 2013 Les deux problèmes sont indépendants. Deux pendules sont constitués par deux billes A; et Az en acier qu'on assimile à deux point -آ matériels de masses my et ma attachés chacun par un fil de même longueur a à un point fixe O et or ى Le pendule de masse m2 est vertical ; l'on écarte le premier de la verticale d'un angle le lâche sans vitesse initiale. On admet que la suite du mouvement a lieu dans le plan vertica où se trouvent initialement les pendules. 1) Calculer la vitesse V1 avec laquelle le pendule A, heurte le second en fonction de a et dea. 2) Le choc est parfaitement élastique. a - Déterminez les vitesses V?, et V?2 après le choc en fonction de V; et du rapport des masses à= my/ma. b - Discutez le mouvement de la bille رخ selon les valeurs de à. 3) Déterminez les angles d’écart maximum يه et a, des deux pendules après le choc en fonction de @ et à. . On exprimera cos ره et cos a en fonction de à. et de cos a. 4) Pour quelle valeur de à, les deux pendules remontent-ils-en sens contraire du même angle‘ II- Un cylindre homogène, de centre d’inertie © de rayon R, de masse met de momen d’inertie J par rapport à son axe est posé sans vitessé initiale sur un plan incliné faisant l’angl a avec l’horizontale. Le référentiel (O,x,y.z) est lié au plan incliné. On désigne par f le coefficient de frottement de glissement entre le cylindre et le plan incliné. ENIM - DEUG - Epreuve de Mécanique wadifa-info.com — صفحة 2 — Soit )6: م ©) le repère كنا au plan incliné. L) Montrez que : J = 0,5.m.R° ا لج 2) Onnote 51 8.e, le vecteur rotation du cylindre. Ç est défini par : OC = x.e, + ع Déterminez les composantes T et N de ia réaction F du plan sur le cylindre : F=-TE+NE ›) En appliquant le théorème du moment dynamique au eylindre, montrez que : =L RE 2 !( Montrez que que la condition de roulement sans glissement du cylindre sur le plan impose : x=RA ›) Sachant que la loi de frottement s’écrit : 1 ‹N.f: en cas de roulement sans glissement T = N.f : en cas de glissement Montrez que le roulement sans glissement à lieu si : tan a ‹3.f :( Montrez que l’accélération x = d°x/ dt? du centre du cylindre est : a- en cas de roulement sans glissement : متم ا -ط en cas de glissement: حي g(sina — f.cosa) و عا ونان وأا بيرت ياي و وجري واي محا جد اي أ ا Lo Barème: 1 9 points 11- 11 points ENIM - DEUG - Epreuve de Mécanique Page2
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mécanique du concours d'entrée en 1re année de l'École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM, Rabat), réservée aux titulaires du DEUG, session de juillet 2013. Durée : 1 h 30. Deux problèmes indépendants, barème : I : 9 points, II : 11 points. Voici une correction détaillée proposée.
💡 Les deux problèmes sont des classiques : conservation de l'énergie + choc élastique pour le I, théorèmes généraux pour un solide en roulement pour le II. Écrivez toujours le système étudié, le référentiel et le théorème utilisé avant de calculer.
Problème I — Choc de deux pendules
1) Vitesse V1 de A1 juste avant le choc
Système : bille A1, référentiel terrestre supposé galiléen. Le fil (tension perpendiculaire à la
vitesse) ne travaille pas ; seul le poids travaille. Entre la position initiale (angle α, vitesse nulle) et la
verticale, A1 descend de la hauteur h = a − a·cos α = a(1 − cos α).
Théorème de l'énergie cinétique : ½ m1 V1² − 0 = m1 g a (1 − cos α), d'où
V1 = √(2 g a (1 − cos α)) (on peut aussi écrire V1 = 2 sin(α/2)·√(g a)).
2-a) Vitesses après le choc parfaitement élastique
Au moment du choc, les deux billes sont au point le plus bas, vitesses horizontales ; le choc est frontal. On oriente l'axe horizontal dans le sens de V1. La bille A2 est immobile avant le choc.
- Conservation de la quantité de mouvement :
m1 V1 = m1 V'1 + m2 V'2 - Conservation de l'énergie cinétique (choc élastique) :
m1 V1² = m1 V'1² + m2 V'2²
En écrivant les deux relations sous la forme m1(V1 − V'1) = m2V'2
et m1(V1² − V'1²) = m2V'2², puis en divisant, on obtient
V1 + V'1 = V'2. En reportant, avec λ = m1/m2 :
V'1 = (λ − 1)/(λ + 1) · V1 et V'2 = 2λ/(λ + 1) · V1
2-b) Discussion du mouvement de A1
- λ > 1 (m1 > m2) : V'1 > 0, A1 continue dans le même sens que A2, plus lentement.
