Modèle de concours : CNC 2024 Physique II (MP) — Concours National Commun

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Concours National Commun - Session 2024 - Filière MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L’usage de la calculatrice est autorisé

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de

rappeler avec précision les | références | des questions abordées.

L'épreuve est composée de quatre parties largement indépendantes. Chaque partie contient
des informations qui peuvent vous aider dans les parties suivantes, une lecture attentive est
alors recommandée.

Il est fortement recommandé de commencer par la première partie. Cette partie
est notée sur 4 points et le reste de l’épreuve sur 16 points.

Quelques aspects de la physique des semi-conducteurs

Les semi-conducteurs sont des matériaux importants dans l’électronique moderne. Leur
conductivité électrique se situe entre celle des conducteurs et celle des isolants. À l’état pur,
les atomes des cristaux semi-conducteurs partagent des électrons pour former des liaisons
covalentes. Ces matériaux ne conduisent pas l'électricité à basse température. À tempéra-
ture ambiante, certaines liaisons sont rompues et les électrons sont excités dans la bande de
conduction. Le matériau devient alors légèrement conducteur.

La conductivité des semi-conducteurs peut être modifiée grâce à un processus spécifique
appelé dopage. Cette propriété fait que les semi-conducteurs jouent un rôle central dans de
nombreuses applications. Le silicium est le matériau semi-conducteur le plus utilisé.

Données numériques :

- Charge élémentaire : e = 1,6 x 10-"°C;

- Masse de l’électron : m = 9,1 x 10-*kg;

- Constante de Boltzmann : ‏وم‎ = 1,38 x 10-2377121

Partie 1

Action d’un champ électrique sur une particule chargée
(Barème : 4/20)

On considère une particule assimilée à un point matériel M de masse m et de charge q
soumise à un champ électrique constant F = EU, La particule se déplace à la vitesse 7
par rapport au référentiel de laboratoire R supposé galiléen. Nous supposons que, en plus de
l’action du champ électrique, la particule est soumise à une force de frottement visqueux :

— 8 7 Yi ‏وى‎ 0 5 14 À 5 + Aoli 3 M 5
f = - 7, avec T une constante positive homogène à un temps. On néglige l’action de la

pesanteur sur la particule.

1.1. Ecrire la deuxième loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) dans le
référentiel R pour la particule M.

Physique 2 1/7

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1.2. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par 7 sachant D (t =0)=
mouvement de la particule est suivant l’axe 02 et qu’une vitesse limite (régime stationnaire)

Quelle est la constante de temps d’établissement de cette vitesse limite ?

‎Montrer que le‏ . 0

un peut être atteinte :

1.3. Tracer l’allure de la courbe représentative de la vitesse en fonction du temps v(t).

1.4. Déterminer les expressions de Pr et P;, les puissances respectives de la force électrique
et de la force de frottement, en régime stationnaire en fonction de q, m, E et 7. Conclure.

Partie 2

Modèles de conduction électrique dans un matériau

On considère un conducteur électrique métallique modélisé par un gaz d’électrons libres
de charge —e et de masse m. Ces électrons responsables de la conduction électrique, qui sont
au nombre de N par unité de volume, se déplacent librement dans un cristal d'ions supposés
fixes dans le référentiel de laboratoire R supposé galiléen. Les électrons libres subissent des
collisions (chocs) de manière aléatoire. L'action de la pesanteur sur ces électrons sera négligée.

2.1. Modèle macroscopique de la conduction électrique dans un conducteur

Dans le modèle macroscopique de conduction électrique connu sous le nom de « modèle de
Drude », nous supposerons que :
- En présence d’un champ électrique Æ appliqué, l’électron de conduction est animé de
la vitesse moyenne  ; cette vitesse est appelée vitesse d’ensemble ou vitesse de dérive
des électrons libres à travers le cristal ;
- Les chocs amortissent l’établissement du mouvement d’ensemble des électrons. L'effet
des chocs est analogue à celui d’une force de frottement de type visqueux égale à — —
7 T

agissant sur chaque électron libre ; 7 est une constante homogène à un temps.

On se place en régime stationnaire, la vitesse d’un électron est donnée par la relation (1)
établie dans la première partie : 7 = Tr.

2.1.1. Donner la signification physique de la vitesse d'ensemble (ou de dérive) des électrons
libres à travers le cristal métallique.

2.12. Définir le vecteur densité volumique de courant 7 qui apparait en régime station-
naire au sein du conducteur, en fonction de ‏,أ‎ N et e.

2.13. Ecrire la loi d’'Ohm locale dans le conducteur en reliant la densité de courant et
le champ électrique. En déduire que la conductivité o du matériau conducteur s’écrit sous la

forme : 5
Ne“T

Physique 2 277

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2.2. Approche microscopique de la conduction électrique

Le modèle microscopique de la conduction électrique stipule que :

- Les électrons libres responsables de la conduction électrique, dits « électrons de conduc-
tion », subissent des chocs de manière aléatoire ;

- Un électron libre possède, juste après un choc (t = 0), une vitesse ‏ول‎ d'orientation et
de norme aléatoires. Les chocs sont dus aux rencontres avec des électrons, des ions du
réseau cristallin ou avec des atomes d’impuretés ;

- La durée moyenne entre deux chocs consécutifs est notée (t) = 7.

En absence de champ électrique, le mouvement des électrons libres du conducteur est

totalement aléatoire dans le référentiel R. Sous l’action d’un champ électrique uniforme F, il
se produit mouvement d’ensemble, appelé dérive, à l’origine du courant électrique.

2.2.1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un électron libre entre deux
chocs successifs (chocs 1 et 2) dans le référentiel R. On notera ‏له‎ la vitesse de l’électron.

En déduire l’expression de À (t) en supposant que la date t = 0 correspond à la sortie de
l’électron du choc précédent (choc 1).

2.2.2. Evaluer la valeur moyenne (y) juste après un choc. Montrer que la vitesse moyenne
entre deux chocs consécutifs ‏له‎ = (a) , peut s’écrire sous la forme ‏بم = له‎ E. La grandeur
‏!ا‎ est appelée mobilité de l’électron. Préciser l’unité de ‏بر‎ et montrer qu'elle s'exprime sous la
forme :

2.23. Exprimer le vecteur densité volumique de courant 7 apparaissant en régime sta-
tionnaire au sein du conducteur, en fonction de Æ, N, e, 7 et m. Montrer qu’on retrouve la
même expression de la conductivité ‏ه‎ que la relation (2).

2.3. La vitesse de dérive de la section 2.1. est une valeur moyenne calculée à un instant sur
l’ensemble des électrons. Par contre, la vitesse moyenne de la section 2.2. est calculée sur la
durée entre deux chocs pour un seul électron. Selon une hypothèse connue, ces deux vitesses
sont égales. Comment appelle-t-on cette hypothèse ?

2.4. Calculer 7 sachant que dans un métal, la conductivité est de l’ordre de 10° S.m”* et
que le nombre d'électrons par unité de volume est de l’ordre de N = 10% ‏.قو‎ Commenter.

Partie 3

Propriétés électriques d’un semi-conducteur intrinsèque

Un semi-conducteur intrinsèque est un cristal parfait sans défauts d’empilement ni impu-
retés. C’est un isolant à température nulle. À une température 7’, l’agitation thermique rompt
quelques liaisons covalentes. Un électron, de charge —e, faisant généralement partie d’une liai-
son covalente, est délogé et devient libre, laissant une liaison covalente incomplète, appelée
trou. On considère le trou comme une particule de charge +e et de masse m égale à celle de

Physique 2 3/7

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l’électron. Les trous et les électrons sont des porteurs de charges et contribuent à la conduction
électrique.

On note n la concentration en électrons et p la concentration en trous. La neutralité
électrique du matériau impose que les trous et les électrons sont en nombres identiques, c’est-
à-dire n = p = n; où n, est appelée concentration intrinsèque.

Pour le silicium pur à T = 300 K, n = p = 1,5 x 1090173. Ce nombre est très faible si on
le compare au nombre d’atomes par unité de volume : ns; = 5 x 102173.

3.1. Semi-conducteur intrinsèque

Sous l’action d’un champ électrique 72 , les électrons et les trous d’un semi-conducteur se
mettent en mouvement. On suppose que le modèle de conduction de la partie précédente est
aussi valable pour le semi-conducteur et que la courant électrique est la somme des contribu-
tions des électrons et des trous dans la conduction.

La vitesse d'ensemble d’un type de porteurs est liée au champ électrique par la relation
7; = ‏يم‎ où 1; est la mobilité du porteur. L'indice « j » fait référence à un type de porteur
particulier (électron ou trou).

On notera ‏ملا‎ et ‏ملا‎ les mobilités respectives des électrons libres et des trous. À 7 = 300 K,

les mobilités des porteurs de charges dans le silicium intrinsèque sont :
fn = —1500 x 10-* SI et up, = 600 x 10-* SI.

3.1.1. On associe au mouvement d’ensemble de charges le vecteur densité de courant élec-
trique 7 . Donner l’expression de 7 en fonction de n, p, 6 Un et ‏ل‎ puis en fonction ‏عل‎ n,

P, €, ‏حملا‎ Ep et :

3.1.2. Montrer que la conductivité électrique ‏ه‎ du semi-conducteur pur s’écrit :

3.13. Calculer la valeur numérique de ‏ه‎ pour le silicium à 7 = 300 Æ. Comparer cette
valeur à celle du cuivre qui est de l’ordre de 107 5.01
3.2. Variation de la conductivité électrique du silicium avec la température

La variation de la densité n; des porteurs de charges dans le silicium intrinsèque avec la
température est donnée sur la figure 1. Cette figure donne n; (en cm”*) sur l’axe des ordonnées,
gradué en échelle logarithmique, en fonction de l’inverse de la température (mesurée en Æ).
Le graphe est tracé pour des températures situées entre 250 K et 2000 K.