- λ = 1 (masses égales) : V'1 = 0, A1 s'arrête et A2 part avec toute la vitesse V1 (échange des vitesses).
- λ < 1 (m1 < m2) : V'1 < 0, A1 rebondit et repart en sens inverse.
3) Angles d'écart maximum α1 et α2
Même raisonnement énergétique qu'au 1) pour chaque bille partant de la verticale avec la vitesse V' :
V'² = 2 g a (1 − cos αi), donc 1 − cos αi = V'²/(2 g a). Comme
V1² = 2 g a (1 − cos α) :
cos α1 = 1 − ((λ − 1)/(λ + 1))² (1 − cos α)
cos α2 = 1 − (2λ/(λ + 1))² (1 − cos α)
Remarque : ces résultats supposent que le fil reste tendu, c'est-à-dire que les billes ne dépassent pas l'horizontale (cos αi ≥ 0).
4) Valeur de λ pour que les pendules remontent en sens contraire du même angle
Sens contraire : il faut V'1 < 0, donc λ < 1. Même angle : |V'1| = |V'2|, soit
(1 − λ)/(λ + 1) = 2λ/(λ + 1), d'où 1 − λ = 2λ :
λ = 1/3, c'est-à-dire m2 = 3 m1. On vérifie : V'1 = −V1/2 et V'2 = V1/2.
Problème II — Cylindre sur un plan incliné
Repère lié au plan : x descend le long de la ligne de plus grande pente, z perpendiculaire au plan vers le haut, y tel que le trièdre soit direct. I est le point de contact, CI = −R·ez. Réaction du plan : F = −T·ex + N·ez (T est la composante tangentielle, orientée vers le haut de la pente).
1) Moment d'inertie J = 0,5·m·R²
Cylindre plein homogène de hauteur h, masse volumique ρ = m/(πR²h). On découpe en couronnes de rayon r,
d'épaisseur dr : dm = ρ · 2πr h dr. Alors
J = ∫ r² dm = ρ 2π h ∫0R r³ dr = ρ 2π h R⁴/4 = (m/(πR²h)) · π h R⁴/2, soit J = ½ m R².
2) Composantes T et N de la réaction
Théorème du centre d'inertie appliqué au cylindre (poids + réaction) : m aC = m g + F. Avec OC = x·ex + R·ez, l'accélération de C est ẍ·ex. Le poids s'écrit m g = m g sin α·ex − m g cos α·ez. Projections :
- sur ex : m ẍ = m g sin α − T, d'où T = m (g sin α − ẍ) ;
- sur ez : 0 = N − m g cos α, d'où N = m g cos α.
3) Théorème du moment dynamique : T = ½ m R θ̈
En C (centre d'inertie), le poids a un moment nul. Moment de la réaction :
CI ∧ F = (−R ez) ∧ (−T ex + N ez) = R T (ez ∧ ex) = R T ey.
Le moment cinétique en C est J θ̇ ey, donc J θ̈ = R T, et avec J = ½ m R² :
T = J θ̈ / R = ½ m R θ̈.
4) Condition de roulement sans glissement : ẋ = R θ̇
Vitesse du point I du cylindre : V(I) = V(C) + Ω ∧ CI = ẋ ex + θ̇ ey ∧ (−R ez) = ẋ ex − R θ̇ ex
(car ey ∧ ez = ex). Le plan étant fixe, pas de glissement signifie V(I) = 0, soit ẋ = R θ̇.
5) Roulement sans glissement si tan α < 3 f
Si le cylindre roule sans glisser, ẍ = R θ̈, donc T = ½ m ẍ. En reportant dans m ẍ = m g sin α − T :
(3/2) m ẍ = m g sin α, soit ẍ = (2/3) g sin α et T = (1/3) m g sin α.
La loi de frottement exige T < N f : (1/3) m g sin α < f m g cos α, d'où tan α < 3 f.
6) Accélération du centre du cylindre
a) Roulement sans glissement : établi au 5), ẍ = (2/3) g sin α.
b) Glissement (tan α ≥ 3 f) : T = N f = f m g cos α, et m ẍ = m g sin α − f m g cos α, d'où ẍ = g (sin α − f cos α). (Le cylindre tourne alors avec θ̈ = 2T/(mR) = 2 f g cos α / R, sans que ẋ = R θ̇.)
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Le corrigé est-il inclus ?
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Vous préparez ce concours ?
Modèles similaires
Organisme : École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM), Rabat · juillet 2013 — Copie issue de : archive de modèles de concours — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
}Citer cette page
Journaliste, blogueur, enseignant : copiez la référence ci-dessous et mettez un lien vers cette page.
Adresse permanente : https://www.wadifa-info.com/fr/modele-concours/1934/modele-de-concours-enim-2013-mecanique-titulaires-du-deug-concours-d-entree-en-1re-annee