3.21. Montrer à l’aide de la représentation graphique de la figure 1, que la densité des
porteurs de charges intrinsèques suit une loi dite de Boltzmann, c’est-à-dire que

nm; = ngexp|— F3
5

.ل ‎représente la constante de Boltzmann. Déterminer les valeurs numériques de ny et de‏ وآ

Donner la valeur de F, en électron-volt.

Physique 2 4/7

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1500
1019 71 00-0 SOO 200 TOO 27 O—Z20
10!'8
›= 1017
16
3 10
E 1015
7
09
2 10!4
5
13
v 10
2 1012
3
ë 11
5 10
0 1010
‏نو‎ 108 :
2
107 +
1 1
31 oé 1 1 1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1000/T(K)

FIGURE 1 - Effet de la température sur la densité des porteurs de charges dans le silicium.

3.2.2. On néglige l’effet de la température sur la mobilité des porteurs de charges. En uti-
lisant la relation établie dans la question 3.1.2, déterminer la valeur numérique de la conduc-
tivité du silicium intrinsèque à la température 300 Æ. Commenter.

Partie 4

Structure de bandes d’énergie

Dans les matériaux semi-conducteurs, l’énergie d'un électron peut être dans une bande
de basse énergie, appelée bande de valence ou dans une bande d'énergie supérieure appelée
bande de conduction. Ces deux bandes sont séparées par un intervalle d’énergie appelé bande
interdite dont la largeur est ‏وموك‎
‎valence à la bande de conduction, un électron doit absorber une énergie au moins égale à Fyap-

appelée "gap" du matériau. Pour passer de la bande de

Pour mettre en évidence la structure de bandes d'énergie, nous examinons le comportement
d’un électron de masse m, en tant que particule quantique, dans un solide cristallin périodique.
Le potentiel attractif au voisinage de chaque ion constitue un puits de potentiel. Ces puits
sont séparés par des barrières de potentiel.

Pour simplifier, nous considérons le modèle de réseau unidimensionnel dans lequel l’électron
est soumis au potentiel rectangulaire périodique de période a, dont le profil est donné par la
figure 2 et défini par :

Physique 2 5/7

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0

FIGURE 2 - Potentiel périodique unidimensionnel.

En utilisant la périodicité du réseau, nous examinerons les états propres d’énergie, qui sont
des solutions stationnaires de l’équation de Schrôdinger.

4.1. Etude sur une période

On rappelle que les états propres stationnaires &(x), d'énergie propre F, sont solutions de
l’équation de Shrôdinger :

2m da?

h= —, où h désigne la constante de Planck. On cherche les états stationnaires d’énergie
7
E telle que : 0 › 12 › ٠

4.11. Déterminer la solution de l’équation (4) dans la zone 0 › x › a — b. On notera A
et B les constantes d’intégrations et on posera k = y2mE/h?.

4.1.2. Déterminer, de même, la solution de l’équation (4) dans la zone ‏نع‎ › x ‹a. On
notera 0 et D les constantes d’intégrations et on posera ‏أي = و‎ 201/16 — E)/h?.

4.1.3. Ecrire les deux conditions de continuité que doit satisfaire la fonction d’onde &(x)
et sa dérivée au point ‏ع‎ = a — b.

4.2. Etude sur le réseau périodique

On admet que la solution générale (x) en tout point du réseau peut s’écrire

avec à le nombre complexe tel que à? = —1, u(x) une fonction périodique de période a et
Physique 2 6/7

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4.2.1. Calculer |6(x + pa)|? avec ‏م‎ entier. Interpréter.

4.22. Calculer &(x + a) en fonction de &(x), avec &(x) la solution de l’équation (4) déter-
minée dans la section 4.1.

4.2.3. En déduire &(a) et ‏م‎ = a), et écrire les deux conditions de continuité en x = a.
2

4.3. Bandes d’énergie

Une fonction d’onde solution de (4) doit satisfaire les conditions de continuité en x = pa—b
et en x = pa. Cette solution n'existe que si l'équation ci-dessous est vérifiée (on ne demande
pas d’établir cette équation) :

7 و17

4.3.1. Dans la limite où b + 0 et M — ‏مه‎ avec bM = y fixé, montrer que l’équation
précédente devient :

cos Ka = cos(ka) + ee (5)
avec Q = mya/h. La figure 3 donne les variations de la fonction F(ka) = cos(ka) + 1

pour Q = 10 (par exemple).

4.3.2. Montrer qu’il existe des valeurs de l’énergie pour lesquelles l'équation (5) ne peut
être satisfaite. Ces valeurs d’énergie appartiennent à des intervalles appelés "bandes interdites".
Interpréter le cas Q = 0.

—2 J
3
2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0
FIGURE 3 - Représentation graphique de F(ka), avec Q = 10.
FIN DE L'ÉPREUVE
Physique 2 7/7

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